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微专题 二项分布与超几何分布的区别（含答案）
例1.（2018年天津卷）．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
解析：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．
例2．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
解析：（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,所以数学成绩落在区间内的频率为，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，数学成绩落在区间[70，100）的频率为，所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望.
例3．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．
解析：（1）“体育迷”对应的频率为：，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；
所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：微专题 二项分布与超几何分布的区别
一．二项分布
1．n重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验具有如下共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验的结果相互独立．
3．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
二．超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)．
三．二项分布与超几何分布的区别
1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.
2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.
3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.
4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.
5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.
6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.
四．典例分析
例1.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
例2．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
例3．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．微专题 条件概率及其应用（参考答案）
例1. 银行储存卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解析：（1）设“第次按对密码”（）,那么满足题意的情形有，故：
（2）设“最后1位密码是偶数”，则
例2.两台机床加工同一种机械零件如表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是_______.
合格品 次品 总计
甲机床加工的零件数 35 5 40
乙机床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件．则.
上面两道例题均是关于条件概率较为简单的应用，下面我们来看这样一道问题，它说明了不放回式抽签的公平性，更重要的是，它给出了下一节的核心：全概率公式.
例3.从有个红球和个蓝球的袋子里，每次随机摸出一个球，摸出后不放回，试证明：第一次摸出红球后，第二次摸出红球的概率与第一次相同.（公众号：凌晨讲数学）
证明：显然，第一次摸出红球的概率为.用表示事件“第次摸到红球”，用表示事件“第次摸到蓝球”，.那么，，且与互斥，故可得：
.综上，表明不放回抽签与先后顺序无关.
点评：上述结论的证明过程不是显然的，通过条件概率，我们很好地给出了证明，再次说明条件概率的应用价值，毕竟，我们现实情境中很多事件之间是相互影响的.
例4.（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（i）证明：；
（ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．
附：，
解析：（1）假设患该疾病群体与未患疾病群体的卫生习惯没有差异，
则，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；
（2）（i）
，得证.
（ii）由调查数据可知，，
则，，所以．
注：此题第二问的证明和计算纯粹考察条件概率公式及其性质，第三问的计算则考察条件概率的计算，找到条件的相应事件的样本空间即可轻松计算.（公众号：凌晨讲数学）
三．习题演练
习题1．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：
（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率；
（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．
习题1.解析：（1）设，，，则事件“第三次才摸到绿球”可表示为ABC．有放回时，，，，则．
（2）不放回时，，，，
则
习题2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①； ②；
③事件与事件相互独立； ④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
习题2. 解析：由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；由题意得，故②正确；
，①⑤错；因为，
所以事件与事件不独立，③错；综上选②④，故答案为：②④.微专题 条件概率及其应用
条件概率在新教材的地位当然是大大提升，一方面是其重要的应用价值，毕竟，现实生活中很多事件都是相互影响的，另一方面则是它为引出全概率公式做了铺垫. 所以，在新教材与新高考中，我们务必重视条件概率的研究与应用，本节将对其常见应用做全面的介绍，也是为下一节引出全概率公式做铺垫.
一．基本原理
1.定义
一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即
特别地，当时，即相互独立，则.
2．条件概率的性质
设，全样本空间定义为，则
（1）；
（2）如果与是两个互斥事件，则；
（3）设事件和互为对立事件，则．
二．典例分析
例1. 银行储存卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
例2.两台机床加工同一种机械零件如表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是_______.
合格品 次品 总计
甲机床加工的零件数 35 5 40
乙机床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
例3.从有个红球和个蓝球的袋子里，每次随机摸出一个球，摸出后不放回，试证明：第一次摸出红球后，第二次摸出红球的概率与第一次相同.
例4.（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（i）证明：；
（ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．
附：，
三．习题演练
习题1．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：
（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率；
（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．
习题2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①； ②；
③事件与事件相互独立； ④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关微专题 解决数列放缩问题（参考答案）
例1．解析：（1）∵，则，即，又∵，所以是首项为，公比为3的等比数列，∴，故的通项公式为.
（2）由（1）知，即是首项为，公比为的等比数列，
∴，又∵数列单调递增，
∴，故.
例2.解析：（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．当时，，所以，即（）；
累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．
（2）
．
例3．解析：（1）由题意，，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以.
由（1）知数列的前n项和为：
①，②，两式相减可得：，
所以，又因为，所以，所以.
例4.解析：（2）当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以
.
（3）当时,；当时,；
当时,,此时
，综上,对一切正整数,有
例5.解析：（1）证明：由得，又，所以是首项为，公比为3的等比数列，，因此的通项公式为
（2）由（1）知，因为当时，，所以
于是.
所以.
例6．（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由
，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，.
一方面：. 另一方面，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以
，即．故选：A．
例7.（2015浙江卷）已知数列满足=且=-（）
（1）证明：1（）；
（2）设数列的项和为,证明（）.
分析：，累加，则可证得.
解析：（1）由题意得，即，故.
由得，由得
，即.
（2）由题意得,所以 ①,由和得
所以，因此②
由①②得：.
例8．已知数列中，，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以.
(2) ，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为.
例9.（2017全国3卷）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解析：（2）由（1）知当时，，令得，从而.
故,而，所以的最小值为3．微专题 解决数列放缩问题
类型1.利用单调性放缩
例1．已知数列满足，
（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：．
类型2. 先求和再放缩
先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松.
例2.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求得通项公式；
（2）证明：．
例3．已知等比数列为递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
类型3.先放缩通项再求和
这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.
1．常见的裂项公式：
例如：或者等
2.一个重要的指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
3.糖水不等式：设，则.
下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.
例4.（2013年广东）设数列的前项和为.已知,,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明:对一切正整数,有.
例5.（2014全国2卷）已知数列满足=1，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：.
注：此处便是利用了重要的恒等式：次方差公式：
当然，利用糖水不等式亦可放缩：，请自行尝试.
类型4. 基于递推结构的放缩
1.型：取倒数加配方法.
例6．（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2.二次递推型：.
，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.
例7.（2015浙江卷）已知数列满足=且=-（）
（1）证明：1（）；
（2）设数列的项和为,证明（）.
类型5. 数列中的恒成立
例8．已知数列中，，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
类型6. 利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.
例9.（2017全国3卷）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

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