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微专题 新旧教材对比新增内容（答案）
例1.
答案.C
例2.将12个数据按从小到大排序：
13，13.5，13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.
由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即＝13.7；
由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；
由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3.。
例3.答案.ABD。
例4.答案.由高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，
可得＝4.1，解得2＝4.
因为总样本方差为3.14，
所以×[3.5＋(5－4.1)2]＋×[2＋(4－4.1)2]＋×[s＋(3－4.1)2]＝3.14，
解得s＝1.5.
例5.证明：（1）连接DB交AC于点O，连接PO．
因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．
因为PB＝PD，所以PO⊥BD．
又因为AC，平面APC，且，
所以BD⊥平面APC．
又平面ABCD，所以，平面APC⊥平面ABCD．
解：（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．
因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．
又因为PD⊥AB，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．
由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．
由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．
由AP⊥PC，在△APC中，
，所以．
（法一）以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，
所以，
令得．
设平面PBC的法向量为，
所以，
令得．
设平面PAB与平面PBC的夹角为．
所以，．
所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．
（法二）因为，，
所以，，所以PB⊥BC．
取PB中点N，过点N作NQ∥BC且交PC于点Q，连接AN，AQ．
因为△APB是等边三角形，所以AN⊥PB．
又因为NQ∥BC，所以NQ⊥PB，所以∠ANQ为二面角C-PB-A的平面角．
在△APB中，．
在△BPC中，．
在△APC中，．
所以，，
所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．
例6.
例7.解：（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为,所以 ,
所以 ,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)
，
要使取得最小值，当且仅当.
(ii) 由(i)知 ，
所以y关于x的经验回归方程，又，
所以当 时，则，
所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
例8.答案.对A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且由相关系数|r|＝0.986可知相关性强，故A正确．
对B，价格平均＝＝10，销售量＝＝8.
故回归直线恒过定点，故8＝－3.2×10＋ ＝40，故B正确．
对C，当x＝8.5时，＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C正确．
对D，相应于点的残差＝6－＝－0.4，故D错误．故选ABC．
例9.微专题 新旧教材对比新增内容
1.投影向量
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e.
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
例1.
2．总体百分位数的估计
(1) 百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝n×p%；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
(3)四分位数
①25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
提醒：一组数据的某些百分位数可能是同一个数．
例2．某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是________．
例3.某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.07
B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
3.分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s，则＝xi，s＝(xi－)2，＝yi，s＝(yi－)2.
则①＝＋；
②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
例4.为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位：小时)的调查，所得样本数据如下：
年级 抽样人数 样本平均数 样本方差
高一 40 5 3.5
高二 30 2 2
高三 30 3 s
已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数2＝________，高三年级学生的样本方差s＝________.
4.平面与平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
例5.如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
4.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
提醒： P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者不相等．
(2)性质：设P(B|A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
④设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
5．概率的乘法公式
由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式．
6．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P (Ai)P(B|Ai)，
我们称上面的公式为全概率公式．
例6.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i最小值.
*7．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝
＝.
(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，B Ω，且P(B)＞0，有
P(Aj|B)＝＝.
提醒：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．
8．相关关系的刻画
(1)散点图：把每对成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算式
r＝＝.
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为[－1,1]；
②若r>0时，成对样本数据正相关；
③若r<0时，成对样本数据负相关；
④样本相关系数与相关程度
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
9．一元线性回归模型与最小二乘法
(1)一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
(2)最小二乘法
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中
＝＝ （有时公式未必给），＝－ .
提醒：经验回归方程一定过点(，)．
例7.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
（2）(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
10．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．
(2)残差平方和法
残差平方和为(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．
(3)利用R2刻画拟合效果
R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差．
例8.(多选)2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的经验回归方程是：＝－3.2x＋，相关系数|r|＝0.986，则下列说法正确的有(　　)
A．变量x，y线性负相关且相关性较强
B．＝40
C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D．相应于点的残差约为0.4
例9.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害.为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署.某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本.已知甲镇的样本容量m＝12，样本平均数＝18，样本方差＝19;乙镇的样本容量n＝18，样本平均数y＝36，样本方差＝70.
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差S2;
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵“比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行.比赛规则:
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束.
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求E（X）.
参考数据:12×182＝3888，18×362＝23328，28.82＝829.44，12×10.82＝1399.68，18×7.22＝933.12.

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