资源简介

二项式定理
知识聚焦
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝_____________________________(n∈N*其中a,b可以是数或多项式或其他).
二项展开式的通项公式 Tk＋1＝__________，它表示第 项
二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})
注意点:
(1)项数为_______ ;
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n;
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
(1)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ .
(2)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；最大值为________,
当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大,最大值为________或__________.
典例剖析
例1：（多选题）已知的展开项中第6项为常数项，则（ ）
A.
B.展开式中含的项为
C.各项二项式系数和为
D.展开式中第三项和第四项的二项式系数最大
变式1.的展开式中，项的系数为__________
变式2.的展开式中，项的系数为___________
变式3.的展开式中项的系数为（　 　）
120 B．160 C．280 D．320
例2：（多选题）若，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
变式1：（多选题）对任意实数，有，则( )
A. B.
C. D.
变式2：若，则 .
拓展提升
1.（多选题）已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各偶数项的二项式系数和为512 B．展开式中第5项和第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为210
2.若，则（ ）
A． B．
C． D．
3.的展开式中，常数项为，则被8除的余数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.利用二项式定理，证明：（，）．
二项式定理课后作业
基础巩固题
1．若的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．15 B．60 C．80 D．160
4．的展开式中x的系数为（ ）
A．－280 B．－40 C．40 D．280
5.（2022·全国）的展开式中的系数为_________（用数字作答）．
6.（2022·天津）的展开式中的常数项为______.
7.（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
8.（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.
9.（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________．
10.（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________．
能力提升题
1．（2022·贵州·模拟预测（理））的展开式中的系数是（ ）
A．84 B．120 C．122 D．210
2．（2007·重庆·高考真题（理））若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏常州·高三期中）若的展开式中含的项的系数为21，则a＝（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．1
5.（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6.（多选题）（2022·湖北·高二期末）若，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．
7.已知多项式，则______．
8．（2022·浙江台州·模拟预测）已知，则_____________.
附答案解析：
例1：ACD 变式1：-120 变式2：200 变式3：C
例2：
【详解】令可得，①，故A正确；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正确；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C错误；
两边对求导得．
令可得，故D正确.
故选：ABD
变式1：
【详解】对A，赋值可得，即，故A错误；
对B，，故故B正确
；
对C，赋值有，又，故，故C错误；
对D，赋值有，即，故D正确
故选：BD
变式2：4096
拓展提升：
1.【详解】由题意知，∴n＝10，∴，
令x＝1，则，∴a＝1.
对于A，展开式中各偶数项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，∵n＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，
该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B错误；
对于C，展开式的通项为，
令，得，故展开式中不存在常数项，故C错误；
对于D，令，得r＝4，故展开式中含的项的系数为，故D正确.
故选：AD.
2.【详解】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
3.【详解】由题意，，
的通项公式为，
令，不合题意；
的通项公式为，
令，则，所以的常数项为，
解得，
所以
，
则被8除的余数为4，
故选： B
4.【详解】证明：当，时，
，
所以原不等式成立．
分层作业：
1．B
【详解】解：因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，
所以，即，解得或（舍，
所以二项式展开式的通项为，
令可得，所以的系数为．
故选：B．
2．A
【详解】，
所以，解得（负值舍去）．
故选：A．
3．B
【详解】由题知，的展开式的通项为，
当时，，此时，
故的展开式中的常数项为60，故A，C，D错误.
故选：B.
4．A
【详解】展开式通项公式为，
含的项的系数为，常数项是，
所以所求系数为，
故选：A．
5．-28
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
6．
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
7．
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
8．
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
9．.
【详解】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
10．7
【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
能力提升：
1．D
【详解】∵的通项为，
∴的通项为，
∴的展开式中的系数为，
同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，
故展开式中的系数为：
（也可以根据性质：，因为，故）
故选：D.
2．C
【详解】解：展开式的通项为
令得
故含的系数为
令得
故含项的系数为
将，6，8，10代入检验得
故选：C．
3．D
【详解】设，
令得：；
令得：；
两式作差得：，即，解得：.
故选：D.
4．C
【详解】解：展开式第r＋1项，
的展开式中含的项的系数为，所以，解方程可得a＝－1，故选：C．
5．ABD
【详解】解：对于A，取得，所以，故A正确；
对于B，的展开式中第7项为，所以，故B正确；
对于C，取得，故C错误；
对于D，由，
取得，
取得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
6．ABC
【详解】对于A，令，，所以A正确；
对于B，的前面的系数为，所以B正确；
对于C，令，①，
对于D，令，②，
得，所以，则，所以D错误．
故选ABC．
7．
【详解】令，
所以由，可得
，
即，
二项式的通项公式为，
所以，
故答案为：
8．30
【详解】因为，所以是含项的系数，
若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；
若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；
若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；
综上：含的项为，则含项的系数为，即.
故答案为：.
不要放过任何一道看上去很简单的题目------他们往往并不那么简单，或者可以延伸出很多知识点

展开更多......

收起↑