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第4章
一元二次方程
4 . 1
一元二次方程
学习目标
1. 在将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
2. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.
3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
交流与发现
(1) 教室的面积为 54 m2，长比宽的2倍少3 m，如果要求出教室的长和宽怎样根据问题中的数量关系列出方程
设这个教室的宽为 x m，则它的长为_________m .
根据问题中的等量关系
长×宽＝矩形的面积，
可以得到方程_________________________.
(2x－3)
x(2x－3) ＝54
(2) 直角三角形斜边的长为 11 cm，两条直角边的差为 7 cm. 如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程
设较短直角边的长为x cm，由两条直角边的差为 7 cm 可知，较长直角边的长是_______cm .
根据问题中的等量关系
两条直角边的平方和＝斜边的平方，
可以得到方程__________________.
(x＋7)
x2＋(x＋7)2 ＝ 112
(3) 如图4-1，点C是线段AB上的一点，且 ＝. 如果要求 的值，怎样根据问题中的数量关系列出方程
设AB＝1，AC＝x，由AC ＋ CB ＝AB可知，CB的长为____________.
根据问题中的等量关系 ＝ ，即 AC2 ＝ AB·CB，
可以得到方程_________________________.
1 －x
x2 ＝ 1 － x
(4) 由上面的三个问题，分别得到了下面的方程：
x(2x－3)＝54， ①
x2＋(x＋7)2＝112， ②
x2＝1－x. ③
把它们分别进行整理，得
2x2－3x－54 ＝0，
x2＋7x－36＝0，
x2＋x－1＝0.
你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征
你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征
方程①②③的两边都是整式，它们都只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程.
经过整理，一元二次方程都可以化为
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a≠0)
的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项，a，b 分别叫做二次项系数和一次项系数.
(5) 你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和一次项系数吗
例 1
把方程 (2x＋1)(3x－2) ＝ x2＋2 化为一元二次方程的一般形式写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.
解：将原方程去括号，得
6x2 ＋3x －4x－2 ＝ x2＋2.
移项，合并同类项，得
5x2－x－4 ＝ 0.
方程的二次项为 5x2，一次项为－x，常数项为 －4；二次项系数为 5，一次项系数为－1.
挑战自我
a为何值时，方程 ax2－x ＝ 2x2－ax－3 是一元二次方程 a为何值时，是一元一次方程
只有当二次项的系数 a≠0 时，方程 ax2＋bx＋c＝ 0 才是一元二次方程.
将方程 ax2－x ＝ 2x2－ax－3 整理，得
(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，
所以当a － 2 ≠ 0，
即a ≠ 2时，方程是一元二次方程；
当 a－2 ＝ 0且 a－1 ≠ 0，即 a＝2 时，方程是一元一次方程.
练 习
1. 下面方程中哪些是一元二次方程 哪些不是 为什么
(1) x2－9＝0； (2) (x＋3) (x－1) ＝x2；
(3) (2x＋1) ( 2x－1) ＝ 0； (4) x－y2＝0；
(5) x2＝0； (6) ＝1






2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 3x(x＋1)＝4(x－2)；
解：将原方程 3x(x＋1) ＝4(x－2) 化简，
得一般形式为 3x2－x＋8＝0，
所以二次项系数为 3，一次项系数为－1，常数项为8.
(2) (x＋3)2＝(x＋2)(4x－1)；
解：将原方程(x＋3)2＝(x＋2)(4x－1)化简，
得一般形式为 3x2＋x－11＝0，
所以二次项系数为3，一次项系数为1，
常数项为－ 11.
(3) 2(y＋5)(y－1) ＝ y2－8；
解：将原方程 2(y＋5)(y－1) ＝ y2－8化简，
得一般形式为 y2＋8y－2＝0，
所以二次项系数为 1，一次项系数为 8，
常数项为－ 2.
(4) 2t ＝(t＋1)2.
解：将原方程 2t ＝(t＋1)2 化简，
得一般形式为 t2＋1 ＝ 0，
所以二次项系数为 1，一次项系数为 0，常数项为 1.
学习无理数时，我们曾利用有理数估计一个无理数的大致范围.实际上，当时我们已经解决了估计一个最简单的一元二次方程 x2＝m (m 是一个大于0的有理数)的根的问题对于一般的一元二次方程，如何估计它的根呢
实验与探究
在对本节问题(2)的分析中，我们得到了一元二次方程
x2＋ (x＋7)2 ＝112 ②
你能估计出这个方程的根吗
(1) 要估计出方程②的根，可以先估计出方程根的一个大致范围. 结合方程②的实际意义，你能说出适合方程②的x的一个大致范围吗
因为x是直角三角形中直角边的长，它一定为正值，并且小于斜边的长，所以可以估计x的范围是0＜x＜11.
因为较长直角边 x＋7 小于斜边的长，因而 x＋7＜11，解得 x＜4；
又因为两直角边的和大于斜边，因而 x＋(x＋7) ＞11，解得 x＞2 ，
所以可以估计 x 的范围是 2＜x ＜ 4 .
(2) 小亮与小莹的估计的范围正确吗 你认为谁估计的范围更合理
小亮与小莹估计的范围都是正确的，但相比之下，小莹估计的范围小一些，更便于进一步估计原方程的根.
(3) 怎样才能进一步缩小估计的范围呢
将方程②化为
x2＋7x＝36 ④
利用二分法，取2和4的中间值3，分别计算当x ＝ 2，3，4时，方程④左边的代数式 x2＋7x 的值，并比较它们的值与方程右边的36的大小，填写下表：
x 2 3 4
x2＋7x 18 30 44
与36比较 小于36 小于36 大于36
这说明，在3和4之间有方程4的根并由此可知，这个根的整数部分是3.
(4) 取3和4的中间值3.5，借助计算器计算当 x＝3.5时，x2 ＋ 7x的值，并比较它的值与36的大小，填写下表：
x 3 3.5 4
x2＋7x 30 36.75 44
与36比较 小于36 大于36 大于36
这说明，在3和3.5之间有方程④的根.
(5) 取3 和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
x 3 3.3 3.5
x2＋7x 30 33.99 36.75
与36比较 小于36 小于36 大于36
这说明，在3.3和3.5之间有方程④的根.
(6) 同样地，再取3.3 和3.5的中间值3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x2＋7x 33.99 35.36 36.75
与36比较 小于36 小于36 大于36
这说明，在3.4 和3.5 之间有方程的根. 并由此可知这个根的十分位上的数字是4，即
x＝34···
于是，便求出了方程④的根的精确到0.1的近似值为x≈3.4或x≈3.5.
借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程 ④ 的根的百分位、千分位上的数字，······由于方程④的根就是方程②的根，这样就能用估计的方法求出方程②的根的精确到 0.01，0.001，···的近似值.
x2＋7x＝36 ④
(7) 如果不考虑方程的根的实际意义，你会估计方程④
还有其他的根吗 与同学交流.
小莹是这样想的：
因为当x的值较大时，如 x≥4 时，方程的左边 x2＋7x ＞36，所以原方程不可能有大于或等于4的根.
当0≤x≤3时，0≤x2＋7x＜ 36，所以原方程在0和3范围内也不可能有根. 这就是说，方程④有一个根在 3 和 4 之间，这个问题已在上面得到解决，并且不可能有其他的正根.
当x＜0时，x2是正数，7x是负数，当x的绝对值较大时，例如当 x＝ －12时，x2 ＋ 7x ＝ 60＞36. 所以在－12和0的之间还有原方程的根，这个根是负根.
x2＋7x＝36 ④
练 习
1. 估计方程x2＋5x＝7的根.
解：取 x＝1.1，1.2 得
x 1.1 1.2
x2＋5x 6.71 7.44
与7比较 小于7 大于7
所以在1.1和1.2之间有方程的一个根，
所以 x ＝ 1.1···，
当x＝1.15时，x2＋5x＝7.072 5＞7，
所以 x≈1.1.
取 x＝－6.1，－6.2 得
x －6.1 －6.2
x2＋5x 6.71 7.44
与7比较 小于7 大于7
所以在－6.1和 －6.2之间有方程的一个根，
所以 x ＝ －6.1···，
当x＝－6.15时，x2＋5x＝7.072 5＞7，
所以 x≈－6.1.
综上，x1≈1.1，x2≈－6.1.
2. 根据下表中的数据，估计方程 x2＋2x－10＝0 在 －4.1
和－4.6之间的精确到 0.1的根的近似值是多少
x ··· －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 －4.5 －4.6 ···
x2＋2x－10 －1.39 －0.76 －0.11 0.56 1.25 1.96
解：当 x＝－4.3时，x2＋2x－10＝ － 0.11 ＜ 0.
当 x＝－4.4时，x2＋2x－10＝0.56 ＞ 0.
所以原方程在－ 4.3 和－ 4.4 之间有一个根，
所以原方程在－ 4.1 和－ 4.6 之间的精确到 0.1的根的近似值是 x≈－4.3或 x≈－4.4.
习题 4.1
复习与巩固
1. 指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 7x2＋1＝0； (2) 3x2＋3x ＝0；(3) 2x2＋7x－9 ＝0.
解：(1)二次项系数为7，一次项系数为 0，常数项为 1.
(2)二次项系数为3，次项系数为，常数项为 0.
(3)二次项系数为2，一次项系数为7，常数项为－9.
2. 判断下列方程是不是一元二次方程. 如果是，分别指
出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) x(x＋2) ＝0；(2) x( 4x＋3 ) ＝ (2x－1 )2；
(3) x＋＝3； (4) (x－1)2 ＋ 2x ＝ 2x2.
3. 判断方程后面括号里的数是否为该方程的根：
(1) x2－ 6x ＋5 ＝0 (5，－3 )；
(2) 2x2－3x＋1＝0 (，1)；
(3) x2－2x＋3＝0 (，－)；
(4) (2x－ 1)2 ＝ 3 ( ， ).
4. 根据问题“甲、乙两数的和为4，积为 1，求甲、乙两数”列出方程，并估计方程根的近似值(精确到 0.1).
解：设甲数为x，则乙数为 4－x.
根据题意，得 x(4－x) －1.
将方程化为一般形式，得x2－4x＋1＝0.
当x＝3时， x2－4x＋1 ＜ 0；
当x＝3.5时， x2－4x＋1＝0；
当x＝4时， x2－4x＋1 ＞ 0.
所以在 3.5和4之间有原方程的一个根.
x 3.5 3.6 3.7 3.8
x2－4x＋1 －0.75 －0.44 －0.11 0.24
这说明在 3.7 和3.8 之间有原方程的一个根，并且精确到0.1的近似值为 x≈3.7.
当x＝0时，x2－4x＋1＝1＞0；
当x＝1时，x2－4x＋1＝－2＜0.
所以在0和1之间有原方程的另一个根.
x 0 0.1 0.2 0.3
x2－4x＋1 1 0.61 0.24 －0.11
这说明，在 0.2和0.3之间有原方程的另一个根，并且精确到0.1的近似值为x≈0.3.
所以原方程的根精确到0.1的近似值为 x1≈3.7，x2≈0.3.
5. 估计下列方程的根(精确到 0.1)：
(1) x2＋2x ＝10；
(2) 2x2＋5x －10 ＝0.
拓展与延伸
6. 把关于x的一元二次方程 5x2＋a(1－x) ＝3x＋1化成一般形式.
解：将原方程去括号，得 5x2＋a(1－x) ＝3x＋1.
移项，合并同类项，得
5x2－(a＋3)＋a－1＝0.
7. 如果一元二次方程 x2－3x ＋k＋1＝0 有一个根是－1，求k的值.
解：把x＝－1代入x2－3x＋k＋1＝0，得
1＋3＋k＋1＝0，
解得 k＝－5.
8. 估计本节中方程③的解(精确到0.01).
探索与创新
9. 当m为何值时，关于x的方程 x2＋3mx ＝ mx2－1是一元一次方程 是一元二次方程
本课结束
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