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微专题 应用公切线的六大视角（参考答案）
1.求两个函数在公共点处的公切线与条数（接触型相切）
例1．已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．或1
解析：点在两函数图象上，，，根据题意可得，即. 故选：C
例2．已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，所以，由题意，解得故选:A.
2.求两个函数（非接触型）相切的公切线与条数
例3．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
解析：设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，
，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，
所以. 故选：D
例4．已知函数．
（1）若恒成立，求实数的最小值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切．
解析：（1）实数的最小值为．
（2）证明：设直线分别切的图象于点，
由可得，得的方程为，即．
由可得，得的方程为，即．比较的方程，得，消去，得．令，则．
当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，．，在上有一个零点．
由，得，
在上有一个零点，在上有且只有两个零点，故有且只有两条直线与函数的图象都相切．
3.已知公切线的条数求参数范围
例5．已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：设直线为曲线在点处的切线，，所以，即；设直线为曲线在点处的切线，，所以，即，
由题意知，因为，由可得，将其代入可得：，显然，整理得. 记且，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即，化简得，解得，故选：.
例6．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即，
代入得：，则，整理得，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得，当时，，单调递增，时，，单调递减，又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：
所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B.
例7．（2023·安徽安庆·校考一模）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：当时，的导数为；当时，的导数为，设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，当时，函数在处的切线方程为：；当时，函数在处的切线方程为两直线重合的充要条件是①，②，由①②得：，，
令，则，令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则. a的取值范围是.故选：B.
4.已知公切线的条数求参数最值
例8．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意得，，．设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点∴，
∴，∴，∴，∴．
设，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴实数a的最大值为，故选：A．
例9．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，设，则，∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e，故选：B.
例10．设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数b的最大值为______.
解析：设公共点坐标为，，，由在公共点处切线相同得，即，解得（舍去）或，
又，即，所以，设函数，
，令得.
当时，，当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，b取最大值，将代入，则得.故答案为：.
例11．若存在直线与函数，的图象都相切，则实数a的最大值为______.
解析：因存在直线与函数，的图象都相切，由函数，的图象知，必有函数的图象在的图象及上方，
即，成立，令，，
在单调递增，而，则当时，，当时，，因此，在上递减，在上递增，，则，
设直线与曲线，相切的切点分别为，
而，于是有：，即，，该直线方程为，点在此直线上，则，
整理得：，令，求导得：，
显然函数在上单调递减，当时，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即，所以实数a的最大值为1.
5.利用公切线解决恒成立问题
例12．（2023届温州一模）已知，函数的最小值为2，其中，．
（1）求实数a的值；
（2），有，求的最大值．
解析：（1）由题意知，，则，
令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，解得，
经检验，符合题意.故.
不等式可化为，因此可看做过点的直线夹在两支曲线中间.当直线与相切时，令切点为，则，因此为方程的根，即，所以.当直线与相切时，令切点为，则，因此为方程的根.
只需，即，
当直线为两支曲线的公切线时取到最大值.
例13.已知函数.
（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；
（2）当时，证明＞0.
解析：（2）易知在点处的切线方程为在点处的切线方程为，即直线为与的公切线，设，则，即函数与有公共点，易知与在点处的切线方程均为，即直线为与的公切线.
6.利用公切线解决零点问题
例14. 已知函数，若有个零点，则实数的取值范围为______.
解析：设切点为，根据两曲线相切的定义可知即，设
，可知在上为增函数，由，则，，结
合图象可知.
例15.（2022乙卷）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.
解析：由于在处的切线为，时，在处的切线也为
如图，当时，与直线相交，那么必然会与在有一个交点！，且递减，递增，结合图象动态变化过程，于是
微专题 导数中的朗博不等式（参考答案）
朗博不等式是近年来随着函数同构出现的一个热门的不等式，其原理如下：下面主要注意的是，那么根据指数函数的基本不等式可得：
，
等号成立当且仅当.
例1．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解法1：因为，所以，设，则且原不等式可化为，只需．设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．故选：B．
解法2：由不等式，可得.
例2.（2020德阳三诊）．
已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析1.（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令
，令，，则
在上单增，又，
，使即①当时，，当时，，即在递减，在递增，
由①知函数在单调递增即，实数的取值范围为.
解析2.由不等式，可得.
注意：朗博不等式命制的导数题目用通法解决时会出现同构型隐零点情形，即：
与这样的基本关系，读者在此处需特别注意.
例3.（2023届广东省一模）已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
解析：由题知不等式在上恒成立，
原问题等价于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
记，则，当单调递减，单调递增，
因为即，
①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，令，显然单调递增，且，
故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解. 综上所述，.
例4.已知，求最大值
解析：，当时取最大值为
例5.若不等式对任意的都成立，则的取值范围（ ）
解析：，微专题 应用公切线的六大视角
1.求两个函数在公共点处的公切线与条数（接触型相切）
例1．已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．或1
例2．已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
2.求两个函数（非接触型）相切的公切线与条数
例3．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
例4．已知函数．
（1）若恒成立，求实数的最小值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切．
3.已知公切线的条数求参数范围
例5．已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例6．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·安徽安庆·校考一模）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知公切线的条数求参数最值
例8．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例9．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例10．设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数b的最大值为______.
例11．若存在直线与函数，的图象都相切，则实数a的最大值为______.
5.利用公切线解决恒成立问题
例12．（2023届温州一模）已知，函数的最小值为2，其中，．
（1）求实数a的值；
（2），有，求的最大值．
例13.已知函数.
（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；
（2）当时，证明＞0.
6.利用公切线解决零点问题
例14. 已知函数，若有个零点，则实数的取值范围为______.
例15.（2022乙卷）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.
微专题 导数中的朗博不等式
朗博不等式是近年来随着函数同构出现的一个热门的不等式，其原理如下：下面主要注意的是，那么根据指数函数的基本不等式可得：
，
等号成立当且仅当.
例1．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
例3.（2023届广东省一模）已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
例4.已知，求最大值
例5.若不等式对任意的都成立，则的取值范围_____________.

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