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高 中 数 学 2 0 2 3 年 高 考
考前必知必会 100 条
高考临近，除保持与平时大体一致的节奏外，适当梳理一下知识点，学习一下解题时的一些注
意事项，特别是对一些细节问题加以关注，这可能使你的数学轻松多得 10—20 分．这绝对不是夸张，
因为知识点的遗漏、细节上的疏忽，在考试中都可能造成致命的错误.下面这 100 条，绝大部分你是
知道甚至熟悉的，但大部分同学都会存在或多或少的缺失，一旦这种缺失在高考试卷中出现，除相
关题目无法得分外，还可能因心理上的压力造成更大的损失！
耐心看到底，切莫因大部分已经掌握而半途终止．因为考试对知识的要求是：熟能生巧！不会
的现在学会不晚（考试前一天晚上看也有效果），已经会的要熟练！考试时为什么速度慢做不完？为
什么会解的题做错了？为什么计算老出错？其中一个重要原因就是熟练程度不够！当然还有一些细
节上的问题要解决，这种同学请仔细阅读本文．
一、解题时应随时关注的通性问题
****解题出错有规律，时刻注意下面的通性问题，可有效避免错误****
(1)在等式两边（或分式的分子和分母）同除以一个数时，要考虑：这个数可能为 0 吗？
(2)在不等式的两边同乘以或同除以一个数时，要考虑：这个数是正的还是负的？
(3)在对等式或不等式两边同时开方时，要考虑：两边的数是正的还是负的？开方结果是正的还
是负的？
(4)在使用公式时，要考虑：公式适用于什么情况？有无附加条件？
(5)在使用定义或定理时，要考虑：是否具备了定义或定理的所有条件？哪些细节容易忽略？
(6)对计算得出的数据，要考虑：数据是否在合理的范围之内（如是否求出了负数的面积或距离，
求出的人数是否为小数或负数）？数据之间是否有矛盾？
(7)当计算越来越繁琐时，应考虑：前面的计算是否有错误？特别是在考试中，一般不会出现过
于复杂的计算，若越算越繁琐，很可能是计算有误或方法不当（压轴题除外）．
(8)在解方程时，要注意：分式方程（分母中有未知数）、无理方程（根号内有未知数）、对数方
程（对数的底数或真数中有未知数）的解可能有增根，必须检验．
注：涉及方程两边同时平方、同乘一个式子、去掉对数符号等变形都可能引起增根．如 x =1平
方后变成 x2 =1，产生增根 x = 1(增根不是根，应舍掉).而方程两边同时开方、同除以一个式子等
变形可能引起失根．
1
二、需要关注的解题细节
***细节决定成败，以下这些细节问题你都掌握了吗？***
(9)在涉及子集的问题中，要注意：有无可能是空集？
(10)在求集合的交集、并集、补集时，要注意：区间是否包含端点？在求参数范围的问题中也
要注意同样问题．（在选择题和填空题中，最终结果如果弄错区间端点，将得 0 分！）
(11)在涉及 ax2 + bx + c （函数、方程、不等式）的问题中，要注意：条件中有没有直接或间接
指出 a ≠ 0？在 a ≠ 0时，有无必要讨论 a > 0和 a < 0 ？
(12)在涉及函数问题时，要注意：函数的定义域是什么（即定义域优先原则）？
(13)在涉及指数函数或对数函数时，要注意：底数 a 大于 1 还是小 1？
(14)在计算 2n a2n (n∈N* ) 时，要注意：a 是非负的还是负的？
2 2
(15)在使用同角关系 sin α + cos α =1计算时，要注意：开方后是保留正值，还是保留负值，
还是两个都保留？在使用诱导公式时，要注意：公式右端是正号还是负号？
(16)在计算三角函数值时，要注意：是否需要讨论角的范围？是否需要讨论函数值的符号？在
由两个函数值相等判定角的关系时，要注意两个角的关系是否是唯一的？如：由 0 < A, B < π且
sin A = sin B ，得出 A = B就是错误的．
(17)在解一元二次不等式时，要注意：二次项系数是正的还是负的？是否已经化成了标准形式？
2
（标准形式为： ax + bx + c > (≥,<,≤)0，其中 a > 0)
(18)在用均值不等式求最极值时，要注意：是否符合“一正二定三相等”？
(19)在使用直线方程时，要注意：各种形式的方程不能包含哪种情形？没能包含的这种情形在
所解问题中是否需要考虑？如：斜截式和点斜式不包含与 x 垂直的直线，两点式不包含与任一坐标
轴垂直的直线．
(20)在处理圆锥曲线问题时，应注意：椭圆或双曲线的焦点在哪个轴上？ a,b,c 的关系有没有
搞错？抛物线的开口朝哪个方向？
(21)在立体几何中求各种角时，要注意：角的取值范围是什么？特别是求二面角时，要注意：
求出的角是二面角还是其补角？
S1, n =1,
(22)在数列问题中，公式 an = 中，一定不要忽略 n =1的情况，使用等比数列
Sn Sn 1, n >1
a1 (1 qn )
求和公式 Sn = 时，要注意 q ≠1，还要准确判定项数． 1 q
(23)在平面向量问题中，涉及夹角时，要注意向量的方向，搞清楚哪个才是向量的夹角．如

△ABC 中，∠ B 并不是向量 AB 和 BC 的夹角.
2
三、有关答题规范性
***被扣分不一定是答案不对，还可能是因为格式不规范***
(24)答案一定要化成最简结果.分数或分式要约到最简，分母中不能有根号，根式要化到最简（如
8 要写成 2 2 ），….
(25)函数的定义域、值域、不等式的解集、参数的取值范围，一定要写成集合的形式（区间也
是集合）.结果可以用不相交的集合的并集表示，但不允许写成交集或补集．
(26)函数的单调区间一定要写成区间，多个单调增性相同的单调区间时，中间用逗号分开，严
禁写成并集．
(27)直线方程的最终结果要写成一般式，即 Ax + By +C = 0 的形式，不要写成其他几种形式．系
数中尽量不含分数，有公因数时要约分．
(28)要注意一些约定俗成的习惯，以防止阅卷时误判.如直线方程不要写成 y 3x +1= 0（应写
成3x y 1= 0），多项式要按照次数从高到低的顺序排列，单项式要按照先常数后字母的顺序书写，
常数要按照先有理数后无理数的顺序书写．
四、一些需要特别关注的知识点
***基础知识不是万能的，但没有基础知识是万万不能的，查缺补漏保高分***
(29) 集合的三个特征
___________、___________、___________.
(30)子集的个数
n 个元素的集合共有______个子集.
(31)两个的运算与子集的关系
A B = A ________， A B = A ________ .
(32) 定义域的求法
g(x)
：________ 2n f (x)(n∈N*， )：________，f (x)0 ：________，log
f (x) f (x)
g(x) ：_____________，
tan x ：________.变量有实际意义时，要考虑自变量的实际意义.
(33) 函数的单调性
①设区间 D 是 f (x)定义域内的一个区间， x1, x2 ∈D 且 x1 < x2 ，则
f (x) 在区间 D 上是增函数 _________________；
f (x) 在区间 D 上是减函数 _________________.
②复合函数的单调性口诀：同增异减.
3
(34)函数的奇偶性
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有___________，那么函数 f(x)就叫做偶函数.
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有___________，那么函数 f(x)就叫做奇函数.
(35)奇函数、偶函数的性质
①奇函数、偶函数的定义域皆关于______对称；
②奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于______对称；
③若奇函数 f (x) 在 x=0 处有定义，那么一定有 f (0) = ______.
④若 f (x) 是偶函数，则 f (x) = f ( x ) .
⑤在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍是偶函数；两个奇函
数的和、差仍是奇函数；两个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个
奇函数与一个偶函数(均不恒为零)的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.
⑥奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性.
(36)函数的周期性
设函数 f (x), x∈D ，如果存在非零常数 T，对任何 x∈D ，都有____________，则称函数 f (x) 为
周期函数，T 称为函数 f (x) 的周期.
(37)周期函数的一些隐含条件
①若函数 f (x)满足 f (x + a) = f (x) (a ≠ 0)，则函数的周期为 2|a|.
②若函数 f (x)满足 f (x + a) k= (a ≠ 0,k ≠ 0) ，则函数的周期为 2|a|.
f (x)
③若函数 f (x)满足 f (x + a) = f (x + b)(a ≠ b) ，则函数的周期为 b a .
注意： (x + a) (x + b) = a b为常数，这是函数图象具有周期性的重要特征.
④若 f (x)的图象有两条对称 x = a和 x = b (a < b)，则其周期为 2(b a) .
⑤若 f (x)的图象有两个对称中心 (a,0)和 (b,0)(a < b)，则其周期为 2(b a) .
⑥若 f (x)的图象有对称中心 (a,0)和对称轴 x = b ，则其周期为 4 b a .
(38) 函数图象的对称性
①若函数 y = f (x)的图象关于直线 x = a对称，则 f (x) = ________， f (a + x) = ________；
若 f (x + a) = f (b x)，则 f (x)的图象关于直线__________对称.
②若函数 y = f (x)的图象关于点 (m, n)对称，则 f (x) = ________， f (m + x) = ________；
若 f (x + a) = m f (b x)，则 f (x)的图象关于点______________对称.
注意： (x + a) + (b x) = a + b为常数，这是函数图象具有对称性的重要特征.
(39)二次函数
4
①二次函数的解析式的三种形式
一般式：__________________；
顶点式：__________________；
零点式：__________________.
2
f (x) ax2 bx c a x b 4ac b
2
② = + + = + + (a ≠ 0) 的图象是一条________，顶点坐标为
2a 4a
____________，对称轴方程为______，当 a > 0时开口向______， 当 a < 0 时开口向______
③ = b2 4ac > 0( = 0, < 0)时，抛物线与 x 轴有 2 个(1 个、无)交点.
④当 a > 0时，减区间是__________，增区间是__________.
当 a < 0 时，减区间是__________，增区间是__________.
⑤若 a > 0 ( a < 0 )，则当 x＝______时， f (x)取得最小(大)值为__________.
x
(40)指数函数 f (x) = a
定义域：_________，值域：___________；
当 a >1时是_____函数，当0 < a <1时是_____函数；
图象过定点__________.
(41)对数函数 f (x) = loga x
定义域：_________，值域：___________；
当 a >1时是_____函数，当0 < a <1时是_____函数；
图象过定点__________.
(42) 对数的基本性质和运算法则
①负数和零没有对数； loga 1＝______； loga a = ______.
②运算性质： loga (MN ) = ______________； log
M
a = ______________； loga M
n = _________.
N
log N
③换底公式： log N = ma (a > 0,a ≠1,m > 0,m ≠1, N > 0) . logm a
(43) 函数和图象变换
①左右平移： y = f (x)→ y = f (x ± a)(a > 0) .口诀：左加右减.
②上下平移： y = f (x)→ y = f (x) ± b (b > 0) .口诀：上加下减.
③对称变换：y = f (x)的图象与 y = f ( x)的图象关于_______对称，与 y = f (x)的图象关于
________对称，与 y = f ( x)的图象关于________对称.
④上下翻折： y = f (x) 的图象可将 y = f (x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去.
⑤ y = f ( x )的图象：先作出 y = f (x) (x≥0)的部分，再用其偶函数的性质作出 x < 0 的部分.
⑥ y = Af (x)(A > 0)的图象：将 y = f (x)图象上所有点的纵坐标× A，横坐标不变而得到.
5
1
⑦ y = f (ax)(a > 0)的图象：将 y = f (x)图象上所有点的横坐标× ，纵坐标不变.
a
(44)零点存在性定理
如果函数 y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数
y=f(x)在区间________内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根．
(45) 弧长公式和扇形面积公式
l=|α|r S= 1 lR = 1； αR2 .
2 2
(46) 三角函数值的符号口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(47) 同角三角函数的基本关系
平方关系：________________；商数关系：________________.
(48)诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.
sin(α + 2kπ) = ________， cos(α + 2kπ) = ______， tan(α + 2kπ) = _________ .
sin(π +α）= _______， cos(π +α）= ________， tan(π +α ) = _______.
sin(π α）= _______， cos(π α）= ________， tan(π α ) = _______.
sin( α）= _________， cos( α）= _________， tan( α ) = ________.
sin π +α

= __________， cos
π
2
+α
2
= ________.

sin π α = __________， cos
π
α

= _________.
2 2
(49) 函数 y = Asin(ωx + ) 的图象和性质 (A > 0,ω > 0)
周期为_______；最大值为_____，此时 x ＝__________；最小值为_____，此时 x ＝__________；
对称轴方程为___________；对称中心坐标为____________；单调增区间为__________________，单
调减区间为__________________.
(50)两角和与差的三角函数
sin(α ± β ) ＝_______________；
cos(α ± β )＝_______________；
tan(α ± β ) ＝_______________.
(51)二倍角公式
sin 2α ＝_______________；
cos 2α＝_____________＝______________＝______________；
tan 2α ＝__________.
(52)辅助角公式和降幂公式
6
y = asin x + bcos x = a2 + b2 sin(x ) a+ ，其中 cos = ， sin b= .
a2 + b2 a2 + b2
sin2α 1 cos 2α= ,cos2α 1+ cos 2α= （降幂公式）.
2 2
(53)正弦定理
____________________________________ (其中 R 为△ABC 外接圆的半径).
适用情形：①已知任意两个角与一边；②已知两边与其中一边的对角.
(54)余弦定理
a2 = b2 + c2 2bccos A，b2 = _____________________， c2 = _____________________.
适用情形：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及一边的对角，求第三边．
(55) 三角形面积公式
S 1
1 1 1
= absin C = ___________=____________＝ aha = bhb = ch . 2 2 2 2 c
(56)三角形中的几个重要结论
A+B+C= π；
sin(A+B)=_________，cos(A+B)=_________， tan (A+ B) = ____________；
cos A + B = _________， sin A + B = __________，等.
2 2
(57)数列中 Sn与 an的关系
S1,n =1,an=
Sn Sn 1,n≥ 2.
注意：使用该公式时，一定不要忽略 n =1的情况.
(58)等差数列的通项公式和前 n项和公式
an=________________；
Sn = __________＝_____________.
(59)等比数列的通项公式和前 n项和公式
an=____________；
Sn = ____________，其中 q ______.
(60) 数列常用求和方法
①公式法：用于等差数列和等比数列求和.
②错位相减法：若｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，求数列｛anbn｝的前 n 项时，可在等
式两边同乘以数列｛bn｝的公比，再与原式相减.
③裂项相消法：将数列的每一项拆分成两数之差，使之能正负抵消.
1 1 1 1
一个最常见裂项：若｛an｝是各项及公差都不为 0 的等差数列，则 =a a d
.
n n+1 a a

n n+1
7
n
一种特殊的裂项：若｛an｝的通项为 ( 1) f (n)的形式，则设法找一个函数 g (n)，满足
f (n) = g (n) + g (n +1) .
④分组求和法：将数列的项进行适当的拆分，重新组合成若干组，使每组都可以求和.
⑤并项求和法：按规律将相邻几项并成一项，使合并后有规律易于求和.比如周期数列求和.
(61) 不等式的基本性质
a>b，b>c a______c；
a>b a+c______b+c；
a>b，c>0 ac______bc；
a>b，c<0 ac______bc；
a>c，c>d a+c______b+d；
a>b>0，c>d>0 ac______bd；
a>b>0， n∈N,n≥ 2 an > bn , n a > n b.
(62) 一元二次不等式的解法
= b2 4ac > 0 = 0 < 0
ax2 + bx + c > 0 (a＞0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a＞0)的解集
口诀：大于零取两边，小于零取中间.（适用于Δ＞0， a >0）
(63) 基本不等式:
① a2 + b2 ≥ 2ab(a,b∈R) ；
ab a + b② ≤ (a≥0,b≥0) .
2
2 2 2
③变式： ab a + b a + b≤ ， ab≤ (a,b∈R) .
2 2
以上不等式当且仅当 时等号成立.
(64) 向量的线性运算

①向量的分解： AB = AP + PB = PB PA，其中 P 为任意一点.
1
②中点向量公式：若 P 为线段 AB 中点，O 为任意一点，则OP = (OA +OB) .
2
(65)两个向量共线（平行）与垂直的条件
①向量形式
a∥b (a≠0) 存在唯一的实数 λ，使得_____________；a⊥b _____________.
②坐标形式
若a = (x1, y1 ) ,b = (x2 , y2 )，则 a∥b ________________； a⊥b ______________.
(66)向量的数量积
8
①a·b＝ a b cosθ ＝ x1x2 + y1 y2 ．
②模长公式： a = a2 = x2 + y2 ，其中a = (x, y) .
a b x x + y y
③夹角公式： cosθ ＝ ＝ 1 2 1 2 .
a b x21 + y
2 x21 2 + y
2
2
(67)立体几何中的面积和体积公式
①面积公式
S圆柱侧 = 2πrl ， S圆锥侧 = πrl ，
S = π(r + R)l ， S = 4πR2 ．
圆台侧 球
②体积公式
V = Sh 1， 柱体 V锥体 = Sh ， 3
V 1= (S + SS ′ + S ′) 4台体 h， V球 = πR3 . 3 3
(68)球的一个重要图形及数量关系
R2 = r 2 + d 2 .
注意：图形中 Rt△OAO1是计算的关键图形.
(69)线面平行和垂直、面面平行和垂直问题解决技巧
在熟练掌握 4 个判定定理和 4 个性质定理的基础上，记住口诀：
由结论想判定，由条件想性质.
(70)求距离的常用方法
直接法、转移法、等积法（面积或体积）、向量法.
(71)用空间向量证明或计算
①证明直线与直线平行或垂直：设两条不同直线 l1，l2 的方向向量分别为 m，n，则
l1⊥l2 ____________；l1∥l2 ____________.
②证直线与平面平行或垂直：设直线 l 的方向向量为 m，平面 α的法向量为 n，则
l⊥α m∥n m＝λn；也可证m 与平面内两个不共线的向量垂直.
l∥α m⊥n m·n＝0，也可证明m 与平面内某个向量平行.
③证平面与平面平行或垂直：设两个不同平面 α，β的法向量分别为 n1，n2，则
α⊥β ____________；α∥β ____________.
④计算夹角
直线与平面的夹角：设直线 l 的方向向量为 m，平面 α的法向量为 n，直线与平面的夹角为 θ，
sinθ cos m,n | m n |则 = = .
| m | | n |
9
m n
二面角：设两平面法向量的夹角 θ，先由 cosθ = 求出 θ，则二面角的大小可能是 θ，
| m | | n |
也可能是 180°－θ，需结合图形或其他条件确定.
(72) 直线方程
y y
①直线的斜率： k = tanα = 2 1 .
x2 x1
②直线方程的几种形式
点斜式： y y0 = k (x x0 ) .
斜截式： y = kx + b 由.
y y
两点式： 1
x x
= 1 .
y2 y1 x2 x1
一般式： Ax + By +C = 0 (A, B 不同时为 0).
③两直线的位置关系：设直线 l1 : y = k1x + b1 ，直线 l2 : y = k2 x + b2 .
l1 与 l2 相交 _______， l1∥l2 _______， l1 与 l2 重合 ________，④ l1 ⊥ l2 _______.
注意：在处理直线平行和垂直问题时，不要忽略斜率不存在的情形.
(73) 坐标系中的距离公式
两点间的距离公式：A (x1, y1) ，B (x2 , y2 )的距离为|AB|=_____________.
点到直线的距离公式：点 P (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By +C = 0的距离为_______________.
(74)圆的方程
标准方程：圆心为C(a,b) ，半径为 r 的圆的标准方程是________________.
一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆心为_________，半径为__________，系数应满足的
条件_______________.
(75)直线与圆、圆与圆的位置关系
①直线与圆的位置关系
设圆 (x a)2 + (y b)2 = r2 (r > 0) 的圆心到直线 l : Ax + By +C = 0的距离为 d ，则
直线与圆相交 _________；
直线与圆相切 _________；
直线与圆相离 _________.
②圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为 r1, r2 ，圆心间的距离为 d ，则
d > r1 + r2 ________； d = r1 + r2 ________； d = r1 r2 ________；
r1 r2 < d < r1 + r2 两圆________； 0 ≤ d < r1 r2 两圆________.
(76)椭圆
①定义：平面内两个定点 F1, F2 ，当动点 P 满足_________________时，点 P 的轨迹为椭圆.
10
②标准方程：焦点在 x 轴上：_________________，焦点在 y 轴上：_________________.
x2 y2
③性质：对于椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0)，有 a b
范围：________________，顶点坐标：________________，对称性：____________________，
离心率：____________，焦点坐标：_______________，a,b,c 的关系：_______________.
(77)双曲线
①定义：平面内两个定点 F1, F2 ，当动点 P 满足________________时，点 P 的轨迹为双曲线.
②标准方程：焦点在 x 轴上：_________________，焦点在 y 轴上：_________________.
x2 y2
③性质：对于椭圆 2 2 =1(a,b > 0)，有 a b
范围：________________，顶点坐标：________________，对称性：____________________，
离心率：____________，焦点坐标：_______________，a,b,c 的关系：________________，
渐近线方程：__________________.
(78)抛物线
①定义：到一个定点与到一条定直线的距离________的点的轨迹叫做抛物线．
②标准方程：开口向右：________________；开口向右：________________；
开口向上：________________；开口向下：________________.
2
③性质：对于抛物线 y = 2 px ( p > 0)，有
对称轴方程：__________；焦点坐标：________；准线方程：____________；范围：__________.
④焦半径公式：设 P(x，y)为抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 上一点，F 为其焦点，则 | PF |= _________.
⑤焦点弦的性质：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 焦点的直线与抛物线的交点为 P(x1, y1) ，
Q(x2 , y2 ) ，则 | PQ |= __________， x1x2 = ________， y1 y2 = ______，通径的长度为_______.
注： x1x2 ， y1 y2 的值可利用通径记忆，并可推广到其他三种情况.
(79)古典概型
设基本事件的总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则 P(A) = ____．
(80)抽样方法
①简单随机抽样：适用范围是总体容量较小，且没有明显的个体差异.
②分层抽样：适用范围是总体容量较大，且个体有明显的层次.
比例分配分层抽样的特点：按比例抽样，各层抽取的数量占各层的比例相同，且等于样本容量
与总体容量之比.
(81) 用样本估计总体
①众数：出现次数最多的数．若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的中点表示．
②中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则
取中间两个数的平均数作为中位数.用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等.
11
③总体百分位数
一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这
个值，且至少有 (100 p)%的数据大于或等于这个值．计算步骤：
第 1 步，按 的顺序排列原始数据；
第 2 步，计算 i＝ ；
第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j，则第 p 百分位数为第 项数据；若 i
是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第(i＋1)项数据的 ．
注：用频率分布直方图估计第 p 百分位数时，使得该数左侧的面积为 p% ．
x + x + + x
④平均数： x1, x2 , , xn 的平均数为： x = 1 2 n . n
⑤标准差：x1, x2 , , x
1
n 的标准差为 s = [(x1 x)
2 + (x x)22 + + (xn x)
2 ，标准差的平方叫方
n
差，用 s2 表示．
注：标准差(方差)越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大说明数据越分散，越不稳定.
频率
⑥频率分布直方图：横坐标为数据，纵坐标为 ，每个矩形的面积为该组数据的频率，所
组距
有矩形面积之和为 1.
(82)变量间的相关关系
n n
∑(xi x)( yi y) ∑ xi yi nx y
回归直线 y = bx + a ，其中b = i=1 n =
i=1
n ， a = bx y ．
( )2 2 2∑ xi x ∑ xi nx
i=1 i=1
(x , y)叫做回归中心，回归中心一定在回归直线上.
(83) 独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为{ x1, y1 }和{ x2 , y2 }，其 2×2 列联表为：
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
K 2 (a + b + c + d )(ad bc)
2
= ，利用 K 2 的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
量有关系”，这种方法称为两个分类变量的独立性检验．
(84)条件概率与全概率公式
( ) P(AB)一 条件概率：设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B | A)＝ 为在事件 A 发生的条件
P(A)
下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
(二)乘法公式：对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)＞0，则 P(AB)＝P(A)P(B|A)．
12
(三)全概率公式
设 A1, A2 , , An 是一组两两互斥的事件， A1 A2 An = ，且 P(Ai)＞0，i＝1，2，…，
n
n，则对任意的事件 B Ω，有 P(B) =∑P(Ai )P(B | Ai ) .
i=1
(85)离散型随机变量的分布列、期望、方差
①分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xn，且ξ取每个值 xi 的概率
P(ξ=xi)=pi(i=1，2，…，n)，则称表格
ξ x1 x2 … xi … xn
p p1 p2 … pi … pn
为随机变量ξ 的分布列.
性质：(i)________________________；(ii) ________________________.
②期望：Eξ=_______________________，性质：E(aξ+b)= ______________.
③方差：Dξ=________________________，性质：D(aξ+b)=________________.
(86)二项分布
在 n 次独立重复试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率为 p ，发生的次数ξ 是一个随机变量，
n k
其所有可能取的值为 0 1 2 3 n P(ξ=k) Ck pk， ， ， ，…， ，并且 ＝ n (1 p) (其中 k=0，1，2，…，n)，
即分布列为
ξ 0 1 … k … n
P C0n p
0 (1 p)n C1n p1 (1 p)
n 1
… Ckn p
k (1 p)n k … Ck pnn (1 p)
0
称这样的随机变量ξ 服从二项分布，记作ξ ~ B(n, p) ．Eξ=________， Dξ = ________.
(87)超几何分布
(1)如果随机变量 X 的分布列为
k n k
P(X = k) C= M CN Mn ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r． CN
其中 n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量 X
服从超几何分布．
(2)如果随机变量 X 服从超几何分布，那么 E (X ) = __________.
说明：超几何分布的数学模型是从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n件，随机
M
变量 X 为抽取的 n件中次品的件数.而 = p 为次品率， E (x) = np .
N
(88)正态分布
( x )21 2
(1)函数 f (x) = e 2σ （x∈R ，μ∈R，σ＞0 为参数)称为正态密度函数，称它的图象
σ 2π
13
为正态分布密度曲线，简称正态曲线(如图)．若随
机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则称随机变量 X
2
服从正态分布，记为 X ~ N ( ,σ ).当μ＝0，σ ＝
1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布．
(2)① P (a≤X≤b)为曲线 y = f (x)与 x 轴之
间，位于 x = a 和 x = b 之间区域的面积；
② P (X≤a)为曲线 y = f (x)与 x轴之间，位于 x = a 左侧区域的面积；
③ P (X≥a)为曲线 y = f (x)与 x轴之间，位于 x = a 右侧区域的面积.
(3)若 X~N(μ 2，σ ),则 E (X ) = ，D (X ) =σ 2 .
(4)正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；
1
③曲线在 x＝μ处达到峰值 ；
σ 2π
④曲线与 x 轴之间的面积为 1．
5．3σ原则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9554，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的
值，并简称之为 3σ原则．
(89)二项式定理
①定理： (a + b)n = _______________________________.
②通项公式：Tr+1 = ___________________，r=0，1，2，…，n．
③二项式系数的性质
对称性：在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ckn = C
n k
n ；
增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，当 n 是偶数时，中间一项的二项
式系数最大；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且为最大值；
C0 + C1 + C2 nn n n + + Cn = ______，
C0 + C2 + C4 +…＝C1 3 5n n n n + Cn + Cn +…＝_________．
(90)充要条件
①如果 p 成立时，q 一定成立，即 p q，则称 p 是 q 的________条件 ；
②如果 q 成立时，p 一定成立，即 q p，则称 p 是 q 的________条件 ；
③如果既有 p q，又有 q p，则 p 是 q 的________条件，简称________条件 ．
提示：①在判定充要条件时，可简单理解为：“条件 结论”时为充分条件，“结论 条件”时
为必要条件.②在“A 的××条件是 B”这种句式中，A 是结论，B 是条件；在“A 是 B 的××条件”
14
这种句式中，A 是条件，B 是结论．
(91)含有一个量词的命题的否定
全称命题 p : x∈M , p(x) 的否定为 p : __________________．
特称命题 p : x∈M , p(x)的否定为 p : __________________．
(92) 导数的几何意义
导数 f′(x0 ) 就是函数 y = f (x) 在点(x0，f(x0))处的______________.
(93) 导数的计算
①基本初等函数的导数公式
C′＝__________(C 为常数)； (xn )′= ________，n∈Q；
(sin x)′= ________； (cos x)′= ________；
(ex )′= ________； (ax )′= ________(a>0，且 a≠1)；
(ln x)′= ________； (loga x)′= ________(a>0，且 a≠1).
②运算法则
法则 1 [u(x) ± v(x)]′= _______________.
法则 2 [u(x)v(x)]′= _________________.
3 u(x)
′
法则 v(x)
= .
___________________
法则 4 若 y = f (u),u = g(x) ，则 y′x = f ′(u) g′(x) .
(94)用导数研究函数的单调性
定理：设函数 y = f (x) 在区间 (a,b)内可导，如果 f′(x) > 0 ，则 f (x) 在 (a,b)内为________；如
果 f ′(x) < 0 ，则 f (x) 在 (a,b)内为________.
注意：以上条件是充分不必要条件，解题时常用 f′(x)≥0和 f ′(x)≤0 来求单调区间，但要注意
使 f′(x) = 0 的 x 只是一些孤立点而不是在某个区间上恒成立.
(95) 用导数研究函数的极值
①定理：如果函数 f(x)在区间(a，b)上可导，且在 x=x0∈(a，b)处取得极值，则必有 f′(x0 ) =0.
②用导数求极值的步骤：
△求导：求导数 f ′(x)；
△求根：求方程 f′(x)＝0 的根；
△判断：方程 f′(x)＝0 的根把函数定义域分成若干小区间.设 x0 是其中一个根，则：如果在 x0 两
侧 f ′(x)符号相同，则 f (x0 ) 不是极值；如果在 x0 的左侧 f ′(x) > 0 ，右侧 f ′(x) < 0 ，那么 f (x0 ) 是极
大值；如果在 x0 的左侧 f ′(x) < 0 ，右侧 f ′(x) > 0，那么 f (x0 ) 是极小值.
(96) 用导数研究函数的最大值和最小值
设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b)内可导，求 f (x) 在 [a,b]上最大值与最小值的步骤如下：
15
①求 f (x) 在 (a,b)内的极值；
②求 f (a) 和 f (b) ；
③将 f (a) 和 f (b) 与所有极值比较，其中最大(小)的数就是 f (x) 在 [a,b] 上的最大(小)值.
(97)构造函数的技巧
①直接构造；②先变形，再构造；③部分构造；④多次构造；⑤构造多个函数.
(98)用导数证明不等式
①利用单调性：若 f (x)在区间 D 上是增函数， x1 < x2 ，则 f (x1 ) < f (x2 ) .减函数类似.
②利用最值：设 f (x)有最大值M ，最小值m ，则m≤f ( x)≤M .
(99)恒成立问题和存在性问题
①恒成立问题
f (x)≥k 恒成立 f (x) ≥k ； min
f (x)≤k 恒成立 f (x) ≤k . max
②存在性问题
x∈D ，使得 f (x)≥k f (x) ≥k ； max
x∈D ，使得 f ( x)≤k f (x) ≤k . min
(100)双函数中的恒成立和存在性问题
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≥g (x2 ) f (x) ≥g (x)min max ；
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≥g (x2 ) f (x) ≥g (x) ； min min
x1 ∈D1, x2 ∈D2 ， f (x1 )≤g (x2 ) f (x) ≤g (x) . max max
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