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第三讲 导数的含参讨论
入门测
1.已知函数
（1）若，求函数的单调递减区间
（2）若，求函数在区间上的最大值
2.已知函数，其中是自然对数的底数，，当时，求函数的最小值
题型一：导函数的正负取决于含参的一元一次不等式
知识清单
一．参数在一次项系数上：
如：
当 时，恒成立，故在上单增；
当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是；
当时，由，得，的增区间是；由，得，减区间是．
二．参数在常数项上：
如：
当 时，恒成立，的增区间为；
当时，由，得，增区间为；由，得，增区间为．
典型例题
【例1】已知函数，求函数的单调区间。
【例2】设函数，求函数的单调区间．
【例3】已知函数，其中是自然对数的底数，，求函数的单调区间
【例4】已知函数
求函数的单调区间
当时，求函数在区间上的最小值
方法总结：①求导②求导数零点③判断导函数正负④写出单调区间，单调区间一定要明确，不能写成在xx区间单调增（单调减）的形式
题型二：导函数的正负取决于含参的一元二次不等式
知识清单
一．参数在二次项系数：
（i）能因式分解型；
如：，
当时，恒成立，故为常函数；
当时，由，得或，的增区间是或 ；由，得，的减区间为；
当时，
当时，恒成立且不恒为，在上单减
当时，由，得，的增区间是 ；由，得或，的减区间是 ．
当时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是．
注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．
（ii）不能因式分解型
如：
当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是；
当时，
当，即时，恒成立且不恒为，的增区间是；
当，即时，由，得或，的增区间是，；由，得，故的减区间是．
当时，，由 得
的增区间是；由，得或，的减区间是，．
二．参数不在二次项系数上
（i）能因式分解型
如：
当时，恒成立且不恒为0，增区间为；
当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为；
当时，由，得或，增区间为，；
由，得，减区间为。
（ii）不能因式分解型
如：，此时
当，即时，恒成立且不恒为，增区间是．
当，即或时，由，得 或，故增区间是，；
由，得，故减区间是
典型例题
【例1】已知函数，求函数的单调区间．（参数不在二次项可因式分解的）
【例2】设函数，讨论的单调性．（参数不在二次项不可因式分解的）
【例3】已知函数，求函数单调区间。（参数在二次项可因式分解的）
【例4】已知函数 （其中为常数且）在 处取得极值．若在上的最大值为，求的值．（参数在二次项可因式分解型）
方法总结：①求导②求导数零点③讨论参数范围，导函数正负确定④写出单调区间，单调区间一定要明确，不能写成在xx区间单调增（单调减）的形式
题型三：导函数的正负取决于含参的对数不等式
知识清单
对数不等式型
如：
由，得，故增区间是；
由，得，故减区间是。
典型例题：
【例1】已知函数．求在区间上的最大值
【例2】已知函数，求函数在上的最小值
方法总结：
题型四：导函数的正负取决于含参的指数不等式
知识清单
指数不等式型
如：
当 时，恒成立，增区间为；
当时，由，得，增区间为；由，得，减区间为。
典型例题：
【例1】设函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程
（2）在（1）的条件下，证明：
（3）当时，求函数在区间上的最大值
【例2】已知函数，设为曲线在点处的切线，其中
（1）求直线的方程（用表示）；
（2）求直线在轴上的截距的取值范围；
【例3】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行
（1）求的值
（2）若，求函数的最小值
方法总结：①求导②求单调区间③求极值
出门测
1.设函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值．
2.已知函数，讨论的单调性．（参数在二次项可因式分解型）
3.已知函数，求的单调区间；（参数在二次项可因式分解型）
课后练习
1、已知函数．求函数在上的最大值．
（参数在二次项可因式分解型）
2. 已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值
3. 已知函数（其中为常数且）在处取得极值
（1）当时，求的单调区间
若在上的最大值为1，求的值
4. 已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由
5.已知函数
（1）当时，求函数的最小值
（2）当时，讨论函数的零点个数第三讲 导数的含参讨论
入门测
1.已知函数
（1）若，求函数的单调递减区间
（2）若，求函数在区间上的最大值
【答案】（1）单调递减区间
（2）当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
2.已知函数，其中是自然对数的底数，，当时，求函数的最小值
【答案】
题型一：导函数的正负取决于含参的一元一次不等式
知识清单
一．参数在一次项系数上：
如：
当 时，恒成立，故在上单增；
当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是；
当时，由，得，的增区间是；由，得，减区间是．
二．参数在常数项上：
如：
当 时，恒成立，的增区间为；
当时，由，得，增区间为；由，得，增区间为．
典型例题
【例1】已知函数，求函数的单调区间。
【答案】
当时，易得在恒成立，的单调增区间为.
当时，令，得，故的单调减区间，单调递增区间为.
【例2】设函数，求函数的单调区间．
【答案】
若，的单调减区间是，单调增区间是
若，的单调增区间是，单调减区间是
【例3】已知函数，其中是自然对数的底数，，求函数的单调区间
【答案】的单调减区间为，单调增区间为
【例4】已知函数
求函数的单调区间
当时，求函数在区间上的最小值
【答案】(1)①当时，的单调增区间为②当时，的单调增区间为，的单调减为③当时，的单调减区间为，的单调增为
方法总结：①求导②求导数零点③判断导函数正负④写出单调区间，单调区间一定要明确，不能写成在xx区间单调增（单调减）的形式
题型二：导函数的正负取决于含参的一元二次不等式
知识清单
一．参数在二次项系数：
（i）能因式分解型；
如：，
当时，恒成立，故为常函数；
当时，由，得或，的增区间是或 ；由，得，的减区间为；
当时，
当时，恒成立且不恒为，在上单减
当时，由，得，的增区间是 ；由，得或，的减区间是 ．
当时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是．
注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．
（ii）不能因式分解型
如：
当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是；
当时，
当，即时，恒成立且不恒为，的增区间是；
当，即时，由，得或，的增区间是，；由，得，故的减区间是．
当时，，由 得
的增区间是；由，得或，的减区间是，．
二．参数不在二次项系数上
（i）能因式分解型
如：
当时，恒成立且不恒为0，增区间为；
当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为；
当时，由，得或，增区间为，；
由，得，减区间为。
（ii）不能因式分解型
如：，此时
当，即时，恒成立且不恒为，增区间是．
当，即或时，由，得 或，故增区间是，；
由，得，故减区间是
典型例题
【例1】已知函数，求函数的单调区间．（参数不在二次项可因式分解的）
【答案】当时，的单调递减区间为，单调增区间.
当时，的单调减区间是和.
当时，的单调减区间是和，单调增区间.
【例2】设函数，讨论的单调性．（参数不在二次项不可因式分解的）
【答案】当时，的单调增区间是；
当时，的单调增区间是；
当时，的单调增区间是和上单调递增.在单调递减.
【例3】已知函数，求函数单调区间。（参数在二次项可因式分解的）
【答案】当时，的单调增区间和；的单调减区间.当时，的单调递增区间是；当时，的单调增区间是和，单调减区间是.
【例4】已知函数 （其中为常数且）在 处取得极值．若在上的最大值为，求的值．（参数在二次项可因式分解型）
【答案】或
方法总结：①求导②求导数零点③讨论参数范围，导函数正负确定④写出单调区间，单调区间一定要明确，不能写成在xx区间单调增（单调减）的形式
题型三：导函数的正负取决于含参的对数不等式
知识清单
对数不等式型
如：
由，得，故增区间是；
由，得，故减区间是。
典型例题：
【例1】已知函数．求在区间上的最大值
【答案】,
【例2】已知函数，求函数在上的最小值
【答案】0
方法总结：
题型四：导函数的正负取决于含参的指数不等式
知识清单
指数不等式型
如：
当 时，恒成立，增区间为；
当时，由，得，增区间为；由，得，减区间为。
典型例题：
【例1】设函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程
（2）在（1）的条件下，证明：
（3）当时，求函数在区间上的最大值
【答案】（1）；（3）
【例2】已知函数，设为曲线在点处的切线，其中
（1）求直线的方程（用表示）；
（2）求直线在轴上的截距的取值范围；
【答案】
（1）
（2）
【例3】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行
（1）求的值
（2）若，求函数的最小值
【答案】；
方法总结：①求导②求单调区间③求极值
出门测
1.设函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）①当时，；
②当时，.
2.已知函数，讨论的单调性．（参数在二次项可因式分解型）
【答案】
①当时，函数在上是减函数，在上是增函数.
②当时，函数在上是减函数，在上是增函数.
③当时，函数在上是减函数，在上是增函数.
④当时，函数在上是增函数.
⑤当时，函数在上是减函数，在上是增函数.
⑥当时，函数在上是增函数，在上是减函数.
3.已知函数，求的单调区间；（参数在二次项可因式分解型）
【答案】
①当时，函数在上为增函数，在上是减函数.
②当时，函数在上为增函数.
③当时，函数在上为增函数，在上为减函数.
课后练习
已知函数．求函数在上的最大值．
（参数在二次项可因式分解型）
【答案】当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为
2. 已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值
【答案】（1）函数的定义域是，
当时，故函数在上单调递增
当时，故函数在上单调递减，
当时，令，又因为，解得.
当时，，所以函数在上单调递减
当时，，所以函数在上单调递增。
（2）
3. 已知函数（其中为常数且）在处取得极值
（1）当时，求的单调区间
若在上的最大值为1，求的值
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2） 或
4. 已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由
【答案】（1）当时， 的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）当时，有最小值；当时，没有最小值。
5.已知函数
（1）当时，求函数的最小值
（2）当时，讨论函数的零点个数
【答案】；当时，有一个零点；当时，有一个零点；当时，无零点；当时，有两个零点.

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