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第4章
一元二次方程
4 . 5
一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 理解什么是一元二次方程根的判别式；
2. 会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
实验与探究
(1) 你会解方程 x2＋2x＋5＝0 吗 试一试.
因为 22－4×1×5＜0，
所以无法用公式法解这个方程.
配方，得 (x＋1)2＝－4.
因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根.
(2) 由4.3 节我们知道，当 b2－4ac ≥0 时，一元二次
方程
ax2＋bx＋c＝0 ①
可以利用求根公式
x ＝
求出它的根.
你发现当 b2－4ac＞0与 b2－4ac ＝0 时，方程的两个根分别具有什么特征
当 b2－4ac＞0 时，由于是正数，－ 是负数，所以 x ＝是两个不相等的实数.
因此，方程①有两个不相等的实根：
x1＝ ，x2＝ .
如果 b2 － 4ac ＝ 0，那么 ＝ 0，这时方程① 有两个相等的实根：
x1＝ x2＝ － .
如果 b2－4ac＜0，将方程①配方后，得
(x＋ )2 ＝.
方程的右边由于分母 4a2＞0，所以 ＜ 0，而(x＋ )2不可能是负数，这时方程①没有实根.
由此可见，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于个含有该方程各项系数的代数式 b2－4ac 的值的符号，因而把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0的根的判别式，通常用 表示，即 ＝b2－4ac.
符号“ ”是希腊字母，读作“delta”.
小资料
把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
当 ＞0时有两个不相等的实根；
当 ＝0时有两个相等的实根；
当 ＜0时没有实根.
上面结论的逆命题也是正确的.你能说出它的逆命题吗
例 1
不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 2x2 ＋ x－4＝0；
(2) 4y2＋9 ＝12y；
(3) 5(t2＋1)－6t＝0.
如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，那么 ＞0；
如果有两个相等的实根，那么 ＝0；
如果没有实根，那么 ＜ 0.
(1) 2x2 ＋ x－4＝0；
解：这里 a＝2，b＝1，c＝－4.
∵ ＝b2－4ac
＝12－4×2×(－4) ＝33＞0，
∴ 方程有两个不相等的实根
(2) 4y2＋9 ＝12y；
解：把原方程化为一般形式，得
4y2－12y＋9＝0.
这里 a＝4，b＝－12，c＝9.
∵ ＝b2－4ac ＝ (－12 )2－4×4×9＝0.
∴ 原方程有两个相等的实根.
(3) 5(t2＋1)－6t＝0.
解：把原方程化为一般形式，得
5t2－6t＋5＝0.
这里 a＝5，b＝－6，c＝5.
∵ ＝b2－4ac ＝ (－6)2－4×5×5＝－64 ＜0.
∴ 原方程没有实根.
例 2
已知关于x的一元二次方程
kx2－3x＋1＝0
有两个不相等的实根.
(1) 求的取值范围；
(2) 选择一个的正整数值，并求出方程的根.
kx2－3x＋1＝0
(1) 求k的取值范围；
解：∵关于x的一元二次方程
kx2－3x＋1＝0
有两个不相等的实根，
∴ ＝ (－3)2－4k＞0，
即 9－4k＞0.
解不等式，得k＜.
∵ kx2－3x＋1＝0是一元二次方程.
∴ k≠0.
故 k 的取值范围是 k＜ 且 k≠0.
(2) 选择一个的正整数值，并求出方程的根.
kx2－3x＋1＝0
解：取不等式 k ＜ 的一个正整数解 k ＝ 2，则方程为
2x2 － 3x ＋ 1 ＝ 0.
解这个方程，得
x1＝1，x2＝ .
挑战自我
有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程
x2－12x＋k＝0
的两根. 求k的值.
当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实根， ＝0，
即(－12)2－4k＝0，
解得k＝36，
此时方程为 x2－12x＋36＝0，
解得 x1＝x2＝6，
长为 3，6，6 的线段能组成等腰二角形.
当3为等腰三角形的腰长时，
则x＝3 是方程x2－12x＋k＝0 的根，
把x＝3代入 x2－12x＋k＝0，得 9－36＋k＝0，
解得 k ＝ 27，
所以方程为 x2－12x＋k＝0，
解得 x1＝3，x2＝ 9.
∵ 3 ＋ 3 ＜ 9，
∴长为 3，3，9 的线段不能组成三角形，
∴ k ＝ 27 不符合要求.
综上所述，k的值为36.
练 习
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 3y2－5y－2 ＝0；
解：这里a＝3，b＝ － 5，c ＝ － 2.
∵ ＝ b2 － 4ac ＝(－ 5)2 － 4×3×(－ 2)
＝ 25 ＋ 24 ＝ 49 ＞ 0.
∴ 原方程有两个不相等的实根.
(2) 2x2－9x＋6＝0；
解：这里 a＝2，b＝ － 9，c＝6.
∵ ＝ b2－4ac
＝(－ 9)2 － 4×2×6
＝ 81 － 48 ＝ 33 ＞ 0，
∴ 原方程有两个不相等的实根.
(3) 5x2 ＋10x＋6 ＝0；
解：这里 a＝5，b＝10，c＝6.
∴ ＝b2－4ac
＝102－4×5×6
＝100－120＝－20 ＜ 0.
∴原方程没有实根.
(4) 5t2－2t＋3＝0.
解：这里 a＝5，b＝－2，c＝3.
∴ ＝ b2 － 4ac
＝(－ 2)2－4×5×3
＝60－60＝0.
∴ 原方程有两个相等的实根.
2. k为何值时，关于x的一元二次方程
3x2－4x＋ (k＋1) ＝0
有两个相等的实根
解：∵关于的一元二次方程 3x2－4x＋ (k＋1) ＝0
有两个相等的实根，
∴ ＝ (－4)2－4×3×(k＋1) ＝0，
即－12k＋4＝0，解得 k＝.
∴ 当k为时，关于 x 的一元二次方程
3x2 － 4x ＋(k ＋ 1) ＝ 0
有两个相等的实根.
习题 4.5
复习与巩固
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 2x2＋x＋＝0；
解：这里 a＝2，b＝1，c＝.
∴ ＝b2 － 4ac
＝ 12 － 4×2× ＝1 － 2＝ － 1 ＜ 0.
∴ 原方程没有实根.
(2) 4t(t － 1) ＝ 3；
解：方程整理为一般形式为 4t2 － 4t － 3 ＝ 0.
这里 a＝4，b＝－ 4，c＝ － 3.
∴ ＝ b2 － 4ac
＝ (－ 4)2 － 4×4×(－ 3)
＝ 16 ＋ 48 ＝ 64 ＞ 0，
∴原方程有两个不相等的实根.
(3) x2＋2 ＝ 2x；
解：方程整理为一般形式为 x2－2x＋2 ＝ 0.
这里 a＝1，b＝ － 2，c＝2.
∵ ＝b2 － 4ac
＝(－2)2 － 4×1×2
＝8 － 8＝0.
∴原方程有两个相等的实根.
(4) 3z2 － 2z ＝ － 2.
解：方程整理为一般形式为 3z2 －2z＋2 ＝ 0
这里 a＝3，b＝－2，c ＝ 2.
∴ ＝ b2－4ac
＝(－2)2 － 4×3×2
＝ 24 － 24 ＝ 0.
∴原方程有两个相等的实根.
2. 关于x的方程 x2＋ax－1 ＝ 0有没有实根 如果有，两
个实根是否相等
解：∵ ＝ a2－4×1×(－ 1)
＝ a2＋4 ＞ 0.
∴ 关于 x 的方程 x2＋ax－1 ＝ 0 有实根，
两个实根不相等.
3. 已知关于x的方程 mx2 ＋ mx ＋ 5 ＝ m 有两个相等的
实根，求m的值.
解：方程整理为一般形式为 mx2 ＋ mx ＋ 5 － m＝0 .
∵关于x的方程 mx2＋mx＋5＝m 有两个相等的实根，
∴ ＝ m2－4m (5－m)
＝ m2－20m＋4m＝0 且m≠0.
∴ m1 ＝ 4.
拓展与延伸
4. 当k为何值时，关于y的方程 (k－1)y2－2ky＋k ＝ 3，
解：关于y的方程 (k－1)y2－2ky＋k＝3 的一般形式是
(k－1)y2－2ky＋k － 3＝0 ，
则 ＝(－ 2k)2 － 4(k － 1)(k － 3)
＝ 16k － 12.
(1) 有两个不相等的实根；
∵方程有两个不相等的实根，
∴ ＞ 0 且 k－1≠0，即16k－12＞0且k≠1，
∴ k ＞ 且 k≠1.
∴当k ＞ 且 k≠1时，方程有两个不相等的实根.
(2) 有两个相等的实根；
∵方程有两个相等的实根，
∴ ＝ 0 且 k－1≠0，即 16k－12＝0且 k≠1.
∴ k ＝ .
∴ 当 k＝时，方程有两个相等的实根.
∵方程没有实根，
∴ ＜ 0 且 k－1≠0，即 16k－12 ＜ 0且 k≠1.
∴ k ＜ .
∴ 当 k ＜ 时，方程没有实根.
(3) 没有实根.
5. 已知关于x的方程 kx2 － 4kx ＋ k － 5 ＝ 0有两个相等
的实根，解这个方程.
解：∵关于x的方程 kx2－kx＋k － 5 ＝ 0 有两个相等
的实根，
∴ ＝ (－ 4k)2－4k(k－5)＝0，
即12k2 ＋ 20k ＝ 0，
∴ k＝－ 或 k＝0.
∵方程有两个相等的实根，
∴ 此方程为一元二次方程，
∴ k＝0 舍去.
当k＝－ 时，原方程为 x2 － x ＋ ＝ 0.
整理，得 x2－4x＋4＝0，
解得 x1＝x2＝2.
探索与创新
6. 已知 a，b，c 是△ABC的三条边的长.
求证：关于x的方程 cx2－(a＋b)x ＋＝ 0有两个不相等的实根.
证明： ＝ [－(a＋b)]2－ 4c
＝ (a＋b)2 －c2
＝ (a＋b＋c)(a＋b－c).
∵ a，b，c 是△ABC 的三条边的长，
∴ a＋b＋c ＞ 0，a＋b＞c，
∴ a＋b－c＞0，
∴ (a＋b＋c)(a＋b－c) ＞ 0，
∴ 关于x的方程 cx2 －(a＋b)x＋ ＝0
有两个不相等的实根.
本课结束
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