资源简介

2006年第1期（总1期）
领悟教改
高中数学新课程的实验与思考 王全林 1
数学随笔
含向量的方程 唐登欣 6
向量不合常理性质的研究 何新江 9
三角函数周期的探讨 余朝阳 13
与高考同行
用平面的法向量解高考立体几何试题 王宝红 15
选择题的快速解答 高 锋 21
边练边悟
三次函数图象的切线问题专练 王强芳 28
数学文化
菲尔兹奖与沃尔夫奖 肖 庆 31
﹒卷首语﹒
我国刊发了很多优秀的中学数学期刊，其中优秀的文章也很多。我们用了一点点业余时间，把一些相对较优秀的，较有参考价值的文章摘录下来，为读者提供一个更有效的阅读空间。
我们选文的指导思想是：
1、文章要有穿透力，强调通性通法，对教材，甚至是对数学，有一种贴近自然的认识。
2、文章要通俗易懂，对于个别难懂之处，我们作了一些表达上的处理。
由于水平与时间所限，不当之处难免，请读者不啬提出，以便更正。

柯 正
2006年1月1日

三 角 函 数 周 期 的 探 讨
余朝阳
有高中“三角函数”这一章中，我们知道，
为常数）与为常数）及
为常数）与为常数），
这些三角函数的周期。那么，三角函数与（
为常数）的周期又是怎样的呢？
定理1 1）函数（）。当为偶数时的周期为，，最小正周期为；当为奇数时，周期为，最小正周期为。
2）函数（）。当为偶数时的周期为，，最小正周期为；当为奇数时，周期为，最小正周期为。
证 1）易证（）是周期函数（显然为其一个周期）。
设（）为 （）的周期。
由周期定义知（） （1）
当为奇数时，（1）成立的充要条件为（），
即（）最小正周期为。
所以当为奇数时，函数（）。的周期为（），最小
正周期为。
当为偶数时，（1）成立的充要条件为（）。
所以当为偶数时，（）。的周期为（），最小正周期
为。
同理：可证定理2）成立。
定理2 1）函数为常数）。

当为奇数时，周期为（），最小正周期为；
当为偶数时，周期为（），最小正周期为。
2）函数为常数）。
当为奇数时，周期为（），最小正周期为；
当为偶数时，周期为（），最小正周期为。
由周期函数定义可证明。
（柯正摘自《数学通讯》2004年6月11期）
三次函数图象的切线问题专练

广西 王强芳
[问题]
一、 曲线在点P处的切线方程
1 曲线在点处的切线方程是 。
二、曲线经过点P处的切线方程
2 已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程
是 。
三、点P不在曲线上的切线方程
3 已知曲线C：，试问：分别过点（1），（2），
（3）的曲线C的切线有几条？如果是一条，写出切线的方向向量；如果是两条，
求两条切线之间的夹角；如果是三条，写出切线方程。
四、其它变形
4 已知曲线C：的一条切线方程为，则实数的值
等于 。
5 斜率为3的直线与曲线C：相切于P点，并与曲线有另一个交点Q，求P、
Q两点的坐标。
6 若方程有一个二重根，求方程的解集。
7 P为曲线C：上一动点，若曲线在该点处的切线与曲线有另一交点Q，求PQ的中点的轨迹方程。
[答案与提示]
1 解：由，得，
所以所求的切线方程为，即。
2 错解：由，得，
所以所求的切线方程为，即。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率
与不一定相等。比如（如图）当时，正弦曲线在点P处的切线
只有一条：；而经过点P的切线却有两条：与。
正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相
切于点，则由，
得在点处的斜率，
有在点处的切线的方程为
。
又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，
有，消去得，
解得或，于是或，
所以所求切线方程为或。
3 仿题2可得：
（1）经过点的切线只有一条，，其方向向量为；
（2）经过点（2，0）的切线有两条，或，其夹角为。
（3）经过点的切线有三条，或，所求的切线方程为
或。
温磬提示：
1 解题步骤：若P点在曲线上，但没有说明P是切点，
（1）设出切点坐标；
（2）根据切点在曲线上，已知点在切线上，切点处的导数等于切线斜率这三个条件，列出三个方程，再解方程组；
（3）写出问题的结论。
2 过平面内任一点的三次函数图象的切线条数至少有一条，至多有三条，但到底有几条，要根据点的位置而定。
4 设切点坐标为，则
，又，得或2。
再消去得。
于是得或4。
5 由得，切点为或。
当切点为P时，切线方程为，得另一点Q的坐标为Q；
当切点为P时，同理可得Q（2，8）。
6 此题转化为：若直线与曲线相切，求，再解方程即可。
答案：或。
7 设PQ的中点M的坐标为，又，所以，
以P为切点的切线方程为，与联立，解得Q点的坐标
为，
则M点的坐标为。
消去，得中点M的轨迹的方程为
（柯正摘录并改编自《中学数学教学参考》2005年9期）

向 量 的 不 合 常 理 性 质 的 研 究
何新江
向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。对于初学者来讲，
向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。本文根据笔者的日常教学工作，结合学生的学习情况，对向量的“不合常理”的性质罗列研究，敬请同仁斧正。
不合常理1 向量不是有向线段，却用有向线段表示。
根据向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示，但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点 无关。一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线 段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管“形”
的位置如何变动，但“神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会，
在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。
向量与有向线段的区别还体现在平行（共线）的关系上，有向线段有平行和共线之分，这符合学生的平面几何中对直线的理解，但向量共线即平行，平行即共线，使“
三点共线”成为证明三点共线的好方法，也使“是平行四边形=
”是一个错误的结论。
常见错误：（1），（错误应用平行直线的传递性）；
（2）按平移得新向量（对向量的自由理解不深）。
不合常理2 向量有大小，却不可比较大小。
向量是一个有大小的量，它可用数来表示它的大小（模），但它却不可以比较大小，不存在诸如或。同时向量又在一个特殊的时候可以比较大小，既同向又模相等的情况下，存在，这真是有点矛盾，不合常理啊。
不合常理3 零向量方向任意，却可平行不可垂直。
零向量是一个特殊的向量，它的模是0，但它却不同于0，而是，不仅在书写上有区别，在性质上更有区别。有方向，它的方向是任意的，因此可以作任何向量平行，却不可以与任何向量垂直，因此是错误的，必须加上都是非零向量。前述常见错
误1，也是对零向量认识不清的一种错误体现，有关与0的常见判断题如：
（）；若，则或（）；若，则且（）；等等，
都是考查师生对与0的辨别能力。
不合常理4 向量运算满足交换律，分配律，却不满足结合律、消去律。
向量运算满足，，却不满足；
，它满足完全平方公式、平方差公式，却又不同于简单的完全平方公式。
虽然，但却是正确的。
错误分析：
例1 已知为非零向量，为实数，设，当取最小值时，
求证：。
错解：由，
又=， ①
又由，得当时，取到最小值。
所以。 ②
于是得。
这是学生较多出现的解法，一般学生都认为自己的证明简捷明了，而且水到渠成，无懈可击，而实际上是漏洞百出，不堪一击，其错误主要在于①中利用了消去律，把和混为
一谈，在②中忽略了，不能得出。
不合常理5 向量有坐标，但坐标却与向量无关。
向量有坐标，可以进行坐标运算，使向量具有了数的运算的简捷性，这也是之所以大部分同学爱用向量解题的重要原因之一，但向量，却不一定说明向量经过了点
，只是说明了向量的终点坐标减去起点坐标为，若要使向量的终点是，
则必须的起点为，如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自
由向量的可移动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。
不合常理6 ，但。
，因为之间的夹角为0，但任意的两个向量和的夹角却不一定为0，因此，但却时常转化为，再转化为，从而利用向量的数量积进行运算。
常见错误：。
正确判断：；。
不合常理7 书上写a、b、c,我却不可写a、b、c。
向量的使用书写过程中，学生最容易忘记的是向量字母上的“”，特别是利用单个小
写英文字母的时候，如a,b,c,l,j,k,因为书本或试卷中采用的是黑体，所以往往不加，但学生书写时必须写成这种形式，虽然这只是书写的细节问题，但如果不加注意就会出现类似于a·b=ab这种形式，从而把向量的数量积与数的乘积混淆起来。
不合常理8 ，但却表示不出来。
向量的加减法满足平行四边形法则，但在具体的想象中，显然，但
却不能得到直接的答案，只有通过具体的题目才能得到正确的结果。虽然向量的加和减所得的结果恰好是利用平行四边形法则得到的平行四边形的两条对角线，所得结果为O指向另一端点，能够直接确定，但的向量从哪到哪却是不少同学经常搞错的问题之一，不少同学就认为。
不合常理9 ，不等介于。
向量不等介于，是因为若为零向量，为非零向量，则不存在这样的实数，但，虽然最初的证明是从不为零向量开始的，但最终经过验证却对为零向量也成立；虽然来源于，但却不能推出
。

不合常理10 直线的方向向量的夹角，却不一定是直线的夹角。
对于两条直线求夹角的问题，可以转化为求两条直线所在的方向向量的夹角，但两条直线方向向量的夹角却不一定是两条直线的夹角，可能是直线夹角的补角，因为两条直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是，特别是在三角形中，遇到如“在中，，，”这个条件时，要牢记这三个向量中每
两个向量的夹角是三角形的外角而不是内角。
例2 如图，已知正方体
的棱长为2，M、N分别为、的中点，
求CM和所成角的余弦值。
解：建立以D为坐标原点、DA为轴，DC
为轴，为轴的直角坐标系。
由正方体的棱长为2，得
，，
，。
所以。
又两条直线的夹角取值范围是，其余弦值为非负数。
于是，CM和所成角的余弦值为。
对于以上罗列的十条“不合常理”的性质和定理，是学生在使用向量时出错的主要原因所在，只有教师在平时的教学工作中加以认真总结分析，才能达到防患于未然，使学生在喜欢用向量解题的基础上更进一步，达到正确灵活的应用向量，使向量的工具性体现得淋漓尽致。
（柯正摘自《中学数学教学参考》2005年9期）

含 向 量 的 方 程

唐登欣

在高三的一本数学复习资料中，有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题。下面在该题求解的的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程。
题目 已知为非零向量且,, 方程的两实根，
求证：。
1 解法探讨
错解 因为则


得。
故，原方程只有唯一解，所以。
错因分析 “将原方程两边同点乘”，不是同解变形。
成立，除了外，还有。
所以不一定是原方程的解。
正解1 由题意知是方程的根
得 （1）
（2）
有。
由，，得，于是。
故得。
正解2 假设。
由已知 ，得。
由，得。

因为，所以存在两组实数对，使可用两个不共线的向量
（由）表示。这与平面向量的的基本定理矛盾！所以。
2 方程（为非零向量）的解的讨论
1）若三个向量共线。
不妨设，原方程变为，即。
令，则
①时，原方程有两个不等的实根；
②时，原方程有两个相等的实根；
③时，原方程无实数解。
2）若中有且只有两个共线。
不妨设，则原方程变为。因为不共线，所以原方程无解。
3）若三个向量互不共线。
由平面向量基本定理知：存在唯一确定的有序实数对，使。
因为原方程可化为。
得，有 。即
①当时，方程有唯一解；
②当时，则方程无解。
说明：①上述方程中不能用判别式判断根的情况；
②不能用求根公式求解；
③韦达定理也不适用。
3 含向量的方程的解法
例1 解方程，其中。
解 [方法1] 原方程可化为
，

得，故，
得原方程的解为。
[方法2] 设，
则，故，
由，得原方程有唯一解。
例2 解方程
，其中。
解
得，解得。
（柯正摘自《数学通讯》2004年4月7 期）

用平面的法向量解高考立体几何试题

王宝红
平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。
一、平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。
平面的法向量 如果a，那么向量a叫做平面的法向量。
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关
立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或
]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且
，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。有时为了需要，也求法
向量上的单位法向量，则。
例1 在棱长为1的正方体中，
求平面的法向量和单位法向量。
解：建立空间直角坐标系，如图1，则，
。设平面的法向量。
得，。
又面，得，。有，得。
，。
二、平面法向量的三个引理
为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以
顺利地解决立体几何问题。

引理1 设向量是平面的单位法向量，点B是平面外一定点，点A是内任意一点，则点B到平面的距离。
证明：如图2，过B作BO垂直平面于O，在
平面上任取一点A，则为与的夹
角，设为。
在中，，
得。
例2 在例1中，求点到平面的距离。
解析：由例1的解答知，平面的单位法向量，
又，设点到平面的距离为，则
。
所以，点到平面的距离为。
说明：利用引理1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。
引理2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,
向量与的夹角（见图2），则。（证略）
例3 在例1中，求直线与平面所成的角。
解析：由例1知，，，
，即。
引理3 如图3，设向量与分别是二面角
中的两个半平面，的法向量，
则向量与的夹角的大小就是
所求二面角或其补角的大小。（证略）
例4 在例1中，求二面角的大小。
解：由例1知，平面的法向量是，平面的法向量是，
设二面角的大小为，则
，得。
说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量与的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若，
则，
于是。
如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱
按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，
若方向相反，则互补。
三、利用法向量解2005年高考立体几何试题
例5 （05江西 理）如图4，在长方体
中，AD==1，AB=2，点E在棱AB
上移动。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面
的距离；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。
分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，
，。
（Ⅰ）证明：由，，
，有，于是。
（Ⅱ）E是AB的中点，得。
，，。
设平面的法向量为，单位法向量为，
由，解得。
于是，有。
设点E到平面的距离为，则
。
所以点E到平面的距离为。
（Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。
又，。
由，得
，解得，于是。

设所求的二面角为，则。
有，得。
解得，
所以，当AE=时，二面角的大小为。
例6 （05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥中，
底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，
E，F分别CD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：EF平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。
分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面
垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理
论证能力，本题也是一题两法。
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=
PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .
得，，。
由，得，即，
同理，又，
所以，EF平面PAB。
（Ⅱ）解：由，得，即。
得，，。
有，，。
设平面AEF的法向量为，

由，解得。
于是。
设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。
则。
得。
所以，AC与平面AEF所成角的大小为。
说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC与平面AEF所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。
利用法向量也可顺利求解2005全国卷Ⅰ第18题：
如图6 已知四棱锥的底面为直角梯
形，AB//DC，，底面ABCD，
且PA=AD=DC=，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
解：（略）
说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果
采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。
以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可
弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。
（柯正摘自《试题与研究》2005/26 高考数学）

菲 尔 兹 奖 与 沃 尔 夫 奖
肖 庆
由于种种原因诺贝尔奖中并没有数学奖，因此世界各国设立了为数不少的数学奖项，其中菲尔兹奖与沃尔夫奖这两项影响最大。
1 菲尔兹奖
菲尔兹奖是为纪念加拿大数学家菲尔兹（J.C.Fields,1863～1932）而命名的，菲尔兹出生于加拿大渥太华，在多伦多上大学，而后在美国的约翰·霍普金斯大学获博士学位。他1892
～1902年游学欧洲，而后回到多伦多大学执教。1924年，菲尔兹作为多伦多国际数学家大会主席，成功地主持了该届大会，并在会后提议利用这次大会节余的经费设立一项国际性数学大奖。菲尔兹的建议在1932年苏黎世界国际数学家大会上得到通过。但遗憾的是，菲尔兹已在数月前去世，临终前他捐献出一大笔钱作为奖金的一部分，并再次强调奖金的国际性。
1936年奥斯陆国际数学家大会上首次颁发了菲尔兹奖，规定每次获奖者不超过4人，每人获得一枚金质奖章和一笔奖金，奖章正面为阿基米德头像，背面镌刻着“数学是宇宙的语言”的拉丁文。此后由于第二次世界大战而中断，1950年恢复颁奖。
菲尔兹奖的获得者由国际数学家联盟执委会选定，主要奖励年轻数学家的杰出成就。1974
年温哥华国际数学家大会上更明确规定该奖项只授予40岁以下的数学家。因此，于1994年证明费马大定理的英国数学家维尔斯未能获得菲尔兹奖（维尔斯1994年刚过40岁）。由于历届获奖成果的重要性，菲尔兹奖在世界上享有很高的声誉。
2 沃尔夫奖
沃尔夫（R.Wolf,1887～1981）是一位富有的犹太工业家，曾担任古驻以色列大使，后移
居以色列。1976年以其家族名义捐赠巨款创设沃尔夫奖，其中分设数学、物理、化学、医学等奖项。1978年首次颁奖，每年一次。评奖委员会由世界著名科学家组成，遵循“宁缺毋滥”的原则严格评选，允许某一奖项在该年空缺。以数学为例，在1991年、1994年就曾
空缺。
沃尔夫数学奖评选条件十分苛刻，它是对候选人数学成就的综合评价，获奖者获奖时大多已是世界知名的数学家，迄今获奖者的平均年龄已超过60岁，最年轻的是证明费马大定理的英国数学家维尔斯（1996年获奖，时年43岁）。一个志在激励年轻数学家，一个是对数学家终生成就的肯定，菲尔兹奖和沃尔夫奖互为补充，交相辉映。
纵观两项大奖的获得者，多为欧美数学家，我国仅有丘成桐教授于1983年因在微分几何、
偏微分方程、相对论领域的杰出成就获得菲尔兹奖；美籍华裔数学家陈省身教授于1984年
因在整体微分几何中贡献获得了沃尔夫奖。
（柯正摘自《数学通讯》2004年2月3期）

选 择 题 快 速 解 答
高 峰
选择题具有有基础、题小、灵活的特点，它能考查基本运算能力、逻辑思维能力，考查对基础知识掌握及运用的熟练程度，容量较大，概括面较广，历年来，在高考中都点有比较大的比例，是考生得分的主要来源，应十分重视。如何才能准确、快捷地完成一道选择题？下面介绍一下常用的解选择题的方法和技巧。
（一）直接法
从题设条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择支对照，从而作出
判断选择的一种方法。
[例1]
A，0 B，2 C， D，
解析：
得。故选D。
[ 类比1] 在数列1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它前面的一项减去再前面的一项所得的差，这个数列前200项之和为
A，5 B，4 C，2 D，
[类比2] 若，且，则等于
A， B， C， D，
[类比3] 在边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则
等于
A， B， C，0 D，3
[类比4] 经过抛物线的焦点弦的中点轨迹方程是
A， B， C， D，
[类比5] 正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱
柱的侧面对角线与所成的角是


A， B， C， D，
（二）筛选法（也叫排除法，淘汰法）
采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项一一排除，从而获得正确结论。
[例2] 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A， B， C， D，
解析：由圆心为，半径为1，切点在第三象限知切线的斜率为正值，排除B、D。
注意到A中直线倾斜角为，显然不能与圆相切。故选C。
[类比1] 已知，那么下列命题成立的是
A，若是第一象限角，则 B，若是第二象限角，则
C，若是第三象限角，则 D，若是第四象限角，则
[类比2] 已知，并且是第二象限的角，则的值等于
A， B， C， D，
[类比3] 若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是
A， B， C， D，
[类比4] 若向量，，，则向量等于
A， B， C， D，
[类比5] 设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A，1 B，2 C，4 D，6
（三）特例法（也叫特殊值法）
运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选择支进行检验或推理，从而判明真伪。
[例3]若，，，则
A， B， C， D，

解析：取，，则，，
故选B。
[类比1] 定义在区间的奇函数为增函数；偶函数在区间
的图象与的图象重合。设，给出下列不等式
① ②
③ ④
其中成立的是
A，①与④ B，②与③ C，①与③ D，②与④
[类比2] 已知，则的大小关系是
A， B，
C， D，
[类比3] 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和FQ的长分别为与，则等于
A， B， C， D，
[类比4] 若椭圆的焦点分别为、，P为椭圆上任一点（P不在长轴上），
中，的平分线交长轴于点D，的内心为I，则的值为
A， B， C， D，
（四）验证法
通过对选择支中特殊值去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。
[例4] 若（），则
A， B， C， D，
解析：取，则排除A，C，D，故选B。
[类比1] 若是周期为的奇函数，则可以是

A， B， C， D，
[类比2] 直线与平行的充要条件是
A， B， C， D，
[类比3] 已知集合，，
那么为区间
A， B， C， D，
[类比4] 若，，，则
A， B， C， D，
[类比5] 如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程为，则双曲线的方程为
A， B， C， D，
（五）分析法
根据结论要求，通过观察和分析，发现规律从而作出正确的判断。
[例5] 已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
A，（0，1） B，（1，2） C，（0，2） D，
解析：由有x↑, ↓.
若，x↑, ↓，y↑,不合题意；
若，x↑, ↓，y↓合题意，但还要满足时，，
得，于是。 故选B。
[类比1] 若，则=
A，1 B， C，0 D，2
[类比2] 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A，三棱锥 B，四棱锥 C，五棱锥 D，六棱锥
[类比3] 设命题P：关于的不等式与的解集相同，命题Q：，则Q是P
A，充要条件 B，必要不充分 C，充分不必要 D，既不充分也不必要


（六）图解法
[例6] 如图1所示函数的部分图象是
解析：从数形结合的思想去分析，从数考虑有
为奇函数，结合图形，排除A、C；再取一个特殊数，令可得其最小的正根为，再令，则，于是选D。
[类比1] 已知两直线，其中为实数，当这两条直线的夹角
在内变动时，的取值范围是
A，（0，1） B， C， D，
[类比2] 曲线，（）与直线有两个公共点时，的取值范围为
A， B， C， D，
[类比3] 如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么直线
的斜率的取值范围是
A，[0，2] B，[0，1] C， D，
[类比4] 函数
A，是偶函数，在区间上单调递增 B，是奇函数，在区间上单调递增
C，是偶函数，在区间上单调递增 D，是奇函数，在区间上单调递增
（七）近似法
把较复杂的问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，从而作出判断的方法。
[例7] 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量
（万件）近似地满足，据此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是
A，5月、6月 B，6月、7月 C，7月、8月 D，8月、9月

解析：由，可算出，由二次函数性质，可算出的对称轴为，
得时，，为了大于，取7，8。故选C。
[类比1] 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资，薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
···
···
某人1月份应缴纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
A，1200～1500元 B，900～1200元 C，800～900元 D，1500～2800元
[类比2] 用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A，24个 B，30个 C，40个 D，60个
（八）极限法
将研究的对象或过程引向极端状态进行分析，使因果关系变得明显，从而使问题得以解决。
[例8] 对任何成立的是
A， B，
C， D，
解析：当时，，，，。
于是选B。
[类比1] 设函数,若,则的取值范围是
A, B, C, D,
[类比2] 若，则直线，截圆得劣弧所对圆心角的取值范围是
A， B， C， D，



[参考答案]
（一）直接法1,B 2,A 3,B 4,B 5,B.
（二）筛选法1,D 2,A 3,A 4,B 5,B.
（三）特例法1,C 2,D 3,C 4,B.
（四）验证法1,B 2,B 3,A 4,A 5,C.
（五）分析法1,A 2,D 3,D.
（六）图解法1,C 2,D 3,A 4,C.
（七）近似法1,A 2,A.
（八）极限法1,D 2,C.
（柯正摘自《状元之路·高考热点专题专练·数学》北京教育出版社）

高中数学新课程的实验与思考
王林全
《普通高中数学课程标准》（以下称《标准》）反映了对数学课程的新认识，既受到欢迎，又在经历着挑战。如何在数学教学中落实课标理念？真是说时容易做时难。本根据在广东的实验情况，阐述新课程在实验中的问题与思考。
1 哪些是共同基础？需要进一步讨论
我国设置高中数学课程的出发点，是为广大的高中学生提供进一步的数学基础，使之能适应现代化生活，为进一步学习做好准备。
1．1 大众性
既然高中数学要满足高中生的共同数学需求，高中数学课程就要体现大众数学的理念，学校和教师应该平等地对待所有的学生，对他们学习数学应该给予高期望，相信他们在力所能及的范围内能够学好数学，而当前数学慢生的大面积存在，使教师感到困惑。
1．2 区别性
因材施教是我国的教学传统，它体现了《标准》的大众性与平等性，对学生数学基础应该有不同要求。例如，对于数学学习困难的学生，只需要通过具体的函数，了解函数的单调性、奇偶性及其几何意义即可；而对于理解能力较强的学生，可以要求他们理解函数的单调性、奇偶性的一般意义，并且用数学语言予以刻画。至于哪些是最基本的要求，哪些是较高的要求，尚待继续研究和界定。
1．3 发展性
随着国家的发展和技术的进步，高中数学的基础正在发生变化。以前熟悉的某些基础知识的重要性有所降低（对数计算，繁复的三角恒等变换等）。数学课程中大量的新内容，正在实验着加进高中的数学内容中，加多少，加哪些才恰当，还需要认真讨论。
2 课程的多样性与考试的统一性应该取得平衡
高中新课程为不同志向、不同数学需要的学生设置了五种不同的教授，这五种选择是：
选择1：读完高中准备进入社会就业的学生，只需读数学必修课10个学分；
选择2：偏重于社会科学的学生，要学习数学必修课10个学分，读选修1的两个专题（4个学分），选修3的两个专题（2个学分），共16个学分；
选择3：偏重于社会科学的学生，如果要求较高数学素养，则在选择2共16个学分的基础上，再读选修4的四个专题（4个学分），共20个学分；
选择4：偏重于自然科学的学生，要学习数学必修课10个学分，读选修2的三个专题（6个学分），选修3，4的各两个专题（4个学分），共20个学分；
选择5：偏重于自然科学的学生，如果要求较高的数学素养，则在选择4共20个学分的基础上，再读选修4的四个专题（4个学分），共24个学分；
除了允许学生对数学学习内容做出选择外，对于每个学习内容要求的高低，也应该允许学生做出适当的选择。然而，选择过多必然给统一高考造成困难。当前绝大多数高中生都有志于考上大学深造，师生们更关注新课程所提供的选择与高考的要求是否协调发展。当前教师们最担心的是：考试部门与课程部门对于高中数学教学的要求能否取得共识？这一点对中学数学教学是至关重要的。
3 探索性的学习方式需要有时间的保证
新世纪呼唤新的学习方式，为了培养学生在力所能及范围内进行“创新”性的学习，还需要创造条件，让学生有机会尝试这种学习方式。
3．1 提倡探究学习方式
学生应该有机会经历数学知识的发现、发生、发展的过程。为此，高中数学课程标准设置了“数学建模”、“数学探究”的学习活动。这些活动为学生形成积极主动的学习方式创造了有利的条件，有利于发展学生的创新意识。
3．2 改进传统学习方式
学生的数学课主要是学习间接的数学知识，因此，传统的听课理解、模仿记忆、练习作业等仍是主要的学习方式。对传统的学习方式要适当改造，让它渗透研究性学习的因素。在许可的情况下，要指导学生通过调查研究，发现数学的某些规律性。
3．3 减轻负担，保障活动的开展
学生的探究活动需要得到教师的支持。自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习的方式，需要有充分的时间保证。当前试验区的学校普遍反映高中数学新课程教学内容多，教学时数少。每个学期要学完两大本书，相当于过去一年的内容；而每财数学课时却由5节减为4节。即使是水平高，经验丰富的教师，也觉得教学时间不足，这就不能给学生进行数学探究活动提供保证。建议从总体上削减课程的内容，适当增加数学课的学时数，放
慢教学进度，给研究性学习提供良好的外部环境。
4 对学生数学能力的要求应该简明清晰
自上个世纪60年代初以来，我国逐步形成了以发展计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力等三大能力为代表的数学教学传统。
4．1 丰富思维能力的内涵
我国把发展三大能力作为数学教学的主要目标，三大能力的含义，也随着时间的推移，不断明确，不断丰富。《标准》指出，人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历
直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思、建构等思维过程。这些提法虽然好，但是繁多难记。笔者认为，三大能力的提法，简明清晰，有丰富的传统底蕴，又有与时俱进的新内涵，应该作为我国数学教学的宝贵的理念予以坚持。
4．2 以问题为培养的途径
数学知识是培养思维能力的载体，解决数学问题是发展思维能力的途径，教师在数学教学中，要善于设计适当的问题情境，通过问题解决过程，培养学生的思维能力，发展分析和解决数学问题的能力，提高数学表达和交流的能力。在教学中也要培养学生的阅读理解能力，
从而逐步形成独立获取数学知识的能力。以上各种数学能力的培养，都以培养思维能力为基础的。
5 化解数学应用意识的制约因素
重视实用本是我国古代数学教学的优秀传统。西方数学传入中国后，我国数学教育界逐
渐偏重数学的思维训练价值，而忽视了数学的应用价值，这就把我国数学的优秀传统冷落了。
5．1 发展应用意识的途径
发展应用意识的主要途径有五条：
鼓励学生运用所学过的数学知识解决数学自身的问题；
引导学生解决日常生活中与数学相关的问题；
启发学生思考其他学科与数学相关的问题；
鼓励学生用数学的眼光审视周围的世界，学会数学地思考；
让学生从传媒中的大量信息中找出明显的或隐含的数学问题。
例如，从天气的变化，环境的保护，生活的改善，经济的增长，等等，都可以找到与数学相关的题材。
5．2发展应用意识的方法
《标准》把培养学生的数学应用意识作为数学教育的主要目标，因而应该贯彻在数学教学的全过程中。《标准》规定高中数学普遍开展“数学建模”、“实习作业”等活动，要切实予以实施。一些教师怕时间不够，用自己的讲解代替学生的实践和建模活动。这就剥夺了学生的实践机会，不利于数学应用意识的健康发展。
5．3 正视应用意识的障碍
数学应用问题是教学难点，也是考试不易逾越的障碍，其原因是：①学生对问题情境感到陌生；②应用问题文字叙述长，难以理解。这些因素约制了师生数学应用的积极性。因此，
要引导学生参加课外活动，丰富实践经验；考卷中的应用于问题要适应学生的实践经验和认识水平。如何化解对数学应用意识的制约，当前尚未引起足够的注意。
6 确保“双基”得到落实
通常的“双基”，就是指基础知识的教学，基本技能和能力的培养。在新中国多年的数学教学中，逐步形成了重视“双基”的传统，高中数学课程应发扬这种传统。新课程的内容偏多，教学进度过快，可能制约“双基”的落实，因此要适当予以调整。
6．1 保留原有高中数学的主干内容
原有高中数学课程所具有的，进一步学习所必需的。有利于学生形成正确数学观的数学知识和方法，仍然是高中新课程的基础。例如，函数与方程，立体几何，平面解析几何的主干内容等。仍然是高中数学的基础知识；化归法，坐标法，数学归纳法等，仍然是高中数学的基本方法。
6．2 反映数学的发展
高中数学应当反映科学技术进步，应当吸纳有重要应用价值的数学知识与方法。例如算法、数据处理、概率统计、高量、导数及其应用等，是近现代数学的重要知识，应当视为当代高中数学基础；用计算机或计算器解方程、求函数值、绘画函数图象等，反映了运用现代信息技术的需要，应当视为当代高中数学的基本技能。
6．3 有增有减，合理负担
当前遇到的问题是如何保证“双基”的落实。在考虑增加内容的同时，要删减对于进一步学习关系不大的内容，如解三角方程的技巧和讨论，求函数的定义域和值域的复杂计算，求数列中各相关量的基本关系的繁琐计算等。另一方面，要适当降低有关数学问题的难度和复杂程度。当前学生的数学学习负担过重，控制新增内容，删减过于复杂的内容，显得更有 必要。中学数学哪些属“双基”范围？还需进一步界定。笔者认为，为了打好基础，必修
1～5至少需要三个学期才能完成。对于选修课应该重新思考。选修1、2应该抓好，选修3、4应该削减。即使如此，高中数学的内容也比过去多，要完成也不容易。
7 探索数学教学中适度形式化的要求
数学中的形式化，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言、图象语言和文字语言，
表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系。数学表现方式，大都是形式化的思想材料，对形式化的要求如何才算“适度”？值得认真探讨。
7．1 含而不露，寓于其中
数学来源于具体的材料，一旦抽象出来，就变成独立的数量关系。学习形式化的表达是数学教学一项基本要求。然而，教师不必正面宣讲数学的形式化的意义和特点，它应该寄寓在数学具体内容的教学中，暗含在数学思想方法的运用中。
7．2 重视形式，学会运用
数学教学需要体现形式化的特征。为此，教师要帮助学生了解数学语言的意义与价值，说明数学语言的丰富含义，数学教师要帮助学生学习数学的形式化的表达，包括：理解符号
的意义，说明符号的内涵，领悟符号的暗示，排除符号的迷惑。例如，反三角函数arcsinx
中的x,表示的是正弦函数值而不是角，等等。教师要指导学生欣赏数学符号美的内涵，灵活
运用数学语言表达自己的思想，解决有关数学问题。
7．3 返镤归真，揭示本质
在数学教学中要努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过精选典型例子，帮助学生自主探索，理解数学概念的形成过程，数学法则的发展过程，数学问题的求解过程，从而体现生动活泼的数学思维活动，领悟蕴涵在其中的思想方法。
8 让数学的文化价值明朗化
数学是人类文化的重要组成部分，数学课程也应该具有文化的特色。教师要阐明数学在推动人类文化发展中的作用，多方面帮助学生认识数学的文化价值。
8．1 追寻数学的历史踪迹
数学文化是多次多彩的，它受到人类文明的各种影响。为了帮助学生体现数学的文化价值，除了开设“数学史选讲”等专题的选修课外，在日常的数学教学中，教师还要注意联系相关的数学内容，适当揭示数学知识产生和发展过程，数学方法的形成与运用过程，适当地
介绍数学家的故事，数学发展的重大事件，让学生体会人们认识数学的曲折过程，认识科学家对数学发展的贡献。教师还应该介绍我国数学家的成就，弘扬我国古代数学重视应用的传统，珍惜我国数学文化的瑰宝，增进学生的民族自豪感。
8．2 欣赏数学的奇妙精美
教师要结合数学的内容，揭示数学美的内容、美图形、美的构思、美的方法，从而体现数学的美学价值。例如，利用圆锥曲线的极坐标方程，可以把椭圆、双曲线、抛物线的方程在形式上统一起来；借助于坐标法和向量法，可以构建“数”“形”结合的桥梁；利用牛顿
—莱布尼兹公式，能沟通定积分与不定积分的联系，等等。通过揭示数学的内在联系，体现数学的统一美。解决问题的成功感受，能让学生体会数学的奇妙与欣喜。
8．3 认识数学的实用价值
要让学生了解数学概念产生的历史背景，了解数学思想方法的理性精神，体会数学家创新意识，以及数学文明的深刻内涵。通过各章节教学内容，揭示数学与日常生活的广泛联系，
体会数学的实用价值，逐渐形成正确的数学观。如何让学生的数学的价值观落到实处？如何评价数学的价值观？我们所做的工作还很少，需要继续探讨。
9 消除信息技术与数学课程的整合的障碍
我国教育信息化进程的加速，为信息技术在数学教学中的运用创造了更有利的条件。如何实现信息技术与数学课程的整合？需要扫除几个障碍。
9．1 消除认识障碍，选好整合内容
首先要确定高中数学哪些内容适宜与信息技术整合，即要选好整合点。例如，为了加深学生对数学的理解，有时需要借助直观感知。因此，平面几何图形的显示，立体几何图形的观察，复杂计算过程的展现，函数图象的动态变化，几何证明的解释，都需要以直观为基础。因而，有关函数性态的研究，平面图形与空间图形的研究，都可以考虑与信息技术整合。教师要根据不同的内容，选择适当的技术，进行课件设计。如果不问内容，求多求全，表面上是每堂都用，实质上是黑板搬家，这样做无助于提高数学教学的质量。什么内容适宜与信息技术整合，人待认真地、全面地加以研究。
9．2 消除技术障碍，提高操作能力
当前许多教师尚未掌握信息技术，许多学生未有条件使用技术。教育部门要努力创造条件，为信息技术的普及排除障碍。学校要充实技术设备，鼓励教师熟悉技术，边学边用。创造条件，让学生动手操作。例如，分析数据特征，探究图形的规律，做出近似与估算，都可以通过上机操作实现。利用适当的软件，开展建模与探究，实现数学的应用，在实践中提高运用技术的能力。
9．3 消除方法障碍，注意思考过程
在运用信息技术进行选举的过程中，要留有足够的时间，引导学生观察与思考。如果展示课件，匆忙追赶进度；偏重视觉华美，技术流于形式；忽视分析启发，无暇顾及学生；这就是“注入式教学”在信息技术条件下的变种。
10 突破评价的难点，走出评价的误区
评价问题涉及教师的利益，也关系到学生前途。在广东高中数学新课程培训中，教师所提问题，70%与评价相关。可见它受到教师的密切关注。
10．1 构建评价的标准系
数学教育评价的内容是广泛的，对于数学课程、教学管理、教研活动、教学设计、教学过程，都需要进行全面合理的评价，因而建立科学的评价体系就十分有必要。美国数学教师协会已经规定了数学教师的职业标准，数学学习评价标准，数学教学评价标准，等等。我国
各学校也积累了数学教学评价的丰富经验，而全国性多元化的数学教学评价目标体系尚待建。
10．2 突破评价的难度
在数学教学评价中，教师们遇到不少棘手问题。例如，我国教学班规模较大，如何追踪学生的学习过程？如何了解学生在学习中感情、态度、价值观的变化？为了解决这个问题，教师需要深入置身于学生的活动中，积极开展师生间的数学交流，也创造条件让学生相互交流与研讨，从中了解每个人的数学学习状况，这是进行公正评价的基础。
10．3 走出评价的误区
当前的情况是：人们对总结性评价比对过程性评价更加关注，对学生知识水平的关注多于数学能力的关注，对数学能力的关注多于对感情、态度、价值观的关注，对高考的关注多于对学生正常学习的关注，对学生错误与弱点的关注又多于对他们成长和进步的关注。因此，
及时发现和纠正数学教育评价误区，是实施新课程的重要环节。
课程研制人员，教学研究人员，应该给予教师更大的支持。积极试验，总结经验，正视问题，及时调整，创造良好的环境，为建设高水平的我国高中数学课程而共同努力。
（柯正摘自《中学数学教学参考》2005年第9期）

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