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第八讲 函数奇偶性
一．知识要点
知识点一：偶函数的概念
偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．例：
知识点二：奇函数的概念
奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．例：．
注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件．例：在区间上是偶函数，但在区间上却无奇偶性可言．
知识点三：奇函数、偶函数的性质
①是奇函数的图像关于原点对称；
是偶函数的图像关于轴对称．
②若奇函数在处有定义，则;当是偶函数，则
③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
④奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有：
奇±奇＝奇（函数）　 偶±偶＝偶（函数）　　 奇×奇＝偶（函数）　　　　 　
偶×偶＝偶（函数）　　 奇×偶＝奇（函数）　
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答
题需先证明再利用．
⑤对称性：奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．
⑥整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立．
⑦可逆性：是偶函数；是奇函数．
⑧等价性：．
．
⑨可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数（有且只有一类，即）、非奇非偶函数．
知识点四：奇偶性与对称性的一些重要结论
①若，则函数的对称轴为．
一般若则对称轴为．
②若函数为奇函数，则函数的对称中心为点．
若函数为偶函数，则函数的对称轴为．
知识点五：周期性
周期函数定义：若对于定义域内任意都有，则叫作函数的周期．
有关周期的一些重要结论有：
①若，则周期；
②若，则周期；
③若，则周期；
④若，则周期．
二．经典例题
题型一：判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【变式】判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【拓展】判断函数的奇偶性为： ________________ ．
题型二：函数奇偶性的应用
（一） 图像性质
【例2】已知是偶函数，且图像与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是
【拓展】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（二）求函数值或值域
【例3】已知，且，求．
【变式1】已知，且，求．
【变式2】设的图像关于对称，定义域为，求的值域．
（三）求参数值
【例4】（1）设函数为奇函数，则 ．
（2）若是奇函数，则 ．
（3）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知函数是奇函数，，，且在上是增函数．
（1）求的值；
（2）当时，讨论函数的单调性．
（四）求函数解析式
【例5】已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式．
【变式】已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式．
【拓展】已知，是二次函数，当时，的最小值是，且是奇函数，求的表达式．
（五）解抽象函数不等式
【例7】设为定义在上的偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围．
【例8】已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是．
【变式1】已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（六）抽象函数的奇偶性
【例9】若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数．
【变式1】若对于任意实数，函数都有．求证：为偶函数.
【变式2】设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数．
【拓展1】均为奇函数，在上的最大值为5，则在上的最小值为______．
【拓展2】已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足关系式：，则的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
题型三：奇偶性的综合应用
【例10】已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时， ，又．
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）求在上的最大值与最小值．
【例11】函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式．
【变式】已知函数是定义在区间上的奇函数，且， 若对于任意的有．
（1）判断函数的单调性(不要求证明)；
（2）解不等式；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
题型四：对称性及周期性的综合应用
【例12】定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：
①是周期函数；
②关于直线对称；
③在上是增函数；
④在上是减函数；
⑤，
其中正确的序号是 ．
【变式1】已知定义在上的奇函数满足，若，
，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
【拓展】设函数在上满足，且在闭区间上，只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．
课后作业
一．基础过关
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
2．定义两种运算：，，则函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇且偶函数 D． 非奇非偶函数
3．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
4．设函数为奇函数，若，则．
5．已知奇函数的定义域为，且在区间内递减，求满足： 的实数的取值范围．
二．延伸拓展
6．已知定义在区间上的函数满足，且当时，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，求在上的最小值．
7．设是定义在上的奇函数且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．第八讲 函数奇偶性
一．知识要点
知识点一：偶函数的概念
偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．例：
知识点二：奇函数的概念
奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．例：．
注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件．例：在区间上是偶函数，但在区间上却无奇偶性可言．
知识点三：奇函数、偶函数的性质
①是奇函数的图像关于原点对称；
是偶函数的图像关于轴对称．
②若奇函数在处有定义，则;当是偶函数，则
③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
④奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有：
奇±奇＝奇（函数）　 偶±偶＝偶（函数）　　 奇×奇＝偶（函数）　　　　 　
偶×偶＝偶（函数）　　 奇×偶＝奇（函数）　
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答
题需先证明再利用．
⑤对称性：奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．
⑥整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立．
⑦可逆性：是偶函数；是奇函数．
⑧等价性：．
．
⑨可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数（有且只有一类，即）、非奇非偶函数．
知识点四：奇偶性与对称性的一些重要结论
①若，则函数的对称轴为．
一般若则对称轴为．
②若函数为奇函数，则函数的对称中心为点．
若函数为偶函数，则函数的对称轴为．
知识点五：周期性
周期函数定义：若对于定义域内任意都有，则叫作函数的周期．
有关周期的一些重要结论有：
①若，则周期；
②若，则周期；
③若，则周期；
④若，则周期．
二．经典例题
题型一：判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【答案】（1)奇函数 （2）偶 （3）既奇又偶 （4）奇 （5）非奇非偶
【变式】判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）非奇非偶 （2）奇 （3）偶 （4）非奇非偶
【拓展】判断函数的奇偶性为： ________________ ．
【答案】非奇非偶函数
【解析】当时，，此时，
；同理当，也有．
但是若为奇函数，则必有，故为非奇非偶函数．
题型二：函数奇偶性的应用
（一） 图像性质
【例2】已知是偶函数，且图像与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】偶函数的对称性．
【变式】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是
【解析】，故为奇函数；
，由此可知选C．
【拓展】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】：偶函数，在上单调递增且，由草图得答案D．
（二）求函数值或值域
【例3】已知，且，求．
【解析】令，则为奇函数
．
【变式1】已知，且，求．
【解析】法1：，
故
法2：令，则为偶函数，
又，
故．
【变式2】设的图像关于对称，定义域为，求的值域．
【解析】由题意，为偶函数，定义域关于原点对称
解得，
由偶函数得，
所以，
因此在上的值域为．
（三）求参数值
【例4】（1）设函数为奇函数，则 ．
【解析】由题意定义域，由，
化简得
（2）若是奇函数，则 ．
【解析】由化简得
（3）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：由函数的定义域为，又因为为奇函数，可知定义域关于原点对称，故．故选A．
【变式】已知函数是奇函数，，，且在上是增函数．
（1）求的值；
（2）当时，讨论函数的单调性．
【解析】（1）由题可得：，且，故且
又在上是增函数，对于函数
由值域知，；故，所以．所以．
（2）由（1）可得,故当时，的单调性为单调递减．
（四）求函数解析式
【例5】已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式．
【解析】当时，，则，是偶函数，，
故时，有．
【变式】已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式．
【解析】当时，，则，
为奇函数，，
故 又，
故
【拓展】已知，是二次函数，当时，的最小值是，且
是奇函数，求的表达式．
【解析】设，则有，故
令，则有，所以．
又当时，的最小值是，
故当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得（舍去）
综上，或．
（五）解抽象函数不等式
【例7】设为定义在上的偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围．
【解析】由在上是偶函数且在上递增，知在上递减，
，.
所以，
即，即
．
【例8】已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是．
【解析】由偶函数得，，
由上是增函数，且，
得
【变式1】已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是偶函数，∴，∴，
再根据的单调性，得，解得；故选A．
考点：1．函数的单调性；2．函数的奇偶性．
【变式2】设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知是偶函数,且在是增函数,所以
．故选A．
（六）抽象函数的奇偶性
【例9】若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数．
【证明】令，则，即，
令，则，
即为奇函数
【变式1】若对于任意实数，函数都有．求证：为偶函数.
【证明】令，同时令
即，为偶函数．
【变式2】设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数．
【证明】对任意，故定义域．
令
显然与定义域也是，且是关于原点对称的区间，
则
故
为偶函数，为奇函数，
即为偶函数，为奇函数．
【拓展1】均为奇函数，在上的最大值为5，则在上的最小值为______．
【解析】令，为奇函数，在上最大值为5-2=3，故在上最小值为-3，即在上最小值为-1．
【拓展2】已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足关系式：，则的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
【答案】A
【解析】令，可得，故
令，同理可得
令，得
故选A．
题型三：奇偶性的综合应用
【例10】已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时， ，又．
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）求在上的最大值与最小值．
【证明】（1）令有，即，
令有 ，即 为奇函数．
（2）不妨设任意，则
有，即在上为减函数．
（3）因为在上为减函数，故在上的最大值为，最小值
而
故在上的最大值为，最小值为．
【例11】函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式．
【解析】（1）由得，代入得．即，．
（2）不妨设
则
由，得
即定义域内时有，在定义域上为增函数．
（3）原不等式等价于
由定义域且得
在上单调递增，即
综上．
【变式】已知函数是定义在区间上的奇函数，且， 若对于任意的有．
（1）判断函数的单调性(不要求证明)；
（2）解不等式；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数在区间上是增函数——————2分
（2）解：由（1）知函数在区间上是增函数又由得，解得
不等式的解集为——————6分
（3）解：函数在区间上是增函数，且
要使得对于任意的，都有恒成立，
只需对任意的时恒成立
令，此时可以看做的一次函数，且在时恒成立
因此只需要 解得
题型四：对称性及周期性的综合应用
【例12】定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：
①是周期函数；
②关于直线对称；
③在上是增函数；
④在上是减函数；
⑤，
其中正确的序号是 ．
【答案】①②⑤
【分析】首先理解题目定义在R上的偶函数，则必有，又有关系式，两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在上是增函数，推出单调区间即可．
【解析】∵定义在R上的偶函数满足，
∴，
∴是周期为2的函数，则①正确．
又∵，
∴的图象关于x=1对称，②正确，
又∵为偶函数且在上是增函数，
∴在上是减函数，
又∵对称轴为．
∴在上为增函数，，
故③④错误，⑤正确．
故答案应为①②⑤．
考点：函数的周期性；函数的单调性及单调区间．
【变式1】已知定义在上的奇函数满足，若，
，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据知原函数是周期为的奇函数，所以，即：即：，与，解得：或，所以答案为D．
考点：1．函数的奇偶性；2．函数的周期性；3．解不等式．
【变式2】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
【答案】
【解析】：由得函数关于对称，故，则，由二次函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．
【拓展】设函数在上满足，且在闭区间上，只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．
【解析】（1）
∴的周期．
又而
故是非奇非偶函数．
（2）
在上，只有
∴在无零点．
又，故在无零点，
∴在上仅有两个解．
故在和上均有两个解．
从而可知，在上有402个解，在有400个解．
综上可知，在上有802个解．
课后作业
一．基础过关
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
【解析】定义域关于原点对称，且，故图像关于原点对称，故选C．
2．定义两种运算：，，则函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇且偶函数 D． 非奇非偶函数
【解析】，定义域，即定义域，
则，，为奇函数，故选A．
3．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【解析】为偶函数，，，故选D．
4．设函数为奇函数，若，则．
【解析】由奇函数，，故．
5．已知奇函数的定义域为，且在区间内递减，求满足： 的实数的取值范围．
【解析】∵的定义域为，
∴有，解．①
又为奇函数，且在上递减，
∴在上递减，
∴，即．②
综合①②可知，．
二．延伸拓展
6．已知定义在区间上的函数满足，且当时，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，求在上的最小值．
【解析】 (1)令，代入得．
(2)任取，且，则，由于当时，f，所以，即，因此，所以函数在区间上是单调递减函数．
(3)∵在上是单调递减函数．∴在上的最小值为．由得，，而，所以．
∴在上的最小值为．　
7．设是定义在上的奇函数且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
【解析】（1）证明：因为所以，所以是以4为周期的周期函数；
（2）当，，所以
解得．
（3）由（2）可得，又因为是以4为周期的周期函数，
所以．

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