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第二讲 诱导公式
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
2. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
（A）2 （B） （C） （D）
【答案】（B）
3. 在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
4. 已知是角终边上的一点，且，求的值
【答案】
5. 若，则___________
【答案】
教学目标
1能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式
2能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题
知识框架
知识点1：三角函数的诱导公式
（一）；；
（二）；；
（三）；；
（四）；；
（五）；
（六）；
【总结】诱导公式的巧记
诱导公式一～六可归纳为的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数来讲的
(3)“象限”指中，将看成锐角时，所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号
例如，将写成，因为1是奇数，则“”变为正弦函数符号“”，又将看成第一象限角时，是第二象限角，符号为“”，
故有
【关注互余互补角的正余弦关系】
【补充】
（1）特殊角的三角函数：
对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如：
不存在
（2）其他特殊角的三角函数值（了解）：
典型例题
考点一：给角求值问题
【例1】求下列三角函数值：
（1）；（2）；（3）
【答案】(1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)
＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－；
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝
【练习1】（1）；（2）；（3）；（4）【课本例题】
【答案】
【练习2】求值：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【练习3】已知，则的值为________
【答案】因为f＝sin＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－－2＝－
所以f＋f＝－2
【例2】已知，，，则的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】，
，
，
∴
∴选（A）
【练习1】已知，，则有( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】
而，故本题选（D）
【例3】________
【答案】将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，
第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝，
则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝
【总结】
1利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
2角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数若转化之后的正角大于，再利用诱导公式一，化为0°到间的角的三角函数
(2)当化成的角是到间的角时，再利用的诱导公式化为到间的角的三角函数
(3)当化成的角是到间的角时，则利用及的诱导公式化为到间的角的三角函数
考点二：化简求值问题
【例1】(1)化简：________；
(2)化简
【答案】(1)＝＝＝＝1
(2)原式＝＝＝＝－1
【练习1】【课本例题】
【答案】
【例2】化简：【课本例题】
【练习1】化简：
【答案】原式＝＝＝tan θ
【例3】已知
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值；
(3)若，求的值
【答案】(1)f(α)＝＝－cos α
(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，∴f(α)＝
(3)f＝－cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－
【练习1】已知
(1)化简；
(2)若角的终边在第二象限且，求
【答案】(1)f(α)＝＝＝－cos α
(2)由题意知cos α＝－＝－，∴f(α)＝－cos α＝
拓展练习
【练习1】________
【答案】
【练习2】已知，则的值是_______
【答案】
=
【练习3】若函数，其中都是非零实数，且满足，则__________
【答案】，
【练习4】化简下列各式，其中【课本练习】
(1)；（2）
【答案】（1）当时，；当时，；
当时，；当时，
（2）当时，；当时，；
当时，；当时，
【总结】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解
考点三：给值求值问题
【例1】已知，求的值
【答案】∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角
①若α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－＝－＝－；
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin α＝＝ ＝
【练习1】已知，求的值
【答案】由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝，所以α是第一象限或第二象限角
当α是第一象限角时，cos α＝ ＝，
此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－
当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝
【例2】（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
【答案】：（1）cos＝cos＝sin＝
（2）=
【练习1】已知，且为第四象限角，求的值
【答案】∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角
∴α－55°是第三象限角sin(α－55°)＝－＝－
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝
【练习2】已知，且，求的值【课本例题】
【答案】
【练习3】已知，，则的值为________
【答案】∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－
考点四：三角恒等式的证明
【例1】求证：
【证明】：左边＝＝＝1＝右边
∴原式成立
【练习】求证：
【证明】：左边＝＋
＝＋＝＝＝＝右边
∴原式成立
【总结】
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法
小试牛刀
1. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（C）　∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝
2. 已知，且是第四象限角，则的值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（B）　sin α＝－，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝＝
3. 设，则________
【答案】∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝＝
4. 的值是________
【答案】原式＝＝
＝＝＝＝－2
5. 已知，求的值
【答案】cos＝－cos＝－cos＝－
巩固练习
1. 的值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（D）　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－
2. 已知，那么的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（D）　sin(π＋α)＝－，则sin α＝∴cos α＝±＝±
3. 的值为( )
（A）1 （B）2sin2α （C）0 （D）2
【答案】选（D）　原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2
4.已知，则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（B）　∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－
5. 若，，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（B）　∵tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，
∴tan α＝－，∴＝－，
∵cos2α＋sin2α＝1，α∈，∴cos α＝－，sin α＝，∴sin α＋cos α＝－
6. 若，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（B）　∵sin(π＋α)＋cos＝－m，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，
从而sin α＝，∴cos＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m
7. 已知，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】选（B）　∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝
8. 在中，下列各表达式为常数的是( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】选（C）　sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1
9. 若，则________
【答案】sin＝cos θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－
10. ________
【答案】＋＝，sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1
11. 已知，则_______
【答案】由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，
则原式＝＝
＝＝＝＝2
三、解答题
12. 化简：
【答案】∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝＋＝＋＝＝－＝－1
13. 已知方程的根，且是第三象限角，
求的值
【答案】原式＝·tan2α
＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，又α是第三象限角，
∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝，故原式＝－tan2α＝－
14. 是否存在角，，，，使等式，同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由
【答案】假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2
∴sin2α＝，∴sin α＝±
∵α∈，∴α＝±
当α＝时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝；
当α＝－时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去
∴存在α＝，β＝满足条件第二讲 诱导公式
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么关系是
（A） （B） （C） （D）
2. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
（A）2 （B） （C） （D）
3. 在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为
（A） （B） （C） （D）
4. 已知是角终边上的一点，且，求的值
5. 若，则___________
教学目标
1能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式
2能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题
知识框架
知识点1：三角函数的诱导公式
（一）；；
（二）；；
（三）；；
（四）；；
（五）；
（六）；
【总结】诱导公式的巧记
诱导公式一～六可归纳为的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数来讲的
(3)“象限”指中，将看成锐角时，所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号
例如，将写成，因为1是奇数，则“”变为正弦函数符号“”，又将看成第一象限角时，是第二象限角，符号为“”，
故有
【关注互余互补角的正余弦关系】
【补充】
（1）特殊角的三角函数：
对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如：
不存在
（2）其他特殊角的三角函数值（了解）：
典型例题
考点一：给角求值问题
【例1】求下列三角函数值：
（1）；（2）；（3）
【练习1】（1）；（2）；（3）；（4）
【练习2】求值：
（1）
（2）
【练习3】已知，则的值为________
【例2】已知，，，则的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
【练习1】已知，，则有( )
（A） （B） （C） （D）
【例3】________
【总结】
1利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
2角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数若转化之后的正角大于，再利用诱导公式一，化为0°到间的角的三角函数
(2)当化成的角是到间的角时，再利用的诱导公式化为到间的角的三角函数
(3)当化成的角是到间的角时，则利用及的诱导公式化为到间的角的三角函数
考点二：化简求值问题
【例1】(1)化简：________；
(2)化简
【练习1】
【例2】化简：
【练习1】化简：
【例3】已知
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值；
(3)若，求的值
【练习1】已知
(1)化简；
(2)若角的终边在第二象限且，求
拓展练习
【练习1】________
【练习2】已知，则的值是_______
【练习3】若函数，其中都是非零实数，且满足，则__________
【练习4】化简下列各式，其中
(1)；（2）
【总结】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解
考点三：给值求值问题
【例1】已知，求的值
【练习1】已知，求的值
【例2】（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
【练习1】已知，且为第四象限角，求的值
【练习2】已知，且，求的值
【练习3】已知，，则的值为________
考点四：三角恒等式的证明
【例1】求证：
【练习】求证：
【总结】
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法
小试牛刀
1. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
2. 已知，且是第四象限角，则的值是( )
（A） （B） （C） （D）
3. 设，则________
4. 的值是________
5. 已知，求的值
巩固练习
1. 的值是( )
（A） （B） （C） （D）
2. 已知，那么的值为( )
（A） （B） （C） （D）
3. 的值为( )
（A）1 （B）2sin2α （C）0 （D）2
4.已知，则( )
（A） （B） （C） （D）
5. 若，，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
6. 若，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
7. 已知，则的值为( )
（A） （B） （C） （D）
8. 在中，下列各表达式为常数的是( )
（A） （B）
（C） （D）
9. 若，则________
10. ________
11. 已知，则_______
三、解答题
12. 化简：
13. 已知方程的根，且是第三象限角，
求的值
14. 是否存在角，，，，使等式，同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由

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