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微专题 极化恒等式（参考答案）
例2.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记中点为，中点为.
由于，而.由于为等边三角形，则三点共线，且由于是外心，也是重心，故.
则，显然，由在圆外，且共线（中点为），则.综上所述，.
（法2.基底法）
，因为等边的三个顶点均在圆上，因此，
，因为等边的三个顶点均在圆上，所以原点是等边的重心，因此，所以有：
，当时，即同向时，有最小值，最小值为.
例3.在中，，为钝角，是边AB上的两个动点，且，若的最小值为，则.
解析：取MN的中点P，则由极化恒等式得
由于. 由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.
作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1，又，所以，
所以.
例4.（2017年江苏卷）在直角坐标系中，，点P在圆上，若，则点P的横坐标的取值范围是
解析：设中点为，则，故可知满足题意的动
点P又在圆上，联立两圆方程可得，P的横坐标的取值范围为：
.
例5.半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由得,在平行四边形中，，
故易知四边形是菱形，且,设四边形对角线的交点为E
由极化恒等式得
，所以
因为是圆内一点，所以
所以，即，选A.
微专题 奔驰定理
例1．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．
解析：因为，
所以，所以．
例2.设为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.
解析：将化为，.
设M、N分别是AB、AC的中点，则.
设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，
所以.
微专题 向量隐圆
例2.已知向量满足，且与的夹角为，则的最大值为________.
解析：如图，，，则，依题可知：，故三角形均在圆上，的最大值即为该圆的直径，由正弦定理可知：
类型2.圆的内接四边形
基本结论：若四边形有一组对角互补，则四点共圆.
例3.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________.
解析：依题夹角为，而向量的夹角为，故由四点共圆结论可知，向
量的终点与四点共圆，则的最大值即为圆的直径，由于
则由正弦定理：
习题．设向量，，满足，，，的夹角为60°，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
解析：，，故
设 ，的夹角为60°，故，又，故四点共圆，设圆的半径为R,故当=2R时，取最大，故选：A微专题 极化恒等式
一．原理分析
人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于，两式相减可得：
.
特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).
二．典例分析
例1．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
B． C． D．
解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故
.
（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．
设，，，，
故，则其最小值为，此时，．
注1.关于极化恒等式的应用，我将其总结为在处理数量积范围问题时，若发现题干有“共起点，定底边”的特征，我们就可尝试使用该恒等式，做法就是把中线连出即可，下面我将再通过一个例题予以分析.
注2.在处理平面向量范围问题时，坐标法是通性通法，这一点需要注意.
例2.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3.在中，，为钝角，是边AB上的两个动点，且，若的最小值为，则.
例4.（2017年江苏卷）在直角坐标系中，，点P在圆上，若，则点P的横坐标的取值范围是
例5.半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
微专题 奔驰定理
1.奔驰定理
点是所在平面上不与重合的一点，若，
则，即.反之亦然.
证明：只证的情形，其它情形可类似证明．如图1，由得.
，存在点使得，且，
，，
同理有，，即,命题得证．
图1 图2
2.三角形四心的向量表达
如图2，为内一点，设分别表示的边长，则
（1）为的重心；
（2）为的外心；
（3）为的内心；
（4）为的垂心.
证明：（1）为的重心,如图3.为边中线，过作，过作
由三角形相似可知，所以，同理可知，故可得如下结果，故.
图3 图4
（2）如图4.由同弦所对圆心角和圆周角，，，
，则 ，因此得证. .
如图5. 设内切圆半径为，则，，
故.
图5 图6
如图6，由于，从而可得
，所以. 则
，最后，利用正弦定理可得：.
另一方面.，那么
，故可得在非直角三角形中为的垂心.
这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向量形式，下来，我们将重点介绍四心向量形式的应用.
二．应用
例1．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．
例2.设为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.
微专题 向量隐圆
例1.（2018年浙江高考）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
解析：设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
例2.已知向量满足，且与的夹角为，则的最大值为________.
类型2.圆的内接四边形
基本结论：若四边形有一组对角互补，则四点共圆.
例3.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________.
习题．设向量，，满足，，，的夹角为60°，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1

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