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第十九章 一次函数
第2课时19.2.3 变量与函数
一、温故知新（导）
上节课我们学习了一次函数与方程、不等式的关系.那么一次函数与二元一次方程（组）又有怎样的关系呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；
2、掌握一次函数的图象求二元一次方程（组）的图象解法.
学习重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）的关系；
难点：二元一次方程（组）的图象解法.
二、自我挑战（思）
1、1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．（1）请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．（2）在某时刻两气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：（1）1号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5(0≤x≤60)
2号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+15(0≤x≤60)
（2）在某时刻两个气球处于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得：，即.
解得，这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
2、我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答，如图19.2-8，在同一坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为（20,25），这也说明当上升 20 min时，两个气球都位于海拔 25 m的高度.
图19.2-8
三、互动质疑（议、展）
1、一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为 y=kx+b（k、b是常数，k≠0） 的形，所以每个这样的方程都对应一个 一次函数 ，于是也对应一条 直线 .这条直线上每个点的坐标（x，y）都是二元一次方程的 解 .
2、由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的 二元一次方程组 ，都对应两个 一次函数 ，于是也对应两条 直线 .从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个 函数值 相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的 坐标 .因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的 解 .
3、实例：
例： 如图，过点（2，-1）的直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=2x+4相交于点P（-1，a）．
（1）求a的值；
（2）求直线l1的解析式；
（3）直接写出的解．
解：（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，
∴a=-2+4=2；
P的坐标为（-1，2），
（2）∵直线l1：y=kx+b过点B（1，0），
∴，
解得．
∴直线l1的解析式为：y=-x+1．
（3）的交点是（-1，2）．
∴方程组的解为.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　）
A． B． C． D．
1、解：设过点（-4，0）和（0，4）的直线解析式为y=kx+b,
则，解得，
所以过点（-4，0）和（0，4）的直线解析式为y=x+4；
设过点（-2，2）和（0，-6）的直线解析式为y=mx+n,
则，解得，
所以过点（-2，2）和（0，-6）的直线解析式为y=-4x-6，
所以所解的二元一次方程组为．
2、如图所示，已知函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）和y=mx（m为常数，且m≠0）的图象相交于点P，则关于x,y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2、解：∵直线y=kx+b（k≠0）与直线y=mx（m≠0）交于点P（1，1），
∴关于x、y的二元一次方程组是，故选：B．
3、已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（a,-4），则关于x、y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
3、解：∵直线y=2x经过（a,-4），
∴a=-2，
∴交点坐标为（-2，-4），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解，故选：C．
4、已知一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），则方程组的解是 ．
4、解：∵一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），
∴方程组的解是．故答案为：．
5、方程组的解是时，则直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 ．
5、解：∵方程组的解是，
∴直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 为（2，2），
故答案为：（2，2）．
6、已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y=mx的图象交于点C．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若点C（2，a），请直接写出方程组的解．
6、解：（1）次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），
∴，解得，
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=-x+2；
（2）∵一次函数y=-x+2过点C（2，a），
∴a=-×2+2=1，∴C（2，1），
∴方程组的解为．
六、用
（一）必做题
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
1、解：设直线y=kx+b（k≠0），
将点（0，2），（2，0）代入y=kx+b,，
解得，
∴直线解析式为y=-x+2，
设直线y=mx+n（m≠0），
将点（0，-1），（1，1）代入y=mx+n,，
解得，
∴直线解析式为y=2x-1，
∴所解的二元一次方程组是，故选：B．
2、如图，关于x,y的方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
2、解：由函数图象可得：直线y=x+6与直线y=-ax+b的交点坐标为：（-1，5），
即方程组的解为，
∴关于x,y的方程组的解是．故选：D．
3、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小；
②方程组的解为；
③方程ax+b=0的解为x＝ ；
④当x=0时，mx+n=1．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，可知y的值随着x值的增大而减小，
故①符合题意；
由图象可得方程组，
解得：，
即方程组的解为，
故②符合题意；
由图可知，一次函数y=ax+b的图象过点（-3，2）和（0，-2），
将（-3，2）和（0，-2）代入y=ax+b,得，
解得：，
因此y＝ x 2，
令y=0，得 x 2＝0，
解得x＝ ，
因此方程ax+b=0的解为x＝ ，
故③符合题意；
由一次函数y=mx+n的图象与y轴的交点在（0，1）点的下方，可知当x=0时，mx+n≠1，
故④不符合题意；
综上：符合题意的有①②③，共3个，
故选C．
4、方程组的解是时，则直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 ．
4、解：∵方程组的解是，
∴直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 为（2，2），
故答案为：（2，2）．
5、已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为 ．
5、解：∵二元一次方程组的解为，
∴A（2，6），
把A（2，6）分别代入y=kx+4和y=-3x+b得2k+4=6，-6+b=6，
解得k=1，b=12，
∴两直线的解析式分别为y=x+4，y=-3x+12，
当y=0时，x+4=0，
解得x=-4，
∴B（-4，0），
当y=0时，-3x+12=0，
解得x=4，
∴C（4，0），
∴三角形ABC的面积=×（4+4）×6=24．故答案为：24．
6、如图，直线y1=kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m,0）两点，与直线y2=-4x+12交于点P（2，n），直线y2=-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求m,n值；
（2）直接写出方程组的解为 ；
（3）求△PBC的面积．
6、解：（1）把点P（2，n）代入y2=-4x+12得：n=-8+12=4，
∴P（2，4），
把A（0，2），P（2，4）代入y1=kx+b得，，
解得：，∴y1=x+2，
把B（m,0）代入y1=x+2得：0=m+2，
解得：m=-2，
∴m=-2，n=4；
（2）∵直线y1=kx+b与y2=-4x+12交于点P（2，4），
∴方程组的解为：，
故答案为：；
（3）当y2=-4x+12=0时，
解得：x=3，
∴C（3，0），
∵P（2，4），B（-2，0），C（3，0），
∴BC=5，
∴S△PBC＝×5×4＝10．
（二）选做题
7、已知：如图，直线l1与y轴交点坐标为（0，-1），直线l2与x轴交点坐标为（3，0），两直线交点为P（1，1），解答下面问题：
（1）求出直线l1、l2的解析式；
（2）求直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积；
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的解为；
（4）根据图象当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？
7、解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b,由题意得：，
解得，
∴直线l1的解析式为y=2x-1；
设直线l2的解析式为y=ax+m,由题意得：，
解得，
直线l2的解析式为y=-x+；
（2）在y=2x-1中，令y=0，则x=，
∴直线l1与x轴的交点为（，0），
∴直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积=×（3-）×1=；
（3）∵直线y=2x-1与直线y=-x+交点为P（1，1），
∴方程组的解为；
（4）根据图象可得l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0时，＜x＜3．
8、若正比例函数y1=-x的图象与一次函数y2=2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-2．
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；
（3）在一次函数y2=2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．
8、解：（1）将x=-2代入y=-x,得y=2，
则点A坐标为（-2，2），
将A（-2，2）代入y=2x+m,
得m=6，
所以一次函数的解析式为y=2x+6；
（2）∵正比例函数y1=-x的图象与一次函数y2=2x+m的图象交于点A（-2，2）
∴方程组的解是；
（3）
设直线y=2x+6与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，6），D（-3，0），
∵A（-2，2），
∴S△AOC=×6×2=6，S△AOD=×3×2=3；
当B点在第三象限时，
∵S△AOB=S△AOD+S△DOB=9，则S△BOD=6，
设B的纵坐标为n,
∴S△BOD=×3×（-n）=6，
解得：n=-4，
即点B的纵坐标是-4，
把y=-4代入y=2x+6得：x=-5，
∴B（-5，-4）；
当B点在第一象限时，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=9，则S△BOC=3，
设B的横坐标为m,
∴S△BOC=×6×m=3，
∴m=1，即B点的横坐标是1，
把，x=1，代入y=2x+6得，
y=8，
∴B（1，8）；
综上，点B的坐标为（1，8）或（-5，-4）．
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第十九章 一次函数
第2课时19.2.3 变量与函数
一、温故知新（导）
上节课我们学习了一次函数与方程、不等式的关系.那么一次函数与二元一次方程（组）又有怎样的关系呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；
2、掌握一次函数的图象求二元一次方程（组）的图象解法.
学习重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）的关系；
难点：二元一次方程（组）的图象解法.
二、自我挑战（思）
1、1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．（1）请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．（2）在某时刻两气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
2、我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答，如图19.2-8，在同一坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为（20,25），这也说明当上升 min时，两个气球都位于海拔 m的高度.
图19.2-8
三、互动质疑（议、展）
1、一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为 的形，所以每个这样的方程都对应一个 ，于是也对应一条 .这条直线上每个点的坐标（x，y）都是二元一次方程的 .
2、由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的 ，都对应两个 ，于是也对应两条 直线 .从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个 相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的 .因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的 .
3、实例：
例： 如图，过点（2，-1）的直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=2x+4相交于点P（-1，a）．
（1）求a的值；
（2）求直线l1的解析式；
（3）直接写出的解．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　）
A． B． C． D．
2、如图所示，已知函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）和y=mx（m为常数，且m≠0）的图象相交于点P，则关于x,y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
3、已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（a,-4），则关于x、y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4、已知一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），则方程组的解是 ．
5、方程组的解是时，则直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 ．
6、已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y=mx的图象交于点C．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若点C（2，a），请直接写出方程组的解．
六、用
（一）必做题
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
2、如图，关于x,y的方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
3、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小；
②方程组的解为；
③方程ax+b=0的解为x＝ ；
④当x=0时，mx+n=1．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、方程组的解是时，则直线l1：y=2x-2与直线l2：y=ax+b的交点坐标是 ．
5、已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为 ．
6、如图，直线y1=kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m,0）两点，与直线y2=-4x+12交于点P（2，n），直线y2=-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求m,n值；
（2）直接写出方程组的解为 ；
（3）求△PBC的面积．
（二）选做题
7、已知：如图，直线l1与y轴交点坐标为（0，-1），直线l2与x轴交点坐标为（3，0），两直线交点为P（1，1），解答下面问题：
（1）求出直线l1、l2的解析式；
（2）求直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积；
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的解为；
（4）根据图象当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？
8、若正比例函数y1=-x的图象与一次函数y2=2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-2．
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；
（3）在一次函数y2=2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．
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