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第三讲 二项式定理
入门测
1. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ）
A.120 B.260 C.300 D.600
2.五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( )
A.20种 B. 24种 C. 40种 D. 56种
3．近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在[6,11)，[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据分别来自两组的取法种数是( )
A．10 B．13 C．15 D．18
4.某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种（用数字作答）．
.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的固定方式有________种．
题型一：求展开式及展开式的指定项
知识清单
知识1：二项式定理
二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
（3）二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
几点注意
通项是的展开式的第项，这里．
二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤ 设，则得公式：．
⑥通项是中含有
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
典型例题
例1.的展开式中的系数等于（ ）
A．80 B．12 C．20 D．10
例2.的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A．第4项 Ｂ．第4、5项 Ｃ．第5项 Ｄ.第3、4项
例3.在的二项展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
例4.在的展开式中，所有奇数项的系数之和为，则中间项系数是（ ）
A．330 B．462 C．682 D．792
例5.证明在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
例6.求的展开式的第4项的二项式系数和系数.
例7.求的展开式中的含的奇次项系数的和.
例8.已知展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含的项.
例9.求下列各指定项的二项式系数和系数：
（1）的展开式的第6项；
（2）的展开式中含的项.
例10.
（1）求的展开式中的第4项；
（2）求的展开式中第8项；
（3）求的展开式中含项的系数；
（4）求的展开式的常数项.
例11.求展开式中含的项，并说明它是展开式的第几项？
例12.填空：展开式的第4项是_______；第4项的二项式系数是_________；第4项的系数是_______.
例13.求展开式中含项的系数.
例14.求展开式中含的项.
例15.求展开式中的常数项.
例16.求的展开式
例17．求的展开式
例18．在二项式的展开式中，第四项的系数是.
例19．如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则=_________，展开式中的常数项的值等于.
例20．的二项展开式中，的系数与的系数之差为
例21.的展开式中，的系数等于
例22.的展开式中常数项为 (用数字作答)
例23.的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．2 D．4
例24.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
题型二：求最大项
知识清单
知识1：二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
典型例题
例1.求的展开式中二项式系数最大的项.
例2
（1）当为偶数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项；
当为奇数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项.
（2）在的展开式中，二项式系数最大项为___________.
例3.已知的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项.
例4.已知展开式的二项式系数之和比展开式的二项式系数之和小，求：
（1）展开式的第项；
（2）展开式中的系数最大项.
例5已知.若数列
是一个单调递增数列，则的最大值是
例6若展开式中只有第四项的系数最大，则=，展开式中的第五项为.
例7．的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
例8．已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
题型三：赋值法求某些项的系数
知识清单
知识1：二项式定理
二项展开式的通项公式
（1）二项展开式的第项叫做二项展开式的通项公式，它体现了二项展开式的项数、系数、字母的次数、项的次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些指定项及其系数方面有着十分广泛的应用.
（2）通项公式的特点
①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是，而不是；
②字母的次数与组合数的上标r相同；
③与的次数之和为，这就是二项式的次数.
典型例题
例1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例2．填空：
（1）多项式的展开式的各项系数和为_____;
（2）设，则______.
例3．设，则
（1）；
（2）__________；
（3）______________.
例4．已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1－2a2＋3a3－4a4＝( )
A．8 B．－8 C．16 D．－16
例5．若则的值是
例6．若，
其中，则实数的值为的值为
例7．若，求的值。
例8．已知求：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
题型四：整除性及余数问题
知识清单
知识1：二项式定理
典型例题
例1．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被整除.
例2．求证：能被64整除。
例3．求(0.998)5精确到0.001的近似值．
例4．若，求证明：能被整除．
出门测
在的展开式中，求：
二项式系数的和；
各项系数的和；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
奇数项系数和与偶数项系数和；
的奇次项系数和与的偶次项系数和。
在 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求的值．
已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．
课后作业
1.若的展开式中第项大于它的相邻两项，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.在的展开式中系数是正有理数的项共有（ ）.
A.项 B.项 C.项 D.项
3.填空：
（1）已知，，那么
4.（1）已知的展开式的第3项含有，求的值；
（2）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，求这两项的系数.
5.
6.展开式的所有奇数项的系数和等于，求展开式中二项式系数最大项.
7.求展开式的各项系数和.
8.（1）已知的展开式中，第项的系数与第项的系数之比是，求展开式中含的项；
（2）已知的展开式中，倒数第项的系数的绝对值是，求展开式中含的项.
9.求展开式中含项的系数.
10.在展开式中，有多少个有理项？
11.求证：
（1）；（提示：）
（2）
12.已知的展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求含的项.
13.（1）证明能被整除；
（2）试求除以的余数
14.求展开式中和的指数相等的项.
15.已知的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数之比为，求二项式系数最大的项.第三讲 二项式定理
入门测
1. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ）
A.120 B.260 C.300 D.600
【答案】C
2.五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( )
A.20种 B. 24种 C. 40种 D. 56种
【答案】C
3．近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在[6,11)，[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据分别来自两组的取法种数是( )
A．10 B．13 C．15 D．18
【答案】C
4.某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种（用数字作答）．
【答案】30
.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的固定方式有________种．
【答案】2880
【解析】第一阶段：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的有种，再随意拧第三个螺丝和其对角线上的，有种，然后拧第五个和它对角线上的，有种；第二阶段，先随意拧一个螺丝有种，再随意拧不相邻的，若拧的是对角线上的，有4种拧法，若拧的是不相邻斜对角上的，有6种方法。所以总共有：
题型一：求展开式及展开式的指定项
知识清单
知识1：二项式定理
二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
（3）二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
几点注意
通项是的展开式的第项，这里．
二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤ 设，则得公式：．
⑥通项是中含有
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
典型例题
例1.的展开式中的系数等于（ ）
A．80 B．12 C．20 D．10
【答案】B
例2.的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A．第4项 Ｂ．第4、5项 Ｃ．第5项 Ｄ.第3、4项
【答案】Ｂ
例3.在的二项展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
例4.在的展开式中，所有奇数项的系数之和为，则中间项系数是（ ）
A．330 B．462 C．682 D．792
【答案】B
例5.证明在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
证明：在展开式
中，令，则得
即
所以
综上所述，即证.
例6.求的展开式的第4项的二项式系数和系数.
【答案】
第4项的二项式系数为
展开式的第4项系数是
例7.求的展开式中的含的奇次项系数的和.
【答案】
例8.已知展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含的项.
【答案】
例9.求下列各指定项的二项式系数和系数：
（1）的展开式的第6项；
（2）的展开式中含的项.
【答案】126、-126；70、1120
例10.
（1）求的展开式中的第4项；
（2）求的展开式中第8项；
（3）求的展开式中含项的系数；
（4）求的展开式的常数项.
【答案】；；；.
例11.求展开式中含的项，并说明它是展开式的第几项？
【答案】，它是展开式的第4项.
例12.填空：展开式的第4项是_______；第4项的二项式系数是_________；第4项的系数是_______.
【答案】；35；280
例13.求展开式中含项的系数.
【答案】6435
例14.求展开式中含的项.
【答案】
例15.求展开式中的常数项.
【答案】70
例16.求的展开式
【答案】
例17．求的展开式
【答案】
例18．在二项式的展开式中，第四项的系数是.
【答案】160
例19．如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则=_________，展开式中的常数项的值等于.
【答案】8，70
例20．的二项展开式中，的系数与的系数之差为
【答案】0
例21.的展开式中，的系数等于
【答案】15
例22.的展开式中常数项为 (用数字作答)
【答案】－42．
例23.的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C；
例24.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
【答案】
题型二：求最大项
知识清单
知识1：二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
典型例题
例1.求的展开式中二项式系数最大的项.
【答案】
例2
（1）当为偶数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项；
当为奇数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项.
（2）在的展开式中，二项式系数最大项为___________.
【答案】；第项、第项；和
例3.已知的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项.
【答案】252
例4.已知展开式的二项式系数之和比展开式的二项式系数之和小，求：
（1）展开式的第项；
（2）展开式中的系数最大项.
【答案】；
例5已知.若数列
是一个单调递增数列，则的最大值是
【答案】
例6若展开式中只有第四项的系数最大，则=，展开式中的第五项为.
【答案】6；
例7．的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
【答案】二项式系数最大项为系数最大项为。
例8．已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】
解：令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为
，
∴有．
∴．
(1)∵，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
∴，
．
(2)设展开式中第项的系数最大．
，
故有
即
解得．∵，
∴，即展开式中第项的系数最大．
题型三：赋值法求某些项的系数
知识清单
知识1：二项式定理
二项展开式的通项公式
（1）二项展开式的第项叫做二项展开式的通项公式，它体现了二项展开式的项数、系数、字母的次数、项的次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些指定项及其系数方面有着十分广泛的应用.
（2）通项公式的特点
①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是，而不是；
②字母的次数与组合数的上标r相同；
③与的次数之和为，这就是二项式的次数.
典型例题
例1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
例2．填空：
（1）多项式的展开式的各项系数和为_____;
（2）设，则______.
【答案】16；262144
例3．设，则
（1）；
（2）__________；
（3）______________.
【答案】255；65536；32896
例4．已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1－2a2＋3a3－4a4＝( )
A．8 B．－8 C．16 D．－16
【答案】B
例5．若则的值是
【答案】84
例6．若，
其中，则实数的值为的值为
【答案】；
例7．若，求的值。
【答案】－1.
例8．已知求：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
【答案】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1．①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37．②
(1)易知a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7－a0＝－2；
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094；
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6=＝1093；
(4)方法1：因为(1－2x)7的展开式中a1，a3，a5，a7是负数，a0，a2，a4，a6是正数，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)＝2187．
方法2：因为｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜表示(1＋2x)7的展开式中各项系数的和，
令x＝1，可得｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝37＝2187．
题型四：整除性及余数问题
知识清单
知识1：二项式定理
典型例题
例1．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被整除.
【答案】（1）证明：
因为
所以
因为，所以能被整除；
（2）证明：
因为
所以为整数
所以能被整除.
例2．求证：能被64整除。
【答案】解析：可将写成，然后利用二项式定理展开。
证明：
此式每一项都有因式，故能被64整除。
例3．求(0.998)5精确到0.001的近似值．
【答案】解：
．
例4．若，求证明：能被整除．
【答案】解：
，
∵，，，…均为自然数，
∴上式各项均为的整数倍．
∴原式能被整除．
出门测
在的展开式中，求：
二项式系数的和；
各项系数的和；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
奇数项系数和与偶数项系数和；
的奇次项系数和与的偶次项系数和。
【答案】设则各项系数和即为：奇数项系数和为：偶数项系数和为：的奇次项系数和就是偶数项系数和为的偶次项系数和就是奇数项系数和为
由二项式系数性质可得：所求二项式系数和为；
令得所求各项系数和为：；
由二项式系数性质可得：所求奇数项的二项式系数和为；偶数项的二项式系数和为；
由（2）可得：① 令可得：②由①+②可得①—②可得所以，所求奇数项的系数的和为所求偶数项的系数的和为；
因为的展开式中的奇次项系数和就是偶数项系数和，的偶次项系数和就是奇数项系数和，所以，所求的奇次项系数和为所求的偶次项的系数和为
在 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求的值．
【答案】x＝10或
已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．
【答案】第4项系数最小，
课后作业
1.若的展开式中第项大于它的相邻两项，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.在的展开式中系数是正有理数的项共有（ ）.
A.项 B.项 C.项 D.项
【答案】A
3.填空：
（1）已知，，那么
【答案】
4.（1）已知的展开式的第3项含有，求的值；
（2）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，求这两项的系数.
【答案】8；56
5.
【答案】1024
6.展开式的所有奇数项的系数和等于，求展开式中二项式系数最大项.
【答案】，第6项最大.
7.求展开式的各项系数和.
【答案】64
8.（1）已知的展开式中，第项的系数与第项的系数之比是，求展开式中含的项；
（2）已知的展开式中，倒数第项的系数的绝对值是，求展开式中含的项.
【答案】；
9.求展开式中含项的系数.
【答案】5985
10.在展开式中，有多少个有理项？
【答案】13项
11.求证：
（1）；（提示：）
（2）
【答案】（1）证明：
因为
所以
（2）证明：
因为
12.已知的展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求含的项.
【答案】或
13.（1）证明能被整除；
（2）试求除以的余数
【答案】
（1）证明：因为
并且和8均能被8整除，
所以能被整除
（2）证明：因为
所以除以的余数为.
14.求展开式中和的指数相等的项.
【答案】第7项
15.已知的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数之比为，求二项式系数最大的项.
【答案】，最大项为

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