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2014年新课标2数学试卷点评
从总体情况看，今年新课标2的文理科数学试卷整体结构没有变化，依然是延续传统的12道选择，四道填空，六道解答题，分值也保持不变，知识点的分布与覆盖上保持相对稳定，难度上略比2013年略难一些，体现了注重考查考生实际应用能力的指导思想。坚持对基础知识，数学思想方法进行考查。多视角，多层次地考查考生对数学基础知识，数学思想与方法的掌握和理解，着重考生的数学思维能力和素养。试卷对知识的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力，推理论证能力，数据处理能力，计算能力以及应用意识的要求较高。
试卷结构及难度
试卷结构,题型，分值基本不变，今年变化是理科立体几何第二问考查了求体积，但过程中还是运用了二面角的知识，因此不算有很大幅度的改变。文科考了点到面的距离。理科概率统计的解答题考查了线性回归方程，文科考了茎叶图，体现了实际应用的概念。12个选择，4个填空，共80分，主要考查基本知识和基本运算，解答题的17，19题和选作题，20题的第一问都属于中档基础题，还是比较容易得分的，19题加重了对统计的考查，20，21题也没有特别的难，但理科21题第二问形式比较新颖，是以往很少见的考法，难度上比去年稍微难一些。
2试卷题目特点
重视基础，立足教材
试题源于教材，以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力，今年数学试题所涉及的知识内容几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。在重基础的同时，注重知识综合的考查，在知识交汇点处出题，部分题目初看都比较朴实，平和。都是考生熟悉的题干，选择题与填空题都不需要过多的复杂计算就可以得出结论，解答题运算量也不大，试卷对能力的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力，推理论证能力，数据处理能力以及应用一时的要求更高。
（2）考查全面，强化综合
今年数学试题所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，仍然重点考查了：函数与导数，三角，数列，立几，解析这几个部分，体现了“重点知识重点考查”的原则。在重基础的同时，注重知识综合方面的考查,在知识的交汇点处出题。
2014年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标Ⅱ卷）数学 试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）（理科）设集合，，则
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛|x--﹜，则AB=
(A) （B） （C） （ D）
【理科解析】：∵，
∴
答案：D（另外还可以用带入验证法，0，1，2分别带入集合N中，0显然不行，1，2都可以使不等式成立）
（文科）答案B
（2）(理科)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则
(A)-5 (B)5
(C)-4+i
（D）-4-i
(文科)
(A)1+2i
（B）-1+2i
（C）1-2i
（D）-1-2i
【理科解析】：∵，∴，
∴
答案：A
【文科解析】
（3）（理科）（文科4题）设向量，满足，，则
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
（文科）函数在处导数存在，
若p：； q：x=x0是的极值点，则
（A）是的充分必要条件
（B）是的充分条件，但不是的必要条件
（C）是的必要条件，但不是 的充分条件
(D) 既不是的充分条件，也不是的必要条件
【（理科3，文科4）解析】：∵，，∴……①，……②．
由①②得：
答案：A
【（文科3）解析】：若，则不一定是极值点，例如：但x=0不是该函数的极值点，所以命题不是充分条件；
（4）（理科）钝角三角形的面积是，，，则
(A) 5
(B)
(C) 2
(D) 1
【理科解析】：
∵，
即：，∴，
即或．
又∵
∴或5，又∵为钝角三角形，
∴，即：答案：B
（5）（理科）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
(A) 0.8
(B) 0.75
(C) 0.6
(D) 0.45
（文科）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项=
（A） （B）
（C） (D)
【理科解析】：此题为条件概率，所以
答案：A
也可以使用概率乘法公式：0.75*P=0.6,解得P=0.8
【文科解析】 成等比， 即
（6）（理科文科）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】原来毛坯体积为：，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：，则切削掉部分的体积为，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为.答案：C
（7）（理科7，文科8题）执行右面的程序框图，如果输入的，均为2，则输出的
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科7）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为
（A）3 （B） （C）1 （D）
解析：输入的，均为2．是，，
，；是，，
，，否，输出
答案：D
【文科7题解析】：
要求三棱锥的体积，选取A为顶点，
三角形所在平面为底面，底面积为三角形的面积为
，高为A到平面的距离。
转化为到面的距离为，所以三棱锥的体积= 所以选C
（8）（理科）设曲线在点处的切线方程为，则
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【解析】：∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即
答案：D
（9）(理科)条件，则的最大值为
(A) 10
(B) 8
(C) 3
(D) 2
（文科）满足的约束条件，则的最大值为
（A）8 （B）7 （C）2 （D）1
【理科解析】：作出，满足约束条件
表示的平面区域如图阴影
部分：做出目标函数
：，∵，∴当
的截距最小时，有最大值。
∴当经过点时，有最大值。由得：此时：有最大值 答案：B
【文科解析】画可行域知为三角形，可以代值. 求得三顶点坐标为(1,0)，，，代入，得最大值为7 【答案】 B
（10）（理科）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则=
（A） （B）6 （C）12 （D）
【理科解析】：∵，设、，∴直线的方程为，代入抛物线方程得：，∴，
由弦长公式得
由点到直线的距离公式得：
到直线的距离
∴
答案：D
这是一个常规的思路，我们还可以利用抛物线的定义解决：
【文科解析】只利用理科的前半部分求弦长的过程就可以。
（11）（理科）直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科11题）若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【理科解析】：如图所示，取的中点，连结、
∵，分别是，的中点，∴四边形为平行四边形，∴∴与所成角的余弦值等于（或其补角）的余弦值.不妨令，则
，用余弦定理
∴
所以 答案：C
如果我们注意到三角形ANP中，,取PN的中点H, cos=。
【文科解析】
（12）（理科）设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围
(A)
(B)
(C)
(D)
（文科12题，理科16题）设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是
（A） （B） （C）（D）
【理科12题解析】：∵，令得：
∴，
又∵，
∴
即：，∴，故：
∴，即：故：或 答案：C
另解：
【文科12题，理科16题解析】
由图可知点所在直线与圆相切，又，由正弦定理得：
∴，即：
又∵，∴，即，解之：
答案：
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）（理科）的展开式中，的系数为，则 ．（用数字填写答案）
（文科）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
【理科解析】：∵，∴，即，
∴，解之：
【文科解析】甲乙选衣服共有9中可能：（红红）（红白）（红蓝）（白红）（白白）（白蓝）（蓝红）（蓝白）（蓝蓝），其中颜色相同的有三种（红红）（白白）（蓝蓝）所以概率为
（14）（理科文科）函数的最大值为 ．
解析：∵
∴的最大值为1
（15）（理科）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是 ．
（文科15题）偶函数的图像关于直线对称，=3，则_______.
【理科解析】：∵是偶函数，
∴，
又∵在单调递减，∴，解之：
答案：
【文科解析】利用偶函数的性质，f（-1）=f（1），利用对称性f（1）=f（3），
所以f（-1）=f（3）=3
（16）（文科）数列满足，=2，
则=_________.
【解析】考查数学列的递推关系。由，令n=7，得，由
，出现周期性，从开始依次是2，0.5，-1,2,0.5，-1,2,0.5，所以=0.5
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（理科）（本小题满分12分）
已知数列满足，．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明．
【理科解析】：（Ⅰ）证明：∵，
∴，不等于0，即：
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
∴
∴
故：
（文科）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I) 求C和BD;
(II) 求四边形ABCD的面积。

【文科解析】
（18）(理科)（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）设二面角为，
，求三棱锥的体积．
解析：（Ⅰ）证明：连结交于点，连结．
∵底面为矩形，∴点为的中点，又为的中点，∴
∵平面，平面，∴平面
（Ⅱ）以为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，
∴，，设是平面的法向量，
则，解之：，
令，得
又∵是平面的一个法向量，
∴，解之
∴
18题文科（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA上面ABCD，E为PD的点。
（I）证明：//平面AEC;
(II) 设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。
【解析】第一问同理科
19.理科（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
解析：（Ⅰ）由题意得：，
∴
所求线性回归方程为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．
令得：，
预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。
（文科）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民
（I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
【解析】（1）两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25,26两个数。由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77
所以，市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75,77
(2) 甲部门评分数高于90共有5个、乙部门评分数高于90共有8个，部门的评分做于90的概率。因此，估计市民对甲、乙部门的评分小于90的概率分别为
所以，市民对甲、乙部门的评分大于90的概率分别为0.1,0.16
（20）（理科文科）（本小题满分12分）
设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一交点为．
（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；
（Ⅱ）若直线在轴上的截距为2，且，
求，．
【解析】：（Ⅰ）由题意得：，，
∵的斜率为
∴，又，
解之：或（舍）
故：直线的斜率为时，的离心率为
（Ⅱ）由题意知：点在第一象限，，，∴直线的斜率为：，
则：；
∵在直线上，∴，…①
∵，∴，
且，∴
∴，又∵在椭圆上，
∴……②联立①、②解得：，
解法2：由题意得，即，所以由N向X轴做垂线，垂足为H，则|NH|=1 ，所以代入椭圆方程中得：

得a=7，
（21）（理科）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计的近似值（精确到0.001）．
【理科解析】：
（1）
（2）
（3）
21 文科（本小题满分12分）
已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.
（I）求a；
（II）证明：当k<1时，曲线与直线只有一个交点
【解析】
（1）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分。(理科文科)
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交与，，，为的中点，的延长线交与点．证明：
（Ⅰ）（Ⅱ）
（23）（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，．
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定的坐标．
【解析】（Ⅰ）设点是曲线上任意一点，
∵，∴，即：
∴的参数方程为，（为参数．
（Ⅱ）设点，∵在处的切线与直线：垂直∴，，
∴点的坐标为：，即.
（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【解析】：
（Ⅰ）∵，
且∴，当且仅当时，取“”故：
（Ⅱ）∵，
∴
即：
∴或
解之：
启示和建议
从今年的试题看对我们今后数学学习和复习的建议，注重课本中的每个知识点的理解和掌握，只有“死学”才能“活用”只要你有一把“精准”的尺子，就会更好的辨别数学的“是是非非”；学习时要做到“入脑，走脑”，也就是要多分析，多设疑，对于每章节的知识尽量不要留“死角”前面学的扎实，后面才越学越轻松，否则寸步难行。真正的提高自己学习数学和应用数学的能力，同时要善于总结典型题的解题方法和规律，精选习题，有效训练。倡导理性思维，强化探究能力的培养。

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