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第二讲 排列与组合
入门测
1.分类计数原理定义：
做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共：
2.分步计数原理定义：
做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
3. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ）
A.120 B.260 C.300 D.600
【答案】C
题型一：排列问题
知识清单
知识1：排列
（1）排列的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列．
知识拓展
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素：二是按照一定的顺序排列．
②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列．
③定义中规定了如果，称为选排列；如果称为全排列．
④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意．
⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题．
（2）排列的判断
判断一个问题是否为排列问题的依据：是否与顺序有关，与顺序有关且是从个不同的元素中任取（）个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题．而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题．
知识2 排列数
（1）排列数定义
从个不同元素中取个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
注意问题：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数，而是具体的一件事．而排列数是指从个不同的元素中取出，个元素的所有排列的个数，它是一个数．
（2）排列数公式
温馨提示
①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素有n种排法；第2步，排第2个位置的元素有种排法；第3步，排第3个位置的元素有n-2种排法；…；第m步，排第m个位置的元素有种排法．因此，由分步乘法计数原理知共有种不同的排法．
②在实际应用中，一般用求具体的排列数，而用进行化简或解决有关证明、解方程、解不等式等问题．
③记准公式的形式，并且注意且这个条件．
知识3:全排列和阶乘
（1）全排列
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有
．
（2）阶乘
正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．全排列数公式，规定0!=1．
典型例题
例1.某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其他队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
【答案】132场
例2.（1）有3名大学生毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被雇用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？
（2）有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3个公司都完成； 招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？
【答案】（1）60种；（2）60种
例3.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：
（1）三位数？
（2）四位偶数？
【答案】（1）648个；（2）2296个
例4.从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
【答案】24种
例5.从参加乒乓球团体赛的5名运动员中选出3名参加某场比赛，每名运动员比赛一局，有多少不同的方法排定他们的出场顺序？
【答案】60
例6.由1,2,3,4,5,6这六个数字可组成多少个：
（1）三位数？
（2）没有重复数字的三位数？
（3）没有重复数字的末位数是5的三位数？
【答案】216；120；20
例7.计算下列各排列数
（1）从中取出4个元素的排列中，不在首位的所有排列；
（2）从中取出4个元素的排列中，不在首位且不在末位的所有排列.
【答案】96；78
例8.用0，1，2,3,4,5可组成多少个：
（1）没有重复数字的四位数？
（2）没有重复数字的能被5整除的四位数？
（3）比2000大且没有重复数字的自然数？
【答案】300；108；240
例9.（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有多少种不同的投法？
（2）将2封信随意投入4个邮箱，有多少种不同的投法？
【答案】12；16
例10．将2个男生和4个女生排成一排：
（1）男生排在中间的排法有多少种？
（2）男生不在头尾的排法有多少种？
（3）男生不相邻的排法有多少种？
（4）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？
（5）2个男生都不与女生相邻的排法有多少种？
【答案】48；288；480；144；288
例11.四对夫妇坐成一排照相：
（1）每对夫妇都不能隔开的排法有多少种？
（2）每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的排法有多少种？
【答案】388；48
方法总结：
（1）一般问题的应用
求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成．解决排列应用题的基本思路是：
解简单的排列应用问题．首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析个不同的元素是指什么以及从个不同的元素中任取个元素的每一种排列对应着什么事情，最后再运用排列数公式求解．
（2）有限制条件的排列问题
在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，在限制条件较多时，要抓住关键条件（主要矛盾），通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题．解有限制条件的排列问题的常用方法是：
常见类型有：①在与不在：在的先排，不在的可以排在别的位置，也可以采用间接相减法：②邻与不邻：邻的用“捆绑法”，不邻的用“插空法”；③间隔排列：有要求的后排（插空）．
题型二：组合问题
知识清单
知识1:组合
（1）组合的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，也就是说，组合是从个不同的元素中取出个元素，不分次序构成一组.
（2）排列与组合的联系与区别
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是排列与组合的共同点；它们的不同点：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如与是两个不同的排列，但却是同一个组合.
（3）规律总结
①组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回的抽取.
②组合取出的个元素不讲究顺序，也就是说，元素没有位置的要求，无序性是组合的本质属性.
③根据组合的定义，如果两个组合中的元素完全相同，那么不论元素的顺序如何，都是相同的组合，而只有两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.
知识2:组合数与组合数公式
（1）组合数
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
温馨提示
组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.
②从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.
（2）组合数公式
，
，规定：.
从四个元素中选取三个元素的排列与组合之间的关系：
组合 排列
知识3:组合数的性质
（1）性质1：
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从个不同的元素中取出个元素后，就剩下个元素，因而从个不同元素中取个元素与从个不同元素中取个元素是一一对应的，因此是一样多的.利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.
（2）性质2:
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.
由分类加法计数原理可得：.
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
知识4:排列数、组合数的一些基本公式
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
典型例题
例1.平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点的
（1）线段有多少条？
（2）有向线段有多少条？
【答案】45条；90条
例2.一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从口袋中任取5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？
【答案】56种；35种；21种.
例3.在产品质量检测时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
（1）共有多少种不同的抽法？
（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？
（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
【答案】161700种；9506种；9604种；57036种.
例4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一个得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得三本
【答案】1260种；7560种；1680种.
例5.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：
（1）小组赛，经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；
（3）决赛：两胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
【答案】35场
例6.有8名男生和5名女生，从中任选6人：
（1）有多少种不同的选法？
（2）其中有3名女生，共有多少种不同的选法？
（3）其中至多有3名女生，共有多少种不同的选法？
（4）其中有2名女生、4名男生，分别担任6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
【答案】1716；560；1568；504000
例7.在10件产品中，有3件次品，从中任取5件：
（1）恰有2件次品的抽法有多少种？
（2）至多有2件次品的抽法有多少种？
（3）至少有1件次品的抽法有多少种？
（4）至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？
【答案】105；231；231；126
例8.从中任取三个数字，从中任取两个数字，可以组成多少：
（1）无重复数字的五位数？
（2）万位、百位和个位数字是奇数的无重复数字的五位数？
（3）千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？
（4）其和不等的加法算式？
【答案】7200；720；2160；50
例9.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从他的回答分析，这五个人的名次排列共有多少种不同的情况？
【答案】54
例10.把四个不同的小球放入三个分别标有1~3号的盒子中：
（1）不许有空盒子的方法有多少种？
（2）允许有空盒子的方法有多少种？
（3）若把四个小球分别标上1~4的标号，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，共有多少种不同的放法？
【答案】36；81；12
例11.将6名应届大学毕业生分配到3个公司：
（1）3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？
（2）一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1一个人，有多少种不同的分配方案？
【答案】60；360
方法总结：
①无约束条件的组合；②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法.
（2）常见的类型
①分组与分配：平均分组用除法，分配是先分组后排列；②至多至少型：常用直接分类法或间接相减法；③图形问题：要注意共点、共线、共面等特殊情况，做到不重不漏.
题型三：综合问题
分类一：分类分步法
典型例题
例1.有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 48
【答案】C
例2.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
例3.有6名女生，4名男生，从中选出3名女生和2名男生：
（1）组成班委，有多少种不同的选法？
（2）选出的5名学生分别担任班委会中的5种不同的工作，有多少种选派方法？
（3）女生担任班长、学习委员和文娱委员，男生担任宣传委员和体育委员，有多少种选派方法？
【答案】120；14400；14400
例4.某班有52名学生，其中正、副班长各一名，先选派5名学生参加某活动：
（1）如果正、副班长必须在内，有多少种选派方法？
（2）如果正、副班长必须有一人在内，且只能有一人在内，有多少种选派方法？
（3）如果正、副班长都不在内，有多少种选派方法？
（4）如果正、副班长至少有一个人在内，有多少种选派方法？
【答案】19600；460600；2118760；480200
例5.有甲、乙、丙三项任务，甲需要2个人承担，乙、丙各需1人承担.从10个人中选派4个人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
【答案】2520
例6.有6个人分成两排就坐，每排3人，有多少种不同的坐法？
【答案】720
例7..有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）
【答案】50
例8.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有________种．
【答案】；
方法总结：
完成一个事情能有几种方式是分类，是加法
完成一个事情，能分几个步骤，每个步骤又能用几种方式是分布，是乘法
分类二：特殊元素、特殊位置优先法
典型例题
例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
例2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
例3.用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
例4.有6个人分成两排就坐，每排3人，如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，有多少种不同的坐法？
【答案】216
例5.某种产品的加工需要经过5道工序：
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，共可以有多少种加工顺序？
（2）如果其中某两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，共可以有多少种加工顺序？
【答案】96；36
例6.将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，A不能去甲工作站，B只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种．
【答案】
例7.三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
【答案】
例8. 6个人站成一排，其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
【答案】504
例9.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_______种（结果用数值表示）．
【答案】10
例10.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B,C项目，那么有______种不同的志愿者分配方案.
【答案】21
例11.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是.（用数字作答）
【答案】20种
例12.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
【答案】390
方法总结：
在计数原理问题中涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素．
分类三：相邻与不相邻问题
例1.学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ ）种
. B. C. D.
【答案】C
例2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
．1440种 ．960种 ．720种 ．480种
【答案】B
例3.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
例4.在 的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．
A. B． C． D．
【答案】C
例5.某联欢会安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
【答案】 B
例6.★★科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是________．（用数字作答）
【答案】
例7.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有____________个（用数字作答）．
【答案】576
例8.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）
【答案】
例9.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．
【答案】576
例10.一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有______种坐法？
【答案】480
例11.某公司新年晚会原定的五个节目已经排成节目单，开演前又加了两个新节目，如果这两个节目加入到新的节目单去，那么共有______种排法。
【答案】42
例12.有一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序一共可以有________种情况。
【答案】43200
例13.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为.（用数字作答）
【答案】种
例14.社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,小红必须与2位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是.（用数字作答）
【答案】24种
例15.现有人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有种.（用数字作答）
【答案】288种.
例16.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．
【答案】576
例17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这10个数中挑选出3个数，要求这三个数的和为不小于10的偶数，共有________种选法。
【答案】51
例18.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
【答案】180
例19.有6个人分成两排就坐，每排3人：
(1)如果甲和乙必须在同一排且相邻，有多少种不同的坐法？
(2)如果甲和乙必须在同一排且不相邻，有多少种不同的坐法？
【答案】192；96’
例20.7名同学排队照相．
⑴ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
【答案】720
⑵ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
【答案】1440
【答案】43200
例21.有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
【答案】72
例22.四个男生和三个女生排成一排，分别求满足下列条件的不同排法的种数：
（1）甲必须排在两端；
（2）三个女生要排在一起；
（3）三个女生互不相邻；
【答案】（1）2880 （2）720 （3）1440
方法总结：
1、相邻问题元素捆绑法，先捆再排, 所谓捆绑法就是，把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”进行全排列，而后“松绑”，将特殊元素在这些位置上进行全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”．
2、对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插空.
3、有些题目从正面思考比较困难，可从问题的反面考虑，即从所有结果中去掉不符合题意要求的结果，从而找到正确答案．
分类四：平均分组问题
典型例题
例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？
【答案】9
例2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）平均分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
（5）分为三份，一份一本，一份一本，一份四本；
（6）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本；
（7）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人一本，一人四本；
（8）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
解析 （1）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本，有=90种不同的分法.
（2）平均分为三份，每份两本，有=15种不同的分法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有=60种不同的分法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有=360种不同的分法.
（5）分为三份，一份一本，一份一本，一份四本，有=15种不同的分法.
（6）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本，有=30种不同的分法.
（7）分给甲、乙、两三人，一人一本，一人一本，一人四本，有=90种不同的分法.
（8）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有可能是1，2，3或1，1，4或2，2，2，所以共有=540种不同的分法.
方法总结：
一般地，个不同的元素分成组，各组的元素数目分别为，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.
分类五：不定向分配中的先分组再分配问题
例1.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
【答案】D
例2.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
例3.将4封信全部投入3个邮筒，
（1）每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
（2）可以随意投，有多少种不同的投法？
【答案】36；81
例4.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
【答案】210
例5.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有种.（用数字作答）
【答案】54种
例6.从1、2、3、4、5、6、7、8、9里面选取没有重复数字的三位数，要求个位数比十位数大，十位数比百位数大，共有_______个这样的三位数
【答案】=84
例7.有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分, 将这9个球排成一列有 ____ 种不同的方法
【答案】=1260
例8.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________．（用数字作答）
【答案】24
方法总结：
①无约束条件的组合；②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法.
分类六：隔板法
典型例题
例1.,共有多少组正整数解。
【答案】36
例2.某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有_______种
【答案】28
例3.如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
例4.若，则方程的非负整数解有多少个？
【答案】个
方法总结：
（1）必须是相同元素之间的分配问题才能用挡板法解决，不同元素之间的分配问题用分组法解决.
（2）对于元素相同的“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成（n+1）份.
分类七：错排问题
典型例题
例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？
【答案】9
例2.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为______
【答案】20
例3.有标号分别为1、2、3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________．（用数字作答）
【答案】72
方法总结：
错排公式：
巩固与提高
1.填空：
（1）安排名歌手的演出顺序时，要求某歌手既不第一个出场，也不最后一个出场，共________种不同的排法；
（2）学生从本学期开设的门选修课中任选3门，从4种课外活动小组中任取1个，则该学生共有_________种不同的选择方法.
【答案】480；40
2.有6名同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法共有多少种？
（1）甲同学不站在排头；
（2）甲、乙、丙三位同学两两不相邻；
（3）甲、乙两同学不相邻，且乙、丙两同学也不相邻；
（4）甲、乙两同学相邻，且丙、丁两同学也相邻.
【答案】600；144；288；96
3.书架上有4本不同的数学书，本不同的物理书，本不同的化学书，将其全部竖起排成一排：
（1）如果不使同类的书分开，一共有多少种不同的排法？
（2）如果使物理书两两不相邻，一共有多少种不同的排法？
【答案】103680；261373600
4.（1）将名应届大学毕业生分给2个用人单位，每个单位至少2名，一共有多少种不同的分配方案？
（2）某公司将6个招聘名额分给3个下属单位，一个单位3个名额，一个单位2个名额，一个单位1个名额，一共有多少种不同的分配方案？
【答案】50；6
出门测
1. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．36 B．72 C．84 D．108【答案】
2. 一个盒子里有3个分别标有号码为1、2、3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中,共取3次，则取得小球标号最大值为3的取法有（ ）种
A．12种 B．15种 C．17种 D．19种
【答案】D
3. 袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．
【答案】120
课后作业
1.5人分本同样的书，每人至多一本，而且必须分完，那么不同分法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2.一个文娱团体下基层进行宣传演出，准备的节目表中原有名歌手演唱，如果保持着名歌手演唱的相对顺序不变，拟再添加个小品节目，则不同的节目表可排出（ ）.
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】C
3.5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有（ ）.
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】A
4 七人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 不同的排法共有（ ）种
A.360 B.480 C.240 D.720
【答案】B
5 把6名实习生分配到7个车间实习,不同的分法共有（ ）种
A. B. C. D.
【答案】A
6 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,共有多少种分配方案( )
A. B. C. D.
【答案】D
7 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
【答案】24
9学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法？
【答案】288
10、女生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，则女生有( )人
A. B. C. D.
【答案】A
11.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
【答案】(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30(种)．
12.在1，3，5中任取3个数字，在0，2，4中任取两个数字，可组成多少个没有重复数字的四位数，其中偶数有多少个．
【答案】180 96
13.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有____种.（用数字作答）
【答案】36
14.名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，共有种不同的分配方案；
【答案】
15.个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法；
【答案】；
16.某小组有名女生、名男生，从中选出名代表，要求至少女生与男生各有一名，共有多少种不同的选法？
【答案】30
17.现有分别印有六个数字的六张卡片，如果允许可以当使用，那么从中任意抽出三张，可以组成多少个不同的三位数？
【答案】152
18.一个口袋里装有个不同的红球，个不同的白球，若取出一个红球记两分，取出一个白球记一分，从口袋中取出个球，使总分不低于七分的取法共有多少种？
【答案】186第二讲 排列与组合
入门测
1.分类计数原理定义：
2.分步计数原理定义：
3. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ）
A.120 B.260 C.300 D.600
题型一：排列问题
知识清单
知识1：排列
（1）排列的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列．
知识拓展
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素：二是按照一定的顺序排列．
②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列．
③定义中规定了如果，称为选排列；如果称为全排列．
④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意．
⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题．
（2）排列的判断
判断一个问题是否为排列问题的依据：是否与顺序有关，与顺序有关且是从个不同的元素中任取（）个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题．而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题．
知识2 排列数
（1）排列数定义
从个不同元素中取个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
注意问题：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数，而是具体的一件事．而排列数是指从个不同的元素中取出，个元素的所有排列的个数，它是一个数．
（2）排列数公式
温馨提示
①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素有n种排法；第2步，排第2个位置的元素有种排法；第3步，排第3个位置的元素有n-2种排法；…；第m步，排第m个位置的元素有种排法．因此，由分步乘法计数原理知共有种不同的排法．
②在实际应用中，一般用求具体的排列数，而用进行化简或解决有关证明、解方程、解不等式等问题．
③记准公式的形式，并且注意且这个条件．
知识3:全排列和阶乘
（1）全排列
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有
．
（2）阶乘
正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．全排列数公式，规定0!=1．
典型例题
例1.某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其他队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
例2.（1）有3名大学生毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被雇用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？
（2）有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3个公司都完成； 招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？
例3.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：
（1）三位数？
（2）四位偶数？
例4.从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
例5.从参加乒乓球团体赛的5名运动员中选出3名参加某场比赛，每名运动员比赛一局，有多少不同的方法排定他们的出场顺序？
例6.由1,2,3,4,5,6这六个数字可组成多少个：
（1）三位数？
（2）没有重复数字的三位数？
（3）没有重复数字的末位数是5的三位数？
例7.计算下列各排列数
（1）从中取出4个元素的排列中，不在首位的所有排列；
（2）从中取出4个元素的排列中，不在首位且不在末位的所有排列.
例8.用0，1，2,3,4,5可组成多少个：
（1）没有重复数字的四位数？
（2）没有重复数字的能被5整除的四位数？
（3）比2000大且没有重复数字的自然数？
例9.（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有多少种不同的投法？
（2）将2封信随意投入4个邮箱，有多少种不同的投法？
例10．将2个男生和4个女生排成一排：
（1）男生排在中间的排法有多少种？
（2）男生不在头尾的排法有多少种？
（3）男生不相邻的排法有多少种？
（4）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？
（5）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？
例11.四对夫妇坐成一排照相：
（1）每对夫妇都不能隔开的排法有多少种？
（2）每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的排法有多少种？
方法总结：
（1）一般问题的应用
求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成．解决排列应用题的基本思路是：
解简单的排列应用问题．首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析个不同的元素是指什么以及从个不同的元素中任取个元素的每一种排列对应着什么事情，最后再运用排列数公式求解．
（2）有限制条件的排列问题
在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，在限制条件较多时，要抓住关键条件（主要矛盾），通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题．解有限制条件的排列问题的常用方法是：
常见类型有：①在与不在：在的先排，不在的可以排在别的位置，也可以采用间接相减法：②邻与不邻：邻的用“捆绑法”，不邻的用“插空法”；③间隔排列：有要求的后排（插空）．
题型二：组合问题
知识清单
知识1:组合
（1）组合的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，也就是说，组合是从个不同的元素中取出个元素，不分次序构成一组.
（2）排列与组合的联系与区别
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是排列与组合的共同点；它们的不同点：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如与是两个不同的排列，但却是同一个组合.
（3）规律总结
①组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回的抽取.
②组合取出的个元素不讲究顺序，也就是说，元素没有位置的要求，无序性是组合的本质属性.
③根据组合的定义，如果两个组合中的元素完全相同，那么不论元素的顺序如何，都是相同的组合，而只有两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.
知识2:组合数与组合数公式
（1）组合数
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
温馨提示
组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.
②从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.
（2）组合数公式
，
，规定：.
从四个元素中选取三个元素的排列与组合之间的关系：
组合 排列
知识3:组合数的性质
（1）性质1：
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从个不同的元素中取出个元素后，就剩下个元素，因而从个不同元素中取个元素与从个不同元素中取个元素是一一对应的，因此是一样多的.利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.
（2）性质2:
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.
由分类加法计数原理可得：.
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
知识4:排列数、组合数的一些基本公式
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
典型例题
例1.平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点的
（1）线段有多少条？
（2）有向线段有多少条？
例2.一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从口袋中任取5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？
例3.在产品质量检测时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
（1）共有多少种不同的抽法？
（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？
（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
例4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一个得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得三本
例5.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：
（1）小组赛，经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；
（3）决赛：两胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
例6.有8名男生和5名女生，从中任选6人：
（1）有多少种不同的选法？
（2）其中有3名女生，共有多少种不同的选法？
（3）其中至多有3名女生，共有多少种不同的选法？
（4）其中有2名女生、4名男生，分别担任6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
例7.在10件产品中，有3件次品，从中任取5件：
（1）恰有2件次品的抽法有多少种？
（2）至多有2件次品的抽法有多少种？
（3）至少有1件次品的抽法有多少种？
（4）至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？
例8.从中任取三个数字，从中任取两个数字，可以组成多少：
（1）无重复数字的五位数？
（2）万位、百位和个位数字是奇数的无重复数字的五位数？
（3）千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？
（4）其和不等的加法算式？
例9.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从他的回答分析，这五个人的名次排列共有多少种不同的情况？
例10.把四个不同的小球放入三个分别标有1~3号的盒子中：
（1）不许有空盒子的方法有多少种？
（2）允许有空盒子的方法有多少种？
（3）若把四个小球分别标上1~4的标号，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，共有多少种不同的放法？
例11.将6名应届大学毕业生分配到3个公司：
（1）3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？
（2）一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1一个人，有多少种不同的分配方案？
方法总结：
①无约束条件的组合；②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法.
（2）常见的类型
①分组与分配：平均分组用除法，分配是先分组后排列；②至多至少型：常用直接分类法或间接相减法；③图形问题：要注意共点、共线、共面等特殊情况，做到不重不漏.
题型三：综合问题
分类一：分类分步法
典型例题
例1.有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 48
例2.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
例3.有6名女生，4名男生，从中选出3名女生和2名男生：
（1）组成班委，有多少种不同的选法？
（2）选出的5名学生分别担任班委会中的5种不同的工作，有多少种选派方法？
（3）女生担任班长、学习委员和文娱委员，男生担任宣传委员和体育委员，有多少种选派方法？
例4.某班有52名学生，其中正、副班长各一名，先选派5名学生参加某活动：
（1）如果正、副班长必须在内，有多少种选派方法？
（2）如果正、副班长必须有一人在内，且只能有一人在内，有多少种选派方法？
（3）如果正、副班长都不在内，有多少种选派方法？
（4）如果正、副班长至少有一个人在内，有多少种选派方法？
例5.有甲、乙、丙三项任务，甲需要2个人承担，乙、丙各需1人承担.从10个人中选派4个人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
例6.有6个人分成两排就坐，每排3人，有多少种不同的坐法？
例7..有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）
例8.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有________种．
方法总结：
完成一个事情能有几种方式是分类，是加法
完成一个事情，能分几个步骤，每个步骤又能用几种方式是分布，是乘法
分类二：特殊元素、特殊位置优先法
典型例题
例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
例2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为（ ）
A. B. C. D.
例3.用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）
A. B. C. D.
例4.有6个人分成两排就坐，每排3人，如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，有多少种不同的坐法？
例5.某种产品的加工需要经过5道工序：
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，共可以有多少种加工顺序？
（2）如果其中某两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，共可以有多少种加工顺序？
例6.将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，A不能去甲工作站，B只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种．
例7.三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
例8. 6个人站成一排，其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
例9.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_______种（结果用数值表示）．
例10.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B,C项目，那么有______种不同的志愿者分配方案.
例11.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是.（用数字作答）
例12.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
方法总结：
在计数原理问题中涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素．
分类三：相邻与不相邻问题
例1.学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ ）种
. B. C. D.
例2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
例3.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）
A. B. C. D.
例4.在 的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．
A. B． C． D．
例5.某联欢会安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
例6.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是________．（用数字作答）
例7.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有____________个（用数字作答）．
例8.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）
例9.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．
例10.一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有______种坐法？
例11.某公司新年晚会原定的五个节目已经排成节目单，开演前又加了两个新节目，如果这两个节目加入到新的节目单去，那么共有______种排法。
例12.有一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序一共可以有________种情况。
例13.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为.（用数字作答）
例14.社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,小红必须与2位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是.（用数字作答）
例15.现有人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有种.（用数字作答）
例16.用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．
例17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这10个数中挑选出3个数，要求这三个数的和为不小于10的偶数，共有________种选法。
例18.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
例19.有6个人分成两排就坐，每排3人：
(1)如果甲和乙必须在同一排且相邻，有多少种不同的坐法？
(2)如果甲和乙必须在同一排且不相邻，有多少种不同的坐法？
’
例20.7名同学排队照相．
⑴ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑵ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
例21.有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
例22.四个男生和三个女生排成一排，分别求满足下列条件的不同排法的种数：
（1）甲必须排在两端；
（2）三个女生要排在一起；
（3）三个女生互不相邻；
方法总结：
1、相邻问题元素捆绑法，先捆再排, 所谓捆绑法就是，把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”进行全排列，而后“松绑”，将特殊元素在这些位置上进行全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”．
2、对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插空.
3、有些题目从正面思考比较困难，可从问题的反面考虑，即从所有结果中去掉不符合题意要求的结果，从而找到正确答案．
分类四：平均分组问题
典型例题
例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？
例2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）平均分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
（5）分为三份，一份一本，一份一本，一份四本；
（6）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本；
（7）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人一本，一人四本；
（8）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
方法总结：
一般地，个不同的元素分成组，各组的元素数目分别为，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.
分类五：不定向分配中的先分组再分配问题
例1.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
例2.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是
（A） （B） （C） （D）
例3.将4封信全部投入3个邮筒，
（1）每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
（2）可以随意投，有多少种不同的投法？
例4.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
例5.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有种.（用数字作答）
例6.从1、2、3、4、5、6、7、8、9里面选取没有重复数字的三位数，要求个位数比十位数大，十位数比百位数大，共有_______个这样的三位数
例7.有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分, 将这9个球排成一列有 ____ 种不同的方法
例8.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________．（用数字作答）
方法总结：
①无约束条件的组合；②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法.
分类六：隔板法
典型例题
例1.,共有多少组正整数解。
例2.某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有_______种
例3.如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
例4.若，则方程的非负整数解有多少个？
方法总结：
（1）必须是相同元素之间的分配问题才能用挡板法解决，不同元素之间的分配问题用分组法解决.
（2）对于元素相同的“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成（n+1）份.
分类七：错排问题
典型例题
例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？
例2.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为______
例3.★★有标号分别为1、2、3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________．（用数字作答）
方法总结：
错排公式：
巩固与提高
1.填空：
（1）安排名歌手的演出顺序时，要求某歌手既不第一个出场，也不最后一个出场，共________种不同的排法；
（2）学生从本学期开设的门选修课中任选3门，从4种课外活动小组中任取1个，则该学生共有_________种不同的选择方法.
2.有6名同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法共有多少种？
（1）甲同学不站在排头；
（2）甲、乙、丙三位同学两两不相邻；
（3）甲、乙两同学不相邻，且乙、丙两同学也不相邻；
（4）甲、乙两同学相邻，且丙、丁两同学也相邻.
3.书架上有4本不同的数学书，本不同的物理书，本不同的化学书，将其全部竖起排成一排：
（1）如果不使同类的书分开，一共有多少种不同的排法？
（2）如果使物理书两两不相邻，一共有多少种不同的排法？
4.（1）将名应届大学毕业生分给2个用人单位，每个单位至少2名，一共有多少种不同的分配方案？
（2）某公司将6个招聘名额分给3个下属单位，一个单位3个名额，一个单位2个名额，一个单位1个名额，一共有多少种不同的分配方案？
出门测
1. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．36 B．72 C．84 D．1082. 一个盒子里有3个分别标有号码为1、2、3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中,共取3次，则取得小球标号最大值为3的取法有（ ）种
A．12种 B．15种 C．17种 D．19种
3. 袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．
课后作业
1.5人分本同样的书，每人至多一本，而且必须分完，那么不同分法的种数是（ ）
A. B. C. D.
2.一个文娱团体下基层进行宣传演出，准备的节目表中原有名歌手演唱，如果保持着名歌手演唱的相对顺序不变，拟再添加个小品节目，则不同的节目表可排出（ ）.
A.种 B.种 C.种 D.种
3.5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有（ ）.
A.种 B.种 C.种 D.种
4 七人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 不同的排法共有（ ）种
A.360 B.480 C.240 D.720
5 把6名实习生分配到7个车间实习,不同的分法共有（ ）种
A. B. C. D.
6 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,共有多少种分配方案( )
A. B. C. D.
7 若，则（ ）
A. B. C. D.
8一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
9学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法？
10、女生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，则女生有( )人
A. B. C. D.
11.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
12.在1，3，5中任取3个数字，在0，2，4中任取两个数字，可组成多少个没有重复数字的四位数，其中偶数有多少个．
13.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有____种.（用数字作答）
14.名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，共有种不同的分配方案；
15.个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法；
16.某小组有名女生、名男生，从中选出名代表，要求至少女生与男生各有一名，共有多少种不同的选法？
17.现有分别印有六个数字的六张卡片，如果允许可以当使用，那么从中任意抽出三张，可以组成多少个不同的三位数？
18.一个口袋里装有个不同的红球，个不同的白球，若取出一个红球记两分，取出一个白球记一分，从口袋中取出个球，使总分不低于七分的取法共有多少种？

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