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微专题 递推公式求通项（参考答案）
例1.解析：∵，－ = 1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.
例2．解析：∵，，∴，解得．
，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．
当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，，设的前n项和为，
则．故选：A．
例3．解析：（1）由①②，②-①，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，∴，
∴，∴，n为奇数，，∴，n为偶数．∴.
例4．解析：由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则
所以，故选：D.
例5．解析：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴.
例6．解析：因为，，所以，故.
例7．解析：当时，，即，所以
累乘得：，又，所以
所以
则
. 故选：C.
例8．解析：依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
例9.解析：显性构造：，，.
例10．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；
解析：∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则．
例11.(2020年新课标全国3卷)设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前n项和.
解析：由可得：，累加可得：.
（2）由（1）得，所以
. ①
.②
得，
例12．已知数列满足，，求数列的通项公式.
因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.
例13．已知数列的前项和为，，. 证明：数列是等差数列.
证明：∵，∴，易知，∴，
∴数列是公差为2的等差数列.
例14．设数列的前项和为，且满足，. 求.
解析：因为,所以，
则，，即为首项为，公差为的等差数列，
则，故.
例15．已知数列满足．求数列的通项公式.
解析：，①当时，．当时，，②由①-②，得，
因为符合上式，所以．
例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.
解析：，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，
所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．
例17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
解析：由已知得,且，,取,由得,
由于为数列的前n项积，所以,
所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.微专题 递推公式求通项
类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！
例1.已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为( )
A． B． C． D．
例3．数列中，．求的通项公式；
类型2.等比数列：相邻两项递推：或.
或者相邻三项递推：.
注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.
例4．数列中，，对任意有，若，则（ ）
A． B． C． D．
例5．已知数列满足且，．求通项；
类型3.累加型
例6．若数列满足，．求的通项公式.
类型4.()累乘型.
例7．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
类型5.型（待定系数法）
一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到。
例8．在数列中，，．求的通项公式.
例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.
类型6.型
例10．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；
类型7.型.
例11.(2020年新课标全国3卷)设数列满足，.
（1）计算，，求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
类型8.型
例12．已知数列满足，，求数列的通项公式.
类型9.已知与关系，求.
在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.
例13．已知数列的前项和为，，. 证明：数列是等差数列.
例14．设数列的前项和为，且满足，. 求.
例15．已知数列满足．求数列的通项公式.
例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.
类型9：已知前项积求.
例17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．

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