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第三讲 二项分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望是_______
2.设随机变量的分布列如下:
1 2 3 4 5
则为( )
A． B． C． D．
3.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
4.随机变量的分布列为:,则等于( )
A． B． C． D．
【知识点一：独立重复实验】
1.在n次独立重复实验中，每次试验的结果的概率都不依赖其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.一般地，在相同的条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
2.一般地，在n次独立重复试验中，设事件发生的次数为X，在每次试验中事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为.此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.
3.独立重复试验概率公式的特点
是n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率.
其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.
4.独立重复试验必须满足的特征
①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变.
②各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立.
③每次试验只有两个可能的结果，事件发生或者不发生.
温馨提示：
（1）独立重复试验的原型是有放回的抽样检验问题，实际生活中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，就可以近似地看作此类型.（2）定义中“在相同的条件下”指的是各次试验的结果不会受其他试验的影响，也就是各次试验相互独立，因而对于n次独立重复试验的结果,有.
温馨提示: (1)每次试验在相同的条件下进行(2)每次试验是相互独立的.
【典型例题】
考点一：n次独立重复试验的概率计算
例1. 打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为(　　)
A． B．
C． D．
例2．在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)
A. B.
C. D.
例题3. 已知，则等于(　　)
A. B. C. D.
例题4. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
练习1. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(　　)
A. B. C. D.
练习2. 某射击运动员对一目标连续射击3次，每次击中目标的概率为，则该运动员至少击中目标2次的概率为________
练习3. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算
(1)5次预报中恰有4次准确的概率；
(2)5次预报中至少有4次准确的概率．
练习4. 某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次，已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依次为、；不成功的概率依次为、
（Ⅰ）求以上的四次试验中，至少有一次试验成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次试验中，求恰有两次试验成功的概率．
【知识点二：二项分布】
一般地，在n次独立重复试验中，设事件发生的次数为X，在每次试验中时间发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为 ．此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率。
温馨提示: 1．独立重复试验满足的条件
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键
(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；
(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次；
(3)随机变量是事件发生的次数．
【典型例题】
考点一：二项分布
例题1. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布列．
例题2. 从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该市中学生中的全体男生的平均身高;
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生,根据直方图中的信息,估计其身高在180cm以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人,用表示身高在以上的男生人数,求随机变量的分布列和数学期望.
例题3.★★从北京市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列．(以直方图中的频率作为概率)
练习1. 2022年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间（0.5）内,将数据按区间列表如下:
分组 频数 频率
合计
（Ⅰ）求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;
（Ⅱ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.
【知识点三：二项分布的综合应用】
【典型例题】
考点一： 二项分布的应用
例1.小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.
（1）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
（2）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X（单位：元），求X的分布列.
例2. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布列．
练1.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):
满意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
10分(满意) 12 1 20 2 20 1
5分(一般) 2 3 6 2 4 9
0分(不满意) 1 0 6 3 4 4
（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机 并说明理由.
练2. 在赛季联赛中,某队甲、乙两名球员在前场比赛中投篮命中情况统计如下表（注:表中分数,表示投篮次数,表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
乙
根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于的概率;
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率;
（Ⅲ）在接下来的场比赛中,用表示这场比赛中乙球员命中率超过的场次,试写出的分布列,并求的数学期望.
【小试牛刀】
1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
2.抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.
（1）连续抛掷两次，求向上的数字不同的概率；
（2）连续抛掷两次，求向上的数字之和为6的概率；
（3）连续抛掷五次，求奇数数字恰好向上出现三次的概率.
3. 射击手射击1次,击中目标的概率为0.8,他连续射击5次,且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算(结果保留到小数点后第2位):
(1)5次射击中恰有2次击中的概率；
(2)5次射击中至少有2次击中的概率；
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中的概率．
（4）5次射击中，击中的次数为x 求x 的分布列
【巩固练习——基础篇】
1. ★在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
A. B. C. D.
2. ★★从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ）
A.2个球都是白球的概率 B.2个球都不是白球的概率
C.2个球不都是白球的概率 D.2个球中恰好有1个是白球的概率
3. ★★电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）
A.0.128 B.0.096 C.0.104 D.0.384
4. ★★某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. ★★（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是________．
（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是________．
6. ★★棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，
（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为____；此穴无壮苗的概率为____．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为____；此穴有壮苗的概率为____．
7. ★★在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
8. ★★在联赛中,某队甲、乙两名球员在前场比赛中投篮命中情况统计如下表（注:表中分数,表示投篮次数,表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
乙
根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于的概率;
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率;
（Ⅲ）在接下来的场比赛中,用表示这场比赛中乙球员命中率超过的场次,试写出的分布列,并求的数学期望.
【巩固练习——提高篇】
1. ★★一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
2. ★★★某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码．
3. ★★★甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率；
（3）2人至少有1人射中目标的概率；
（4）2人至多有1人射中目标的概率？
★★2022年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间(0.5)内,将数据按区间列表如下:
分组 频数 频率
合计
（Ⅰ）求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;
（Ⅱ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.第三讲 二项分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望是_______
【答案】
2.设随机变量的分布列如下:
1 2 3 4 5
则为( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由分布列的性质可知: ,
,故选.
3.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．【答案】C.
【解析】由题意可知,,
又∵, 所以的取值范围为 ,故选.
4.随机变量的分布列为:,则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】由题意可知: , ,
∴ ,故选.
【知识点一：独立重复实验】
1.在n次独立重复实验中，每次试验的结果的概率都不依赖其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.一般地，在相同的条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
2.一般地，在n次独立重复试验中，设事件发生的次数为X，在每次试验中事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为.此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.
3.独立重复试验概率公式的特点
是n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率.
其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.
4.独立重复试验必须满足的特征
①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变.
②各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立.
③每次试验只有两个可能的结果，事件发生或者不发生.
温馨提示：
（1）独立重复试验的原型是有放回的抽样检验问题，实际生活中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，就可以近似地看作此类型.（2）定义中“在相同的条件下”指的是各次试验的结果不会受其他试验的影响，也就是各次试验相互独立，因而对于n次独立重复试验的结果,有.
温馨提示: (1)每次试验在相同的条件下进行(2)每次试验是相互独立的.
【典型例题】
考点一：n次独立重复试验的概率计算
例1. 打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：设X为中靶的次数，则X～B(100,0.8)，∴P(X＝4)＝C0.84×0.296.
答案：A
例2．在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝.
答案：A
例题3. 已知，则等于(　　)
A. B. C. D.
解析：P(X＝2)＝C()2×()4＝.
答案：D
例题4. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C()3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为C()2·()＋C()3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C()2··C()3＋C()3·C()3＝＋＝.
练习1. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
练习2. 某射击运动员对一目标连续射击3次，每次击中目标的概率为，则该运动员至少击中目标2次的概率为________
【答案】
练习3. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算
(1)5次预报中恰有4次准确的概率；
(2)5次预报中至少有4次准确的概率．
[精解详析]　设X为预报准确的次数，则X～B(5，0.8)．
(1)5次预报中恰有4次准确的概率为P(X＝4)＝C×0.84×(1－0.8)5－4＝0.409 6，
即5次预报中恰有4次准确的概率为0.409 6.
(2)5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率之和，即
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝C×0.84×(1－0.8)5－4＋C×0.85×(1－0.8)5－5＝0.737 28，
即5次预报中至少有4次准确的概率为0.737 28.
练习4. 某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次，已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依次为、；不成功的概率依次为、
（Ⅰ）求以上的四次试验中，至少有一次试验成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次试验中，求恰有两次试验成功的概率．
【答案】
(1). (2).
【知识点二：二项分布】
一般地，在n次独立重复试验中，设事件发生的次数为X，在每次试验中时间发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为 ．此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率。
温馨提示: 1．独立重复试验满足的条件
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键
(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；
(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次；
(3)随机变量是事件发生的次数．
【典型例题】
考点一：二项分布
例题1. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布列．
解：击中目标的次数X服从二项分布X～B(4,0.8)，
∴P(X＝k)＝C(0.8)k(0.2)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
例题2. 从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该市中学生中的全体男生的平均身高;
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生,根据直方图中的信息,估计其身高在180cm以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人,用表示身高在以上的男生人数,求随机变量的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）根据题意得：．
解得 ． …………3分
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则
．
所以估计该市中学全体男生的平均身高为． …………7分
（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．
由已知得，随机变量的可能取值为．
所以；
；
；
．
随机变量的分布列为
因为~，所以．…………………………………13分
例题3.★★从北京市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列．(以直方图中的频率作为概率)
【答案】
练习1. 2022年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间（0.5）内,将数据按区间列表如下:
分组 频数 频率
合计
（Ⅰ）求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;
（Ⅱ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.
答案：（Ⅰ）,
估计该村每户平均用气量为
（Ⅱ）的可能取值为,,,,则
所以的分布列为
或,所以
【知识点三：二项分布的综合应用】
【典型例题】
考点一： 二项分布的应用
例1.小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.
（1）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
（2）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X（单位：元），求X的分布列.
解析 （1）设“甲恰得1个红包”为事件A，
则.
（2）X的所有可能取值为0，5，10，15，20.
，
，
，
，
.
故X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
例2. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布列．
解：击中目标的次数X服从二项分布X～B(4,0.8)，
∴P(X＝k)＝C(0.8)k(0.2)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
练1.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):
满意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
10分(满意) 12 1 20 2 20 1
5分(一般) 2 3 6 2 4 9
0分(不满意) 1 0 6 3 4 4
（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机 并说明理由.
解：(1)设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，
所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．
(2)由题意，的所有可能取值为：
因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人
为老年人概率是，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：
故．
(3)答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为， 所以建议甲乘坐高铁从市到市．
练2. 在赛季联赛中,某队甲、乙两名球员在前场比赛中投篮命中情况统计如下表（注:表中分数,表示投篮次数,表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
乙
根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于的概率;
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率;
（Ⅲ）在接下来的场比赛中,用表示这场比赛中乙球员命中率超过的场次,试写出的分布列,并求的数学期望.
答案：（Ⅰ）设事件:甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于
（Ⅱ）设事件：乙球员在该场比赛中投篮命中的概率大于
则下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率为：
（Ⅲ）可能取值为：
则
则的分布列为：
0 1 2 3
则数学期望
【小试牛刀】
1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
【答案】
2.抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.
（1）连续抛掷两次，求向上的数字不同的概率；
（2）连续抛掷两次，求向上的数字之和为6的概率；
（3）连续抛掷五次，求奇数数字恰好向上出现三次的概率.
解析 （1）设事件A表示“连续抛掷两次，向上的数字不同”，则.
（2）设事件B表示“连续抛掷两次，向上的数字之和为6”，向上的数字之和为6的结果有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），共5种，则.
（3）设事件C表示“连续抛掷五次，奇数数字恰好向上出现三次”，则.
3. 射击手射击1次,击中目标的概率为0.8,他连续射击5次,且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算(结果保留到小数点后第2位):
(1)5次射击中恰有2次击中的概率；
(2)5次射击中至少有2次击中的概率；
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中的概率．
（4）5次射击中，击中的次数为x 求x 的分布列
【答案】(1)0.05；
(2)0.99；
(3)0.02
【解析】根据题意,设为5次射击中恰有次击中的概率,
(1)5次射击中恰有2次击中的概；
(2)“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件,
则5次射击中至少有2次击中的概率
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中
即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生,
故其概率
（4）略
【巩固练习——基础篇】
1. ★在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
2. ★★从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ）
A.2个球都是白球的概率 B.2个球都不是白球的概率
C.2个球不都是白球的概率 D.2个球中恰好有1个是白球的概率
【答案】C
3. ★★电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）
A.0.128 B.0.096 C.0.104 D.0.384
【答案】B
4. ★★某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. ★★（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是________．
（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是________．
【答案】（1）（1）0.56
6. ★★棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，
（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为____；此穴无壮苗的概率为____．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为____；此穴有壮苗的概率为____．
【答案】（1）0.01，0.16（2）0.999，0.936
7. ★★在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【答案】一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是.(1)设第一次抽到理科题为事件A，则它包含的基本事件的个数为，于是.
（2）设第1次和第2次都抽到理科题为事件B，则它包含的基本事件数为,于是.
（3）
8. ★★在联赛中,某队甲、乙两名球员在前场比赛中投篮命中情况统计如下表（注:表中分数,表示投篮次数,表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
乙
根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于的概率;
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率;
（Ⅲ）在接下来的场比赛中,用表示这场比赛中乙球员命中率超过的场次,试写出的分布列,并求的数学期望.
答案：（Ⅰ）设事件:甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于
（Ⅱ）设事件：乙球员在该场比赛中投篮命中的概率大于
则下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率为：
（Ⅲ）可能取值为：
则
则的分布列为：
0 1 2 3
则数学期望
【巩固练习——提高篇】
1. ★★一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【答案】（1）
（2）记“最后一位按偶数”为事件B
则
2. ★★★某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码．
【答案】(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件，
“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件，
则“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件。
因为两次抽奖结果互不影响，因此与互相独立，由独立性可得
两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为
(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示，
因为事件与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
;
(3)“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用表示，
因为事件，与两两相斥.
根据概率加法公式和相互独立事件的定义，
所求概率为
3. ★★★甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率；
（3）2人至少有1人射中目标的概率；
（4）2人至多有1人射中目标的概率？
【答案】设“甲射击一次，击中目标”为事件,“乙射击一次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件。
两人都击中的概率为
两人恰有一人击中包括“甲中乙不中”，“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，
则
因为“两人中至少有一人射中”与“两人都未射中”为对立事件，由于“两人都未射中”的概率为错误! 请输入数字。，
所以“两人中至少有一人射中”的概率为
.
(4)“两人中至多有一人射中”的对立事件为“两人都击中”，
故所求概率为.
★★2022年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间(0.5)内,将数据按区间列表如下:
分组 频数 频率
合计
（Ⅰ）求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;
（Ⅱ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.
答案：（Ⅰ）,
估计该村每户平均用气量为
的可能取值为,,,,则
所以的分布列为

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