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2023年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题02《有理数》
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知识互联网
)
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学习目标
)
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
理解有理数的意义
熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用； 理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
掌握多重符号的化简；
掌握一个数的绝对值的求法和性质； 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
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知识要点
)
要点1：有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　
　　　 　　
要点分析：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
要点2：有理数
我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
要点分析：
（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
要点3：数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点分析：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点4：数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点分析：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点5：数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点分析：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
要点6、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点分析：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点7、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点分析：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点8、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点9、有理数的大小比较
数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
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题
型1
：
有理数
)
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典例精讲
)
【典型例题01】（2021秋 潍坊期中）下列说法错误的是 　 　．
A．所有的整数都是正数
B．非负数就是正数
C．正数和负数统称为有理数
D．0既不是正数，也不是负数
【思路引导】根据正数，负数和有理数的知识，逐一判断即可．
【完整解答】解：①因为整数包括正整数，0和负整数，故A错误，
②因为非负数是正数和0，故B错误，
③因为正有理数，0和负有理数统称为有理数，故C错误，
④0既不是正数，也不是负数，故D正确，
故答案为：ABC．
【考察注意点】本题考查了有理数，正数和负数，学生必须熟练掌握后才能正确判断．
【典型例题02】（2021秋 雁峰区校级期末）下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，分数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据整数和分数统称为有理数，即可解答．
【完整解答】解：下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，
是分数的有：，3.14，20%，
所以，共有3个分数，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了有理数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
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变式训练
)
【变式训练01】（2021秋 原阳县期末）在﹣3.5，，0.161161116…，中，有理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练02】（2021秋 顺义区期末）在有理数﹣3，，0，，﹣1.2，5中，整数有 负分数有 　 ．
【变式训练03】（2021秋 耒阳市期末）把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
(
题
型
2
：
数轴
)
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典例精讲
)
【典型例题03】（2022 藁城区二模）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5．则与|a1|相等的数是（　　）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【思路引导】6﹣（﹣6）＝12，即把12六等分，每一等份是2，所以a1，a2，a3，a4，a5分别表示﹣4，﹣2，0，2，4，所以与|a1|相等的数是4，即a5．
【完整解答】解：∵6﹣（﹣6）＝12，
∴六等分后每一等份是2，
∴a1＝﹣4，a2＝﹣2，a3＝0，a4＝2，a5＝4，
∴|a1|＝4＝a5，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了数轴上的点，解题的关键是计算出原点位置，以及每一个点到原点的距离．
【典型例题04】（2021秋 洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 　 ．
【思路引导】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
【完整解答】解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；
若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；
若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；
若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．
故答案为：C．
【考察注意点】本题考查了数轴．此类题要学会用排除法解决．
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变式训练
)
【变式训练04】（2022 海淀区校级开学）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）求数轴上点B所对应的数b为 　 ；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数为 　 ．
【变式训练05】（2022 石家庄模拟）如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，AB＝OA．
（1）求点B表示的数；
（2）将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数．
(
题
型
3
：
相反数
)
(
典例精讲
)
【典型例题05】（2021秋 兰考县期末）+3与 　 　互为相反数，只有 　0　的相反数是它本身．
【思路引导】直接利用相反数的定义分别得出答案．
【完整解答】解：+3与﹣3互为相反数，只有0的相反数是它本身．
故答案为：﹣3，0．
【考察注意点】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
【典型例题06】（2021秋 渌口区期末）下列两个数互为相反数的是（　　）
A．（﹣）和﹣（﹣） B．﹣0.5和
C．π和﹣3.14 D．+20和﹣（﹣20）
【思路引导】将每组中的两个数进行变形，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可．
【完整解答】解：A、﹣（﹣）＝，因为﹣+≠0，所以﹣与﹣（﹣）不是互为相反数，故此选项不符合题意；
B、因为﹣0.5+＝0，所以﹣0.5与是互为相反数，故此选项符合题意；
C、因为π+（﹣3.14）＝0.0015926……，故此选项不符合题意；
D、﹣（﹣20）＝20，因为+20+20＝40，因此+20和﹣（﹣20）不是互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提．
(
变式训练
)
【变式训练06】（2021春 海陵区校级月考）记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）＝（其中n为正整数）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2019）+M（2020）的值；
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【变式训练07】（2021秋 许昌期末）如果a的相反数是2，那么（a+1）2022的值为 　 　．
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题
型
4
：
绝对值
)
(
典例精讲
)
【典型例题07】（2021秋 望城区期末）如果|m|＝﹣m，下列各式成立的是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0
【思路引导】根据负数或0的绝对值等于它的相反数，判断即可．
【完整解答】解：∵|m|＝﹣m，
∴m的绝对值等于它的相反数，
∴m≤0，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【典型例题08】（2021秋 封丘县期末）若a＝|﹣2|，|b+1|＝3，则a+5b的值为 　
【思路引导】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【完整解答】解：∵a＝|﹣2|，|b+1|＝3，
∴a＝2，b+1＝±3，
解得：b＝﹣4或2，
当a＝2，b＝2时，
则a+5b＝2+5×2＝12；
当a＝2，b＝﹣4时，
则a+5b＝2+5×（﹣4）＝﹣18，
综上所述：a+5b的值为：﹣18或12．
故答案为：﹣18或12．
【考察注意点】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．
(
变式训练
)
【变式训练08】（2021秋 九龙坡区校级期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（　　）
A．a﹣2b﹣1 B．a+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1
【变式训练09】（2021秋 龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 ．
(
基础
达标
)
一、选择题
1．（2022七上·宝安期末）下列说法正确的是（　　）
A．|-2|的相反数是2
B．各边都相等的多边形叫正多边形
C．了解一沓钞票中有没有假钞，应采用普查的形式
D．若线段AB=BC，则点B是线段AC的中点
2．（2022七上·松桃期末）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．-2与 B．-2与 C．2与 D． 与
3．（2021七上·海曙期末）下列各数中最小的是(　　)
A．0 B．-1 C．1 D．
4．（2021七上·白银期末）在0，-4，3， 中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．3 D．
5．（2022七上·城固期末）已知 ，则 的相反数是（　　）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
二、填空题
6．（2022七上·毕节期末）2021的相反数的绝对值是　 　.
7．（2022七上·毕节期末）数轴上点A表示的有理数是 ，那么到点A的距离为10的点表示的数是　 　.
8．（2021七上·大埔期末）如图所示在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b，则a，b与0的大小关系为　 　< 0 <　 　．
9．（2021七上·黄埔期末）若与x互为相反数，则x＝　 　．
三、解答题
10．（2021七上·汉滨期中）把下列各数填在相应的大括号里.
4，0.5，-3.5，10%， ， ，0，
（ 1 ）正整数集合{ }
（ 2 ）分数集合{ }
（ 3 ）非负数集合{ }
11．（2021七上·临沭月考）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来．3.5，-2，-1.5，0， ， ．
12．（2021七上·鄄城月考）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“>”将它们连接起来：
．
13．（2021七上·济宁月考）
（1）把如图的直线补充成一条数轴，
（2）在数轴上表示： ， ， ， ；
（3）将（2）中各数按由小到大的顺序用“<”连接起来．
14．（2022七上·汇川期末）快递员骑车从转运中心出发，先向西骑行1km到达A小区，继续向西骑行2km到达B小区，后向东骑行6km到达C小区，最后回到转运中心.
（1）以转运中心为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置.
（2）C村离A村有多少千米？
（3）邮递员一共骑行了多少千米？
15．（2022七上·泾阳期末）这是个正方体的展开图，相对的两个面所标注的数或式子的值均互为相反数，分别求出字母A，x，y的值.
　 　 x 　
A
　 4 　 　
16．（2022七上·松桃期末）已知 ， ，且 ，求 的值.
(
能力提升
)
一、选择题
1．（2022七上·宝安期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C，且|a|=|b|，AB=BC，则下列结论中①ab<0；②a=-b：③a+c>0；④3a+c=0中，正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022七上·泾阳期末）下列方程的解为-2的相反数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022七上·汇川期末）已知|a|＝8，|b|＝3，且|a－b|＝b－a，则a＋b的值为（　　）
A．5或11 B．－5或－11 C．－5 D．－11
4．（2021七上·长沙期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（　　）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
5．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022七上·句容期末）如图，数轴上有A、B、C三点，C为AB的中点，点B表示的数为2，点C表示的数为 ，则点A表示的数为　 　.
7．（2021七上·密山期末）已知|a|＝2，b2＝9且a＞b，那么a+b的值是　 　．
8．（2021七上·澄海期末）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示-1，且AB＝2，则点B表示的数是　 　．
9．（2021七上·高港月考）若a 、b 、 c 为整数，且 | a-b |19+ | c-a |99 =1，则| c-a |+ | a-b |+| b-c |=　 　.
10．（2021七上·南宁月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到点B的距离相等.
三、解答题
11．（2022七上·城固期末）在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C， ， ，若点B为原点，求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
12．（2022七上·遵义期末）先化简，再求值： ，其中 .
13．（2020七上·仁寿期末）若，，且a、b互为倒数，求的值.
14．（2022七上·巴中期末）如图，数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且.a，c满足|a+4|+（c﹣1）2022＝0，点B对应的数为﹣3.
（1）求数a，c.
（2）点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为l个单位长度/秒，设运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值.
（3）在（2）的条件下，点B运动到点C后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，请直接写出在此运动过程中A，B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
15．（2022七上·汇川期末）如图，数轴上点A对应的有理数为2，点B对应的有理数为－8，点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点F以每秒2个单位长度的速度从B出发，且E，F两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝2时，E，F两点对应的有理数分别是　 　，　 　，EF＝　 　；
（2）用含t的式子表示：AE＝　 　， 当点F在点A左侧时，AF＝　 　，当点F在点A右侧时，AF＝　 　；
（3）当点F是线段AE的中点时，求t的值.
（4）是否存在t，使点E是线段BF的中点，如果存在，求t的值，如果存在，说明理由.
16．（2021七上·南山期末）如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s．
（1）若AP＝PB，
①当动点C，D运动了2s时，AC＋PD＝　 　cm；
②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为　 　s；
（2）当点C，D在运动时，总有PD＝2AC，·
①求AP的长度；
②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度．
17．（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.
①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.
②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.2023年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题02《有理数》
(
知识互联网
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(
学习目标
)
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
理解有理数的意义
熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用； 理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
掌握多重符号的化简；
掌握一个数的绝对值的求法和性质； 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
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知识要点
)
要点1：有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　
　　　 　　
要点分析：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
要点2：有理数
我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
要点分析：
（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
要点3：数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点分析：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点4：数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点分析：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点5：数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点分析：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
要点6、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点分析：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点7、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点分析：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点8、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点9、有理数的大小比较
数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
(
题
型1
：
有理数
)
(
典例精讲
)
【典型例题01】（2021秋 潍坊期中）下列说法错误的是 　ABC　．
A．所有的整数都是正数
B．非负数就是正数
C．正数和负数统称为有理数
D．0既不是正数，也不是负数
【思路引导】根据正数，负数和有理数的知识，逐一判断即可．
【完整解答】解：①因为整数包括正整数，0和负整数，故A错误，
②因为非负数是正数和0，故B错误，
③因为正有理数，0和负有理数统称为有理数，故C错误，
④0既不是正数，也不是负数，故D正确，
故答案为：ABC．
【考察注意点】本题考查了有理数，正数和负数，学生必须熟练掌握后才能正确判断．
【典型例题02】（2021秋 雁峰区校级期末）下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，分数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据整数和分数统称为有理数，即可解答．
【完整解答】解：下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，
是分数的有：，3.14，20%，
所以，共有3个分数，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了有理数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
(
变式训练
)
【变式训练01】（2021秋 原阳县期末）在﹣3.5，，0.161161116…，中，有理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】有理数包括整数和分数，无理数包括三类：一是无限不循环小数，二是含有π的数，三是开方开不尽的数，可知答案．
【完整解答】解：A，﹣3.5是负分数，故是有理数；
B，是正分数，故为有理数；
C，0.161161116…是无限不循环小数，是无理数，故不是有理数；
D，是含有π的数，是无理数，故不是有理数，
所以有理数有两个，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了有理数的分类，关键是掌握分类方法判断．
【变式训练02】（2021秋 顺义区期末）在有理数﹣3，，0，，﹣1.2，5中，整数有 　0，﹣3，5；　，负分数有 　﹣，﹣1.2　．
【思路引导】根据有理数的分类进行填空即可．
【完整解答】解：整数有：0，﹣3，5；
负分数有：﹣1.2，﹣；
故答案为：0，﹣3，5；﹣1.2，﹣．
【考察注意点】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数是解题的关键．
【变式训练03】（2021秋 耒阳市期末）把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【思路引导】根据负有理数，分数，以及非负数的定义判断即可得到结果．
【完整解答】解：负有理数集合：﹣50%，﹣3，﹣，﹣3.14，﹣92；
分数集合：﹣50%，0.628，﹣，﹣3.14，5.9；
非负数集合：0.628，0，5.9．
【考察注意点】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类法是解本题的关键．．
(
题
型
2
：
数轴
)
(
典例精讲
)
【典型例题03】（2022 藁城区二模）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5．则与|a1|相等的数是（　　）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【思路引导】6﹣（﹣6）＝12，即把12六等分，每一等份是2，所以a1，a2，a3，a4，a5分别表示﹣4，﹣2，0，2，4，所以与|a1|相等的数是4，即a5．
【完整解答】解：∵6﹣（﹣6）＝12，
∴六等分后每一等份是2，
∴a1＝﹣4，a2＝﹣2，a3＝0，a4＝2，a5＝4，
∴|a1|＝4＝a5，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了数轴上的点，解题的关键是计算出原点位置，以及每一个点到原点的距离．
【典型例题04】（2021秋 洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 　C　．
【思路引导】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
【完整解答】解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；
若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；
若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；
若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．
故答案为：C．
【考察注意点】本题考查了数轴．此类题要学会用排除法解决．
(
变式训练
)
【变式训练04】（2022 海淀区校级开学）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）求数轴上点B所对应的数b为 　﹣2　；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数为 　﹣3或1　．
【思路引导】（1）由图1和图2对应的线段成比例即可求解．
（2）设点P所表示的数a，分两种情况：①当﹣5≤a≤﹣2时，②当a＞﹣2时，根据P到A的距离是到B的距离的两倍，可得a的值，即可求解．
【完整解答】解：（1）由图1可得AC＝4﹣（﹣5）＝9，由图2可得AC＝5.4cm，
∴，
∴b＝﹣2，
即数轴上点B所对应的数b为﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）设点P所表示的数a；
①当﹣5≤a≤﹣2时，PA＝2PB，
则a+5＝2（﹣2﹣a），
解得：a＝﹣3；
②当a＞﹣2时，PA＝2PB，
则a+5＝2（a+2），
解得：a＝1．
∴点P所表示的数为﹣3或1．
故答案为：﹣3或1．
【考察注意点】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴表示数的方法是解决问题的关键．
【变式训练05】（2022 石家庄模拟）如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，AB＝OA．
（1）求点B表示的数；
（2）将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数．
【思路引导】（1）根据AB与OA的关系，得到B到A的距离，从而得出B到原点的距离即可；
（2）注意两种情况，利用两点的中点坐标公式计算即可．
【完整解答】解：（1）∵AB＝OA，OA＝5，
∴AB＝6，
∴BO＝AB﹣AO＝6﹣5＝1，
则点B表示的数是1；
（2）当点B向左平移时，CB＝3，
∴点C表示的数是﹣2，
∵点M是AC的中点，
∴点M表示的数是＝﹣3.5；
当点B向右平移时，CB＝3，
∴C表示的数是4，
∵点M是AC的中点，
∴M表示的数是＝，
所以点M表示的数是﹣3.5或．
【考察注意点】本题考查了数轴上的点的表示，两点的中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握数轴上的点的表示方法，以及两个点中点的坐标公式．
(
题
型
3
：
相反数
)
(
典例精讲
)
【典型例题05】（2021秋 兰考县期末）+3与 　﹣3　互为相反数，只有 　0　的相反数是它本身．
【思路引导】直接利用相反数的定义分别得出答案．
【完整解答】解：+3与﹣3互为相反数，只有0的相反数是它本身．
故答案为：﹣3，0．
【考察注意点】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
【典型例题06】（2021秋 渌口区期末）下列两个数互为相反数的是（　　）
A．（﹣）和﹣（﹣） B．﹣0.5和
C．π和﹣3.14 D．+20和﹣（﹣20）
【思路引导】将每组中的两个数进行变形，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可．
【完整解答】解：A、﹣（﹣）＝，因为﹣+≠0，所以﹣与﹣（﹣）不是互为相反数，故此选项不符合题意；
B、因为﹣0.5+＝0，所以﹣0.5与是互为相反数，故此选项符合题意；
C、因为π+（﹣3.14）＝0.0015926……，故此选项不符合题意；
D、﹣（﹣20）＝20，因为+20+20＝40，因此+20和﹣（﹣20）不是互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提．
(
变式训练
)
【变式训练06】（2021春 海陵区校级月考）记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）＝（其中n为正整数）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2019）+M（2020）的值；
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【思路引导】（1）根据M（n）＝（其中n为正整数），可得M（5），M（6）；根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据乘方的意义，可得M（2019），M（2020），根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据乘方的意义，可得M（n），M（n+1），根据有理数的加法，可得答案．
【完整解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；
（2）2M（2019）+M（2020）＝2×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）2020+（﹣2）2020＝0；
（3）2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1＝0，
∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【考察注意点】本题主要考查了新定义运算和有理数的混合运算，掌握规律是解答此题的关键．
【变式训练07】（2021秋 许昌期末）如果a的相反数是2，那么（a+1）2022的值为 　1　．
【思路引导】直接利用相反数的定义，结合有理数的乘方运算法则得出答案．
【完整解答】解：∵a的相反数是2，
∴a＝﹣2，
∴（a+1）2022＝（﹣2+1）2022＝1．
故答案为：1．
【考察注意点】此题主要考查了相反数、有理数的乘方，正确掌握相反数的定义是解题关键．
(
题
型
4
：
绝对值
)
(
典例精讲
)
【典型例题07】（2021秋 望城区期末）如果|m|＝﹣m，下列各式成立的是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0
【思路引导】根据负数或0的绝对值等于它的相反数，判断即可．
【完整解答】解：∵|m|＝﹣m，
∴m的绝对值等于它的相反数，
∴m≤0，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【典型例题08】（2021秋 封丘县期末）若a＝|﹣2|，|b+1|＝3，则a+5b的值为 　﹣18或12　．
【思路引导】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【完整解答】解：∵a＝|﹣2|，|b+1|＝3，
∴a＝2，b+1＝±3，
解得：b＝﹣4或2，
当a＝2，b＝2时，
则a+5b＝2+5×2＝12；
当a＝2，b＝﹣4时，
则a+5b＝2+5×（﹣4）＝﹣18，
综上所述：a+5b的值为：﹣18或12．
故答案为：﹣18或12．
【考察注意点】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．
(
变式训练
)
【变式训练08】（2021秋 九龙坡区校级期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（　　）
A．a﹣2b﹣1 B．a+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1
【思路引导】先根据数轴判断a、b的大小，再判断所求式子中绝对值内部的符号，再化简求值．
【完整解答】解：由数轴可知，﹣1＜b＜0，1＜a＜2，
∴b+1＞0，|b+1|＝b+1，
b﹣a＜0，|b﹣a|＝a﹣b，
∴原式＝b+1﹣（a﹣b）
＝1+2b﹣a，
故选：D．
【考察注意点】本题考查绝对值和数轴．关键在于根据数轴判断b+1、b﹣a的符号，进而取绝对值化简求值．
【变式训练09】（2021秋 龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　﹣1或5　．
【思路引导】根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【完整解答】解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；
当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，
所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，
即b＝1或b＝7，
当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，
故答案为：﹣1或5．
【考察注意点】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
(
基础
达标
)
一、选择题
1．（2022七上·宝安期末）下列说法正确的是（　　）
A．|-2|的相反数是2
B．各边都相等的多边形叫正多边形
C．了解一沓钞票中有没有假钞，应采用普查的形式
D．若线段AB=BC，则点B是线段AC的中点
【答案】C
【完整解答】解：A、∣-2∣的相反数是-2，故A不符合题意；
B、各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形，故B不符合题意；
C、了解一沓钞票中有没有假钞，应采用普查的形式，故C符合题意；
D、若线段AB=BC，则点B不一定是线段AC的中点，故D不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】根据相反数的定义、正多边形的定义、普查的特征、线段中点的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022七上·松桃期末）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．-2与 B．-2与 C．2与 D． 与
【答案】D
【完整解答】解：互为相反数的是： 与
故答案为：D.
【思路引导】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
3．（2021七上·海曙期末）下列各数中最小的是(　　)
A．0 B．-1 C．1 D．
【答案】B
【完整解答】解：由题意可知：
故答案为：B.
【思路引导】直接利用有理数的大小比较，得出结果。
4．（2021七上·白银期末）在0，-4，3， 中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．3 D．
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【思路引导】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
5．（2022七上·城固期末）已知 ，则 的相反数是（　　）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【完整解答】解： ，
a=-4，
∴ =4，
∴ 的相反数是-4.
故答案为：A.
【思路引导】首先根据2a=-8求出a的值，然后结合绝对值、相反数的概念进行解答.
二、填空题
6．（2022七上·毕节期末）2021的相反数的绝对值是　 　.
【答案】2021
【完整解答】解：2021的相反数为-2021，
所以2021的相反数的绝对值为 ，
故答案为：2021.
【思路引导】根据只有符号不同的两个数互为相反数可得2021的相反数为-2021，然后根据一个负数的绝对值等于其相反数即可得出答案.
7．（2022七上·毕节期末）数轴上点A表示的有理数是 ，那么到点A的距离为10的点表示的数是　 　.
【答案】-15或5
【完整解答】解：到点A的距离为10的点表示的数是-5+10=5或-5-10=-15.
故答案为：-15或5.
【思路引导】若该点在点A左侧，则该点表示的数为-5-10；若该点在点A右侧，则该点表示的数为-5+10，据此解答.
8．（2021七上·大埔期末）如图所示在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b，则a，b与0的大小关系为　 　< 0 <　 　．
【答案】a；b
【完整解答】解：∵在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b，
点在原点的左侧，点在原点的右侧，正数大于负数，
∴
故答案为：
【思路引导】结合数轴，利用数轴上右边的数大于左边的数可得答案。
9．（2021七上·黄埔期末）若与x互为相反数，则x＝　 　．
【答案】
【完整解答】解：∵x与互为相反数，
∴，
故答案为：．
【思路引导】互为相反数的两个数相加为0，据此解答即可.
三、解答题
10．（2021七上·汉滨期中）把下列各数填在相应的大括号里.
4，0.5，-3.5，10%， ， ，0，
（ 1 ）正整数集合{ }
（ 2 ）分数集合{ }
（ 3 ）非负数集合{ }
【答案】解：
（1）正整数集合{ …… }
（2）分数集合{ ……}
（3）非负数集合{ …… }
【思路引导】（1）正整数是指除0以外的自然数，结合已知条件可求解；
（2）根据分母不为1的数是分数，有限小数可以化为分数，并结合已知条件可求解；
（3）根据大于或等于0的数是非负数可得非负数集合，再根据已知条件可求解.
11．（2021七上·临沭月考）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来．3.5，-2，-1.5，0， ， ．
【答案】解：如图所示：
，
．
【思路引导】将各点分别在数轴上表示出来，然后利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大进行判断即可。
12．（2021七上·鄄城月考）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“>”将它们连接起来：
．
【答案】解：在数轴上表示出各个数如图所示：则可得3>1.5>0> 0.5> 34> 2
【思路引导】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上的点表示的数的大小规律即可得到结果。
13．（2021七上·济宁月考）
（1）把如图的直线补充成一条数轴，
（2）在数轴上表示： ， ， ， ；
（3）将（2）中各数按由小到大的顺序用“<”连接起来．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解： ， ，
数轴表示如下：
（3）解：由（2）可知： ．
【思路引导】(1)利用数轴的定义即可求解；
(2) 利用有理数在数轴上的表示方法即可解答；
(3) 利用数轴上表示的两个数，右边的数大于左边的数进行判断即可。
14．（2022七上·汇川期末）快递员骑车从转运中心出发，先向西骑行1km到达A小区，继续向西骑行2km到达B小区，后向东骑行6km到达C小区，最后回到转运中心.
（1）以转运中心为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置.
（2）C村离A村有多少千米？
（3）邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】（1）解：如图，
（2）解：
所以C村离A村有4千米.
（3）解：
所以邮递员一共骑行了12千米.
【思路引导】（1）根据题意可得点A位于原点左侧1个单位长度处，点B位于原点左侧3个单位长度处，点C位于原点右侧3个单位长度处，据此画在数轴上；
（2）根据数轴上两点间距离等于这两点所表示数差的绝对值进行计算；
（3）分别求出OA、AB、BC、OC的值，然后相加即可.
15．（2022七上·泾阳期末）这是个正方体的展开图，相对的两个面所标注的数或式子的值均互为相反数，分别求出字母A，x，y的值.
　 　 x 　
A
　 4 　 　
【答案】解：“y+2”与“y-2”是相对面；4与x是相对面，“A”与“-8x”是相对面.
由题意得，（y+2）+（y-2）=0，x+4=0，
解得y=0，x=-4，
由题意得，A=-（-8x）=8x，
将x=-4代入，得A=8×（-4）=-32.
【思路引导】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可得“y+2”与“y-2”是相对面；4与x是相对面，“A”与“-8x”是相对面，然后根据相对面的数字或式子的值互为相反数即可求出x、y的值，进而得到A的值.
16．（2022七上·松桃期末）已知 ， ，且 ，求 的值.
【答案】解：因为 ， ，
所以 或-3， 或-5.
又因为 所以 或-3， ，
①当 ， 时 .
②当 ， 时 .
所以 的值为-11或1.
【思路引导】 由，，可得 或-3， 或-5，根据a＞b可确定a=3，b=-5或a=-3，b=-5，然后分别计算即可.
(
能力提升
)
一、选择题
1．（2022七上·宝安期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C，且|a|=|b|，AB=BC，则下列结论中①ab<0；②a=-b：③a+c>0；④3a+c=0中，正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：根据a、b、C在数轴上的位置，得a＜0＜b＜c， |a|=|b|＜|c| ，
∴ ab<0， a+c>0，
故①③正确；
∵|a|=|b|，
∴a，b互为相反数，
∴a=-b，故②正确：
∵ AB=BC，a=-b，
∴c=3b==-3a，
∴3a+c=0，故④正确，
故答案为：D.
【思路引导】根据a、b、C在数轴上的位置，得出a＜0＜b＜c， |a|=|b|＜|c| ，根据有理数的加法和乘法法则得出ab<0， a+c>0， 根据相反数的几何意义得出a=-b，根据线段中点的定义得出c=-3a，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022七上·泾阳期末）下列方程的解为-2的相反数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：-2的相反数的是2，
A、 ，解得：x=0 2，该选项不符合题意；
B、 ，解得：x=2，该选项符合题意；
C、 ，解得：x=-2 2，该选项不符合题意；
D、 ，解得：x=- 2，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【思路引导】根据相反数的概念可得-2的相反数为2，然后计算出各个选项中方程的解，据此判断.
3．（2022七上·汇川期末）已知|a|＝8，|b|＝3，且|a－b|＝b－a，则a＋b的值为（　　）
A．5或11 B．－5或－11 C．－5 D．－11
【答案】B
【完整解答】解： |a|＝8，|b|＝3，
|a－b|＝b－a，
或
或
故答案为：B
【思路引导】由|a|＝8，|b|＝3，可得 根据|a－b|＝b－a可得从而确定 或 然后分别代入计算即可.
4．（2021七上·长沙期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（　　）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
【答案】D
【完整解答】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t 5|＝2，
∴2t 5＝ 2，或2t 5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，
∵PB＝2，
∴|20 2t 5|＝2，
∴20 2t 5＝2，或20 2t 5＝ 2，
解得t＝ 或t＝ .
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒.
故答案为：D.
【思路引导】分两种情况：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，由PB=2分别建立方程并解之即可.
5．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
【思路引导】由数轴可得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.
二、填空题
6．（2022七上·句容期末）如图，数轴上有A、B、C三点，C为AB的中点，点B表示的数为2，点C表示的数为 ，则点A表示的数为　 　.
【答案】-4
【完整解答】解：∵点B表示的数为2，点C表示的数为 ，
∴BC=2-（-1）=3，
∵C为AB中点，
∴AC=BC=3，
∴点A表示的数为：-1-3=-4.
故答案为：-4.
【思路引导】根据点B、C表示的数结合两点间距离公式可得BC，根据中点的概念可得AC=BC=3，据此不难求出点A表示的数.
7．（2021七上·密山期末）已知|a|＝2，b2＝9且a＞b，那么a+b的值是　 　．
【答案】-1或-5
【完整解答】解：∵|a|=2，b2=9，
∴a=±2，b=±3．
又∵a＞b，
∴当a=2，b=-3时，a+b=2+（-3）=-1；
当a=-2，b=-3时．a+b=-2+（-3）=-5．
故答案为：-1或-5．
【思路引导】先根据|a|=2，b2=9，求出a=±2，b=±3，再结合a＞b，求出a、b的值，然后分两种情况将数据代入计算即可。
8．（2021七上·澄海期末）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示-1，且AB＝2，则点B表示的数是　 　．
【答案】-3或1
【完整解答】解：根据题意得：
当点B在点A的右边时，点B表示的数是；
当点B在点A的左边时，点B表示的数是；
∴点B表示的数是-3或1．
故答案为：-3或1
【思路引导】结合数周，再利用两点之间的距离为2分两种情况求解即可。
9．（2021七上·高港月考）若a 、b 、 c 为整数，且 | a-b |19+ | c-a |99 =1，则| c-a |+ | a-b |+| b-c |=　 　.
【答案】2
【完整解答】解：a、b、c为整数，则a-b、c-a也为整数，且| a-b |19 与| c-a |99 为非负数，和为1，
∴a、b、c三个数中有2个数相等，
当时，则，，，
| c-a |+| a-b |+| b-c |=，
同理，当或时，均得到| c-a |+| a-b |+| b-c |=2，
故答案为：2.
【思路引导】a、b、c为整数，则a-b、c-a也为整数，且| a-b |19 与| c-a |99 为非负数，和为1，a、b、c三个数中有2个数相等，分三种情况：当a=b时、当a=c或c=b时，据此分别求解即可.
10．（2021七上·南宁月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到点B的距离相等.
【答案】
【完整解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（-10+6t），点N所表示的数为2t，
①当点B是MN的中点时，有，
解得：，
②当点M与点N重合时，有，
解得：，
因此，或，
故答案为：或.
【思路引导】设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（-10+6t），点N所表示的数为2t，即①当点B是MN的中点时，②当点N与点M重合时，根据“ 点M、点N分别到点B的距离相等”分别建立方程求解即可.
三、解答题
11．（2022七上·城固期末）在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C， ， ，若点B为原点，求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
【答案】解：∵点B为原点，AB=3，BC=6，
∴点A表示的数为-3，点B表示的数为0，点C表示的数为6，
∴A、B、C三个点所表示的三个数之和为
【思路引导】 根据已知条件可得点A表示的数为-3，点B表示的数为0，点C表示的数为6，然后求和即可.
12．（2022七上·遵义期末）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：
＝-x2-5xy+10y2+2x2+xy-6y2
＝x2-4xy＋4y2，
∵ ，
∴ x-3＝0， y+1＝0，
即 x＝3， y＝-1，
当x＝3， y＝-1时，
原式＝32-4 3 （-1）+4 （-1）2
＝9+12+4
＝25.
【思路引导】先利用去括号、合并同类项将原式化简，再利用绝对值及偶次幂的非负性求出x、y的值，然后代入计算即可.
13．（2020七上·仁寿期末）若，，且a、b互为倒数，求的值.
【答案】解： ， ，
，
，b互为倒数，
，
则原式 .
【思路引导】根据乘积为1的两个数互为倒数可得ab=1；再把A、B的值代入3A-2B，先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）和合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"计算即可将代数式化简，再把ab的值代入化简后的代数式计算即可求解.
14．（2022七上·巴中期末）如图，数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且.a，c满足|a+4|+（c﹣1）2022＝0，点B对应的数为﹣3.
（1）求数a，c.
（2）点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为l个单位长度/秒，设运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值.
（3）在（2）的条件下，点B运动到点C后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，请直接写出在此运动过程中A，B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解： 对应的数为-3， 对应的数为-4，
或
解得 或
当A，B两点到原点O的距离相等时， 或
（3）解：由（2）得，当 时，A、B两点同时到达的点是-2，
2.5秒时点A的对应数是1，B点对应的数是-0.5，
设经过t秒A、B相遇，由题意得，
此时点A、B两点同时到达的点是0，
再经过2秒时，点A到达点A，B返回在0，
设点A、B两点再过t秒相遇，由题意得，
此时A、B两点同时到达的点是 ，在此3秒时，A为0，B为-3，
A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：-2，0， .
【思路引导】（1）根据绝对值以及偶次幂的非负性可得a+4=0，c-1=0，求解可得a、c的值；
（2）根据点A、B对应的数可得AB=1，AO=4，BO=3，然后根据|AO|=|BO|求解即可；
（3）由（2）得：当t=1时，A、B两点同时到达的点是-2，求出2.5秒时点A、B对应的数，得到AB的值，设经过t秒A、B相遇，列出关于t的方程，求出t的值，可得此时点A、B两点同时到达的点是0，再经过2秒时，点A到达点A，B返回在0，此时AB=4，设点A、B两点再过t秒相遇，同理列出关于t的方程，求出t的值，得到此时A、B表示的数，据此解答.
15．（2022七上·汇川期末）如图，数轴上点A对应的有理数为2，点B对应的有理数为－8，点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点F以每秒2个单位长度的速度从B出发，且E，F两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝2时，E，F两点对应的有理数分别是　 　，　 　，EF＝　 　；
（2）用含t的式子表示：AE＝　 　， 当点F在点A左侧时，AF＝　 　，当点F在点A右侧时，AF＝　 　；
（3）当点F是线段AE的中点时，求t的值.
（4）是否存在t，使点E是线段BF的中点，如果存在，求t的值，如果存在，说明理由.
【答案】（1）4；-4；8
（2）t；10-.2t；2t-10
（3）解： 对应的数分别为 点F是线段AE的中点，
对应的数为
而F对应的数也为
解得：
当运动时间为 s时，点F是线段AE的中点.
（4）解：不存在，理由如下：
对应的数分别为 点E是线段BF的中点，
对应的数为
而 对应的数为
此时方程无解，
所以点E不能是线段BF的中点.
【完整解答】解：（1）如图，
所以E对应的数为 F对应的数为
故答案为： ；
（2）解：如图，
所以
当点F在点A左侧时，
当点F在点A右侧时，
故答案为： ；
【思路引导】（1）找出t=2时E、F的位置，进而可得点E、F对应的数，然后根据两点间距离公式计算即可；
（2）用点E表示的数减去点A表示的数可得AE；然后分点F在点A左侧、右侧两种情况进行解答；
（3）根据中点坐标公式可得点F对应的数，据此求出t的值；
（4）根据中点坐标公式可得点E对应的数，结合点E对应的数为2+t，建立方程，求解即可.
16．（2021七上·南山期末）如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s．
（1）若AP＝PB，
①当动点C，D运动了2s时，AC＋PD＝　 　cm；
②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为　 　s；
（2）当点C，D在运动时，总有PD＝2AC，·
①求AP的长度；
②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度．
【答案】（1）12；4
（2）解：①设运动时间为，则，
，
，
当在运动时，总有，即总有，
的值与点的位置无关，
在点的运动过程中，点始终在线段上，此时满足，
，
又，
，
解得，
答：的长度为；
②由题意，分两种情况：
（Ⅰ）当点在线段上时，
，
点在点的右侧，
，，
代入得：，解得；
（Ⅱ）当点在的延长线上时，则，
代入得：；
综上，的长度为或．
【完整解答】解：（1）
解：①，
，
当动点运动了时，，
，
，
故答案为：12；
②设运动时间为，
点运动到点所需时间为，点运动到点所需时间为，
则，
由题意得：，
则，
当点重合时，，即，
解得，
所以当时，点一定在点的右侧，
则，即，
解得，
即当两点间的距离为时，运动的时间为，
故答案为：4．
【思路引导】（1）①由题意可求出，，则可求好处AC、PD的值，即可求出答案；②设运动时间为，则，可求出，求出t即可；
（2）①设运动时间为，则，当在运动时，总有，即总有，得出的值与点的位置无关，推出得出AP的值即可；②由题意，分两种情况：（Ⅰ）当点在线段上时，（Ⅱ）当点在的延长线上时，分别讨论即可得出PQ的值。
17．（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.
①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.
②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.
【答案】解：①由有理数a，b，c在数轴上对应的位置可知 ，
∴ ， ， ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵B为AC的中点，
∴BC=AB，即 ，
∴ ，
∴ .
【思路引导】（1）根据数在数轴上的位置，可得 ， ，从而得出 ， ， ，然后利用绝对值的性质进行化简，再合并即可；
（2） 由OA＝6，OA＝4OB求出OB，即得a、b的值，由线段的中点可得BC=AB，即 ，从而求出c值.

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