资源简介

第八讲 函数与方程
一、知识回顾
1.函数的零点
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
方程有实根函数的图象与轴有交点（即为交点横坐标）
函数有零点。
2.零点存在性定理
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
3.二次函数 的图象与零点的关系
二次函数 的图象
与轴的交点 ， 无交点
零点个数 两个 一个 无
4.二分法
(1) 定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
(2) 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
① 确定区间，验证，给定精确度；
② 求区间的中点；
③ 计算；
(ⅰ)若，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若，则令 (此时零点)；
(ⅲ)若，则令 (此时零点)。
④ 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值或；否则重复②③④；
若将区间等分次后，得到的零点区间满足要求的精确度，则有.
二、经典例题
题型一：零点所在区间问题
【例1】方程的解的所在区间是（ ）
【答案】C
【解析】令，，数形结合知
，，
、在上有交点，故方程的解在上。
【变式1】【2015湖北黄石高一期中】 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：∵，，，
∴，∴函数的零点所在的大致区间是
考点：零点的存在性定理.
【变式2】若是方程的解，则属于区间（ ）
A.. B.. C. D.
【解析】构造函数，则函数的图象是连续不断的一条曲线.
又，，，
，所以，
故的零点所在的一个区间是，即方程的解属于区间.选C
注释：，
题型二：方程的根与零点个数问题
【例2】函数的零点个数为( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
【解析】判断函数的零点个数可转化为判断方程的根的个数，
由此得到，设，，则两个函数与的交点个数即为所求，
如图所示，可知交点有两个．
【变式】已知，则函数的零点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
【解析】函数的零点的个数就等于方程的解的个数，即函数与的图象交点的个数．
如图所示：
故函数与的交点的个数为2，选B．
注释：①的图象即为分段函数的图象；
②的图象即为分段函数的图象
题型三：利用函数的零点确定参数的取值范围
【例3】方程有三个不相等的实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】 ， 在直角坐标系内做图像
【变式】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数有三个不同的零点，
等价于函数与的图象有三个不同的交点，
作出函数的图象如图：
由二次函数的知识可知，当时，抛物线取最低点为，
函数的图象为水平的直线，由图象可知当时，
两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点
考点：分段函数的应用
【例4】若方程在内恰有一解，则的取值范围（ ）
B. C. D.
【解析】：在上恰有一个零点，显然。
∴有两种情形：
，得；
②且方程的根在内，
令，得，
此时的根。
综上知，即实数的取值范围为。
【变式】是否存在这样的实数，使函数在区间上与轴
有且只有一个交点。若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。
【解析】：，
∴若存在实数满足条件，
则只需即可．
所以或.
检验：①当时，.
所以.
令，即
得或.
方程在上有两根，不合题意，
故.
②当时，，
此时，
令，即，
解之得或.
方程在上有两根，不合题意，
故，
综上所述，或.
题型四、二分法问题
【例5】用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度)为________．
[答案]　1.56　
【解析】：由参考数据知，，，
即，且， 的一个零点的近似值可取为
【变式】用二分法求的近似解，，，下一个求，则________．
[答案]　1.4375
【例6】已知连续不断的函数在区间有唯一零点，若用“二分法”求该零点（精确度）的近似值，那么将区间等分的次数至少是________次
【解析】：设第次等分后零点所在的区间为，
其长度为…………①
令，得，，，且
故将区间等分的次数至少是次
【答案】10
【变式】用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为时，所需二分区间次数最少为（　　）次
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】：开区间的长度等于，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为，，，，且
故所需二分区间次数最少为次,选
题型五 综合应用
【例7】设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：因为对于任意的，都有，所以函数的图像关于直线对称，又因为当时，，且函数是定义在上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解，则函数与在区间上有三个不同的交点，如下图所示：
又，则有，且，解得
【变式】已知的图象关于坐标原点对称。
(1)求的值，并求出函数的零点；
(2)若函数在内存在零点，求实数的取值范围；
【解析】：（1）由题意知是上的奇函数
得，
由，得，
即的零点为
(2)
由题意知在内有解。
即方程在
在内单调递增
，故当时
函数在内存在零点
课后作业
1、函数的零点所在的一个区间是( )
A． B． C． D．
【解析】∵
∴故函数在区间上有零点。
2、函数的零点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】，即无零点，选A.
3、已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在时，的最小值是，由于是奇函数，因此在上，递增，上，递减，而的单调性与相同，因此时，有个零点，在时，只有一个零点，共个零点．故选．
考点：函数的奇偶性，单调性，函数的零点．
4、已知函数若关于的方程有两个不同的实根，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】作函数的图象，当函数与函数有两个不同交点时，关于的方程就有两个不同的实根，所以．
5、下列说法正确的有________。
① 函数若则函数在区间内一定没有零点。
② 函数 有两个零点。
③ 若奇函数、偶函数有零点，其和为0。
④ 当时，函数有三个零点。
【解析】①错，如图。
②错，应有三个零点。
③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0。
④设，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1。
答案：③④
6、根据表格中的数据，可以判断方程必有一个根在区间(　　)
－1 0 1 2 3
0.37 1 2.78 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A. B． C． D．
解析：选C.
，由根的存在性定理知，方程必有一个根在区间。故选C。
7、设函数
(1)当时，求函数的零点；
(2)若对任意，函数恒有两个不同零点，求实数的取值范围．
【答案】(1) 和 (2)
【解析】(1)当，
令
∴函数的零点为3和－1.
(2)依题意有两个不同实根．
恒成立，
即对于任意恒成立，
所以有
因此实数的取值范围是 ．第12讲 函数与方程
一、知识回顾
1.函数的零点
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
方程有实根函数的图象与轴有交点（即为交点横坐标）
函数有零点。
2.零点存在性定理
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
3.二次函数 的图象与零点的关系
二次函数 的图象
与轴的交点 ， 无交点
零点个数 两个 一个 无
4.二分法
(1) 定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
(2) 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
① 确定区间，验证，给定精确度；
② 求区间的中点；
③ 计算；
(ⅰ)若，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若，则令 (此时零点)；
(ⅲ)若，则令 (此时零点)。
④ 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值或；否则重复②③④；
若将区间等分次后，得到的零点区间满足要求的精确度，则有.
二、经典例题
题型一：零点所在区间问题
【例1】方程的解的所在区间是（ ）
【变式1】【2015湖北黄石高一期中】 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若是方程的解，则属于区间（ ）
A.. B.. C. D.
题型二：方程的根与零点个数问题
【例2】函数的零点个数为( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
【变式】已知，则函数的零点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：利用函数的零点确定参数的取值范围
【例3】方程有三个不相等的实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4】若方程在内恰有一解，则的取值范围（ ）
B. C. D.
【变式】是否存在这样的实数，使函数在区间上与轴
有且只有一个交点。若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。
题型四、二分法问题
【例5】用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度)为________．
【变式】用二分法求的近似解，，，下一个求，则________．
【例6】已知连续不断的函数在区间有唯一零点，若用“二分法”求该零点（精确度）的近似值，那么将区间等分的次数至少是________次
【变式】用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为时，所需二分区间次数最少为（　　）次
A．5 B．6 C．7 D．8
题型五 综合应用
【例7】设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知的图象关于坐标原点对称。
(1)求的值，并求出函数的零点；
(2)若函数在内存在零点，求实数的取值范围；
课后作业
1、函数的零点所在的一个区间是( )
A． B． C． D．
2、函数的零点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3、已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、已知函数若关于的方程有两个不同的实根，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、下列说法正确的有________。
① 函数若则函数在区间内一定没有零点。
② 函数 有两个零点。
③ 若奇函数、偶函数有零点，其和为0。
④ 当时，函数有三个零点。
6、根据表格中的数据，可以判断方程必有一个根在区间(　　)
－1 0 1 2 3
0.37 1 2.78 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A. B． C． D．
7、设函数
(1)当时，求函数的零点；
(2)若对任意，函数恒有两个不同零点，求实数的取值范围．

展开更多......

收起↑