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安徽省亳州市2023年中考一检数学试卷
1．（2023·亳州模拟）计算的值（　　）
A．3 B．1 C． D．
2．（2023·亳州模拟）如果，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·亳州模拟）点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·亳州模拟）如图，是的高.若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·亳州模拟）如图，，若，，，则的长是（　　）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2023·亳州模拟）如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
8．（2023·亳州模拟）如图，四边形为菱形，，交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F．已知，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．（2023·亳州模拟）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023·亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（　　）
A．6 B． C．5 D．4
11．（2023·亳州模拟）二次函数的图象经过原点，则a的值为　 　．
12．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么　 　．
13．（2023·亳州模拟）如图，已知的三个顶点均在格点上，则　 　．
14．（2023·亳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC，BC于点M，N．
（1）若MN∥AB，则MN＝　 　；
（2）若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝　 　．
15．（2023·亳州模拟）计算：．
16．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为　 　，　 　．
17．（2023·亳州模拟）已知二次函数中的x和y满足下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y -5 0 3 4 3 m -5
（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
（2）求该二次函数的表达式．
18．（2023·亳州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：_　 　．
19．（2023·亳州模拟）如图，在中，C，D分别是上的点．若．
（1）求证：；
（2）求的长．
20．（2023·亳州模拟）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
21．（2023·亳州模拟）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在竖直标杆上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为（即），能识别体温的最小张角为（即）
（1）当设备安装高度为2米时，求测温区域的长度；（结果保留根号）
（2）为了达到良好的检到效果，该公司要求测温区的长不低于3.6米，则设备的最低安装高度约是　 　米．（结果保留1位小数，参考数据：，）
22．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求线段的长．
23．（2023·亳州模拟）如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．由，得，则A正确，故A符合题意．
B．由，得，则B错误，故B不符合题意．
C．由，得，则C错误，故C不符合题意．
D．由，得，则D错误，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 ， 结合等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴此函数图象上点的坐标特征为：，
∵，，，，
∴在此函数图象上，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出k=-6，再求出，最后对每个选项一一判断即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴公式判断求解即可。
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
.
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念结合CD的值可得AD的值，进而推出△ABD为等腰直角三角形，则AB=AD，据此计算.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可知，，
的面积为1，点为反比例函数的图象上一点，且轴，
，
解得或（舍去），
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作，交的延长线于点，连接；
∵四边形为菱形
∴ ，
∴
∴
∵是的中点
∴
在和中
∴
∴ ，
∴
∴四边形是矩形
∴ ，，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质先求出 ， ，再利用全等三角形和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图知a＞0，-=1，c＞0，即b＜0，
∵已知a＞b＞c，故本选项不符合题意；
B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项不符合题意；
C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项符合题意；
D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，结合题意，对每个选项一一判断即可。
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点P在AB上运动时，D到PA的距离，
∴当时，，
②当P在BC上运动时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，即：，
∴当时，，
∴，
即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且；
当时，函数图象为反比例函数，
时，y的最小值是，
故答案为：B．
【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质，求解即可。
11．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的图象经过原点求出，再解方程即可。
12．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，
∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作的高，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
14．【答案】（1）
（2）或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）设MN与CP相交于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴CP⊥MN，CE＝PE＝CP，
∵MN∥AB，
∴CP⊥AB，∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝，
∴MN＝AB＝，
故答案为：；
（2）分两种情况：
当MN经过点A时，连接PN，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴AC＝AP＝3，NC＝NP，
∵AN＝AN，
∴△ACN≌△APN（SSS），
∴∠ACB＝∠APN＝90°，
∴∠NPB＝180° ∠APN＝90°，
∴∠ACB＝∠NPB＝90°，
∵AB＝5，AP＝3，
∴BP＝AB AP＝5 3＝2，
∵∠B＝∠B，
∴△BPN∽△BCA，
∴，
∴，
∴NP＝，
∴MN＝AN＝＝＝，
当MN经过点B时，连接PM，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴BC＝BP＝4，MC＝MP，
∵BM＝BM，
∴△MCN≌△MPN（SSS），
∴∠ACB＝∠MPN＝90°，
∴∠APM＝180° ∠MPN＝90°，
∴∠ACB＝∠APM＝90°，
∵AB＝5，BP＝4，
∴AP＝AB BP＝5 4＝1，
∵∠A＝∠A，
∴△APM∽△ACB，
∴，
∴，
∴PM＝，
∴MN＝BM＝＝＝，
综上所述：MN的长为或，
故答案为：或．
【分析】（1）设MN与CP相交于点E，先证明△CMN∽△CAB，可得＝，再求出MN＝AB＝即可；
（2）分两种情况：①当MN经过点A时，连接PN，②当MN经过点B时，连接PM，再分别求解即可。
15．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的加减法则计算求解即可。
16．【答案】（1）解：为所作，如图所示：
（2）（4，6）；1：4
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）解：顶点B'的坐标为：；．
故答案为：（4，6）；．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）结合（1）所作的图形，求解即可。
17．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和所对应的函数值相等，
∴；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据和所对应的函数值相等， 求解即可；
（2）利用待定系数法求出 二次函数的解析式为， 再求解即可。
18．【答案】（1）解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得，
∴，；
（2）-3＜x＜0或x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，-3＜x＜0或x＞1
∴不等式的解集为-3＜x＜0或x＞1
故答案为：-3＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）观察函数图象，先求出当一次函数图象在反比例函数图象上方时，-3＜x＜0或x＞1，再求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，
∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，
∴，，
∴，即，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）解：∵△ABP∽△DCP，
∴，即，
∴AB＝8．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出AP=10，BP=8，再求出 ， 最后利用相似三角形的判定方法证明即可；
（2）利用相似三角形的性质求出 ， 再计算求解即可。
20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
由图象可知抛物线过点，，，依次代入解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：可以安全着陆，理由如下：
∵，
∴该抛物线开口向下，当时，取得最大值800，
即：该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m，
∵跑道长900＞800，
∴该无人机可以安全着陆．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数解析式先求出 该抛物线开口向下，当时，取得最大值800， 再求解即可。
21．【答案】（1）解：由题意可知：米，
∴（米）；
∵，
∴，
∴．
（2）3.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴（米）．
答：最低安装高度为3.1米．
【分析】（1）利用锐角三角函数先求出AC的值，再求出BC的值，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
22．【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点
∴抛物线的解析式为
令，可得，
解得或3，
令得到，
∴；
（2）解：∵D是OC的中点，，
∴点D的坐标是，
由两点坐标可以求出直线BC的解析式为：．
∴由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：．
设点P的坐标是则点，．
∴，
．
解得：（舍去）或，
当时，
∴点P的坐标为：；
（3）解：当时，，即y随x的增大而增大，
∴，
当时，，
∴直线经过点，即点M与点A重合，
如解图所示，点N在第一象限，当，即
当时，，此时，
由解图可知，当时，，
∴n的取值范围为．
∴n的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出b=2，再求点B和点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标是， 再求出 （舍去）或， 最后求点P的坐标即可；
（3）先求出 直线经过点，即点M与点A重合， 再结合函数图象求解即可。
1 / 1安徽省亳州市2023年中考一检数学试卷
1．（2023·亳州模拟）计算的值（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．（2023·亳州模拟）如果，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．由，得，则A正确，故A符合题意．
B．由，得，则B错误，故B不符合题意．
C．由，得，则C错误，故C不符合题意．
D．由，得，则D错误，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 ， 结合等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．（2023·亳州模拟）点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴此函数图象上点的坐标特征为：，
∵，，，，
∴在此函数图象上，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出k=-6，再求出，最后对每个选项一一判断即可。
4．（2023·亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称轴公式判断求解即可。
5．（2023·亳州模拟）如图，是的高.若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
.
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念结合CD的值可得AD的值，进而推出△ABD为等腰直角三角形，则AB=AD，据此计算.
6．（2023·亳州模拟）如图，，若，，，则的长是（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．（2023·亳州模拟）如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可知，，
的面积为1，点为反比例函数的图象上一点，且轴，
，
解得或（舍去），
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
8．（2023·亳州模拟）如图，四边形为菱形，，交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F．已知，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作，交的延长线于点，连接；
∵四边形为菱形
∴ ，
∴
∴
∵是的中点
∴
在和中
∴
∴ ，
∴
∴四边形是矩形
∴ ，，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质先求出 ， ，再利用全等三角形和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
9．（2023·亳州模拟）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图知a＞0，-=1，c＞0，即b＜0，
∵已知a＞b＞c，故本选项不符合题意；
B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项不符合题意；
C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项符合题意；
D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，结合题意，对每个选项一一判断即可。
10．（2023·亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（　　）
A．6 B． C．5 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点P在AB上运动时，D到PA的距离，
∴当时，，
②当P在BC上运动时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，即：，
∴当时，，
∴，
即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且；
当时，函数图象为反比例函数，
时，y的最小值是，
故答案为：B．
【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质，求解即可。
11．（2023·亳州模拟）二次函数的图象经过原点，则a的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的图象经过原点求出，再解方程即可。
12．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么　 　．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，
∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。
13．（2023·亳州模拟）如图，已知的三个顶点均在格点上，则　 　．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作的高，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
14．（2023·亳州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC，BC于点M，N．
（1）若MN∥AB，则MN＝　 　；
（2）若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝　 　．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）设MN与CP相交于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴CP⊥MN，CE＝PE＝CP，
∵MN∥AB，
∴CP⊥AB，∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝，
∴MN＝AB＝，
故答案为：；
（2）分两种情况：
当MN经过点A时，连接PN，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴AC＝AP＝3，NC＝NP，
∵AN＝AN，
∴△ACN≌△APN（SSS），
∴∠ACB＝∠APN＝90°，
∴∠NPB＝180° ∠APN＝90°，
∴∠ACB＝∠NPB＝90°，
∵AB＝5，AP＝3，
∴BP＝AB AP＝5 3＝2，
∵∠B＝∠B，
∴△BPN∽△BCA，
∴，
∴，
∴NP＝，
∴MN＝AN＝＝＝，
当MN经过点B时，连接PM，
∵MN是线段CP的垂直平分线，
∴BC＝BP＝4，MC＝MP，
∵BM＝BM，
∴△MCN≌△MPN（SSS），
∴∠ACB＝∠MPN＝90°，
∴∠APM＝180° ∠MPN＝90°，
∴∠ACB＝∠APM＝90°，
∵AB＝5，BP＝4，
∴AP＝AB BP＝5 4＝1，
∵∠A＝∠A，
∴△APM∽△ACB，
∴，
∴，
∴PM＝，
∴MN＝BM＝＝＝，
综上所述：MN的长为或，
故答案为：或．
【分析】（1）设MN与CP相交于点E，先证明△CMN∽△CAB，可得＝，再求出MN＝AB＝即可；
（2）分两种情况：①当MN经过点A时，连接PN，②当MN经过点B时，连接PM，再分别求解即可。
15．（2023·亳州模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的加减法则计算求解即可。
16．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为　 　，　 　．
【答案】（1）解：为所作，如图所示：
（2）（4，6）；1：4
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）解：顶点B'的坐标为：；．
故答案为：（4，6）；．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）结合（1）所作的图形，求解即可。
17．（2023·亳州模拟）已知二次函数中的x和y满足下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y -5 0 3 4 3 m -5
（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
（2）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和所对应的函数值相等，
∴；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据和所对应的函数值相等， 求解即可；
（2）利用待定系数法求出 二次函数的解析式为， 再求解即可。
18．（2023·亳州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：_　 　．
【答案】（1）解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得，
∴，；
（2）-3＜x＜0或x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，-3＜x＜0或x＞1
∴不等式的解集为-3＜x＜0或x＞1
故答案为：-3＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）观察函数图象，先求出当一次函数图象在反比例函数图象上方时，-3＜x＜0或x＞1，再求解即可。
19．（2023·亳州模拟）如图，在中，C，D分别是上的点．若．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，
∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，
∴，，
∴，即，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）解：∵△ABP∽△DCP，
∴，即，
∴AB＝8．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出AP=10，BP=8，再求出 ， 最后利用相似三角形的判定方法证明即可；
（2）利用相似三角形的性质求出 ， 再计算求解即可。
20．（2023·亳州模拟）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
由图象可知抛物线过点，，，依次代入解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：可以安全着陆，理由如下：
∵，
∴该抛物线开口向下，当时，取得最大值800，
即：该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m，
∵跑道长900＞800，
∴该无人机可以安全着陆．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数解析式先求出 该抛物线开口向下，当时，取得最大值800， 再求解即可。
21．（2023·亳州模拟）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在竖直标杆上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为（即），能识别体温的最小张角为（即）
（1）当设备安装高度为2米时，求测温区域的长度；（结果保留根号）
（2）为了达到良好的检到效果，该公司要求测温区的长不低于3.6米，则设备的最低安装高度约是　 　米．（结果保留1位小数，参考数据：，）
【答案】（1）解：由题意可知：米，
∴（米）；
∵，
∴，
∴．
（2）3.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴（米）．
答：最低安装高度为3.1米．
【分析】（1）利用锐角三角函数先求出AC的值，再求出BC的值，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
22．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
23．（2023·亳州模拟）如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点
∴抛物线的解析式为
令，可得，
解得或3，
令得到，
∴；
（2）解：∵D是OC的中点，，
∴点D的坐标是，
由两点坐标可以求出直线BC的解析式为：．
∴由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：．
设点P的坐标是则点，．
∴，
．
解得：（舍去）或，
当时，
∴点P的坐标为：；
（3）解：当时，，即y随x的增大而增大，
∴，
当时，，
∴直线经过点，即点M与点A重合，
如解图所示，点N在第一象限，当，即
当时，，此时，
由解图可知，当时，，
∴n的取值范围为．
∴n的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出b=2，再求点B和点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标是， 再求出 （舍去）或， 最后求点P的坐标即可；
（3）先求出 直线经过点，即点M与点A重合， 再结合函数图象求解即可。
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