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2022～2023学年高三年级5月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4．本卷主要考查内容：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，则（ ）
A．（1，3） B． C．（1，5） D．（3，5）
3．直径为4的半球形容器，装满水然后将水全部倒入底面直径和高均为4的圆柱容器．则圆柱容器中水面的高度为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．现有5名男生和4名女生，从中任意抽取4人，恰有m个男生的概率为，则（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
6．已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．恒成立 D．恒成立
11．过点的直线l与相切，切点Q的纵坐标为p，过点S的直线m交抛物线于A，B两点，则（ ）
A． B．直线l的斜率为1
C．直线AQ与BQ的斜率之和为2 D．A，B两点的纵坐标之积为2
12．定义在R上的函数，满足，，，，则（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为（3，0）
D．若“且，，则n的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，项的系数为________．
14．已知，，，，则的最小值为________．
15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求的值．
18．（本小题满分12分）
国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
保护动物意识强 保护动物意识弱 合计
男性 70 30 100
女性 40 60 100
合计 110 90 200
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
（2）将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
19．（本小题满分12分）
如图在直三棱柱中，，，M为的中点，，平面平面．
（1）求AB，BC的长度；
（2）求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，其右顶点为A，下顶点为B，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l（斜率存在）与椭圆C交于M，N两点，M点在直线AB上方，N点在直线AB下方，MB上有点Q，轴，线段QN被AB平分，点到直线l的距离为d，求d的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求a的取值范围；
（2）证明：当时，在上，恒成立．
2022～2023学年高三年级5月质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B ．则．故选B．
2．D ∵，，∴．故选D．
3．C ，，故水面高度．故选C．
4．∵，∴，，∴．故选A．
5．C ，m可取值为0，1，2，3，4，检验得．故选C．
6．A 由可知：关于对称，故，，时，取最小值为．故选A．
7．D 由知：，又，以下比较b，c大小，，构造：，则，故为增函数，，故，故选D．
8．D 设球心为O，O在平面ABCD内的射影为H，M为BC中点，于E，半径为r．，，则，，故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BCD 根据题意可得，，故B正确；，故A错误；，，则，故C正确；，故D正确．故选BCD．
10．AD A：，，当且仅当时取等号，故B错误，D正确；B：，，在上，，为减函数，在上，，为增函数，又，，，有2个零点，A正确，C错误．故选AD．
11．BC 设代入 ①，故，代入①式得，∴与得，，故A错误，B正确；C：Q（1，2），，故C正确；D：设直线代入，，故D错误．故选BC．
12．ABC 由得关于对称，故关于对称，故关于对称，由得关于（1，1）中心对称，故的周期为2，B正确；的周期为2，故的周期为4，故是的一条对称轴，A正确；C：的对称中心，故的对称中心为（1，0）与之关于对称的点为（3，0）是的对称中心，故C正确；D：对，，其中，，故，，对，，故n的最小值为3，D错误．故选ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．32 ，项的系数即分子展开式中项的系数，项：，系数为32．
14． ，，当且仅当时取等号．
15． ，即，对恒成立，当时，，，故符合题意，当时，，，在上，不合题意，故．
16． 内切圆Q分别与，，切于点S，T，N，则四边形QSMT为正方形，故，，∴，．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．解：（1）根据题意可得， 2分
则
； 5分
（2）∵， 7分
∴． 10分
18．解：（1）零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，
由题意，． 3分
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010； 4分
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
所以，X的所有可能取值为0，1，2，3， 5分
， 6分
， 7分
， 8分
， 9分
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
11分
． 12分
19．解：（1）作于N，则平面，
作于O，则平面，故． 2分
平面，故四边形为平行四边形，
故且，故O为中点，， 4分
设，则； 6分
（2）以B为原点，、、方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 8分
则A（2，0，0），M（0，0，2）．（0，2，4）．
平面ABC的法向量为（0，0，4），
设平面的法向量为
则 10分
取，则，
． 12分
20．（1）证明：由题意得
2分
， 4分
即，由正弦定理得； 6分
（2）解：设，，则，
由（1）知：，
∴， 8分
由，
又由，∴， 10分
故，则． 12分
21．解：（1）由或 2分
由可知不合题意，故
故椭圆的标准方程为； 4分
（2）设，，，MN直线方程为，
由， 6分
设NQ的中点为P，，
则，，
将代入直线AB方程：，
整理得（*），
将代入整理得， 8分
∴，，代入（*）式整理得， 10分
故直线l方程为，恒过定点，
作于T，，当且仅当l斜率为时取等号．
∴d的最大值为． 12分
22．（1）解：令， 1分
，在上，，为减函数，值域为， 2分
在上，，为增函数，值域为， 3分
故当时，有两解，即原函数有两个极值点； 4分
（2）证明：构造函数，则，令，
由为增函数，故，
∴当时，为增函数，，当时，， 6分
故在上，，只须证：，
即证：，令，则，令，
，故为增函数，为增函数，，
即， 8分
在上，，
故只须证：，即证：， 10分
令，，
故，故原不等式得证． 12分

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