资源简介

目录
第二讲 直线的方程 2
入门测 2
题型一：直线的点斜式方程 4
知识清单 4
典型例题 5
方法总结： 7
题型二：直线的斜截式方程 8
知识清单 8
典型例题 9
题型三：两直线平行与垂直的应用 10
知识清单 10
典型例题 11
题型四：直线的两点式与截距式方程 12
知识清单 12
典型例题 13
方法总结： 16
题型五：直线的一般式方程 17
知识清单 17
典型例题 18
方法总结： 20
出门测 21
课后练习 23
第二讲 直线的方程
入门测
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．[0°，90°) B．[90°，180°)
C．(90°，180°) D．(0°，180°)
解析：选C直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．
2.经过点和的直线的斜率
等于1，则的值是
（A） （B） （C）或 （D）或
【答案】B
3.若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于
A．－1 B．－3
C．0 D．2
解析：由k＝＝tan ＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.
【答案】B
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.
【答案】
解析：由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，所以有·＝－1，解得m＝.
5．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，
当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
解析：当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；
当l1⊥l2时，
由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－.
题型一：直线的点斜式方程
知识清单
知识1：直线的点斜式方程
(1)定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.
关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点和斜率；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
典型例题
1.(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
解析：(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，
又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，
∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
2．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
解析：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．
(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.
(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.
∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.
3.从原点O向直线作垂线，垂足为点，则直线的方程为.
【答案】
4.求证：不论为何值时，直线总过第二象限．
证明　法一　直线l的方程可化为
y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2,3)，
由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．
∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
方法总结：
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为.
题型二：直线的斜截式方程
知识清单
知识1：直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【理解】
斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k≠0时，即为一次函数；当时，，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
典型例题
1.(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解析：(1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，
由斜截式可得所求的直线方程为y＝－x－3.
(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.
由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
2.根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
3．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
解析：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
题型三：两直线平行与垂直的应用
知识清单
知识1：判断两条直线的位置关系
直线，直线.
(1)若，则两直线相交．
(2)若，则两直线平行或重合，
当时，两直线平行；
当时，两直线重合．
(3)特别地，当时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．
典型例题
1.当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
解析：(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.
∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相垂直．
(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝－1，k4＝a2－2.
∵两条直线互相平行，
∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相平行．
2．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.
解析：(1)由题意可知kl1＝2a－1，kl2＝4.
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
(2)因为l1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1时两直线平行．
答案：(1)　(2)－1
3.在中，已知角，，所对的边依次为，且，则两条直线：与：的位置关系是
（A）．平行 （B）．重合
（C）．垂直 （D）．相交不垂直
【答案】B
题型四：直线的两点式与截距式方程
知识清单
知识1：直线的两点式方程
经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程．
知识2：直线的截距式方程
直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程．
知识3：中点坐标公式
若两点坐标分别为，，且线段的中点的坐标为，
则.
【理解】
1．要注意方程和方程形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为，项对应的分母是直线在轴上的截距，项对应的分母是直线在轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：，就不是直线的截距式方程.
典型例题
两点式
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，
所求的直线方程为x＝2.
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
2.已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.
解析：如图所示，过，的两点式方程为
整理得.
这就是边所在直线的方程.
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式可得的坐标为，
过和的直线方程易得：.
截距式
1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
解析：(1)当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，
所以直线方程为y＝x.
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过A(4,2)，
∴a＝6，∴方程为x＋y－6＝0，
综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.
2．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
解析：(1)同上
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，
∴＝1，即a＝2，∴x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
解析：(1)同上
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，
又直线过A(4,2)，所以＋＝1，解得a＝，
方程为x＋3y－10＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
4．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
解析：设直线l的方程为＋＝1，
由题意
∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，
∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.
因此或
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.
【总结】
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
3.直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
解析：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P(，2)，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
方法总结：
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2.用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与轴和轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
题型五：直线的一般式方程
知识清单
知识1：直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【理解】
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式：.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得；
②当时，方程两边同除以，得；
③化为截距式：.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
典型例题
1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点 ．
解析：选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
2.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解析：(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.
l2：mx＋3y－2＝0.
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，
需＝≠.解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：由直线l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)法一：设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
方法总结：
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
出门测
1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)
A．2,3 B．－3，－3
C．－3,2 D．2，－3
答案：D
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
解析：选A　∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＋3＝x－2.
3．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
解：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－.
∴所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.
4.三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
解析：由两点式，直线AB所在直线方程为：＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为：＝，即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为：＝，即3x－2y＋3＝0.
5.求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程．
解　法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二　显然直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3； 令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
课后练习
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0.
答案：x－y＋3＝0
3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
解析：由直线点斜式方程可得
y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
4．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，
由两点式方程，得＝.
整理，得8x＋3y＋15＝0.
∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.
又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点，
由截距式得＋＝1，
整理得5x－2y－10＝0，
∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.
5.在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.
答案：所求的点的坐标是，.
6.已知点,,,求的面积.
答案：5
7.三角形的三个顶点是,,.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在的方程;
(3)求边的垂直平分线的方程.
答案：(1);(2);(3)
8.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
解析：由题设l2的方程可化为y＝－x－m，
则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m.
∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.
∴l1的方程为y＝－x－.
由l1∥l2，得解得m＝－1.∴m的值为－1.
9.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
解析：当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，
满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1(1)．
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|(2)．
由(1)(2)联立方程组，解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.
10．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b，
则有S＝|a·b|＝1.
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝.
∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.目录
第二讲 直线的方程 2
入门测 2
题型一：直线的点斜式方程 4
知识清单 4
典型例题 5
方法总结： 7
题型二：直线的斜截式方程 8
知识清单 8
典型例题 9
题型三：两直线平行与垂直的应用 10
知识清单 10
典型例题 11
题型四：直线的两点式与截距式方程 12
知识清单 12
典型例题 13
方法总结： 16
题型五：直线的一般式方程 17
知识清单 17
典型例题 18
方法总结： 20
出门测 21
课后练习 23
第二讲 直线的方程
入门测
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．[0°，90°) B．[90°，180°)
C．(90°，180°) D．(0°，180°)
2.经过点和的直线的斜率
等于1，则的值是
（A） （B） （C）或 （D）或
3.若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于
A．－1 B．－3
C．0 D．2
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.
5．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，
当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
题型一：直线的点斜式方程
知识清单
知识1：直线的点斜式方程
(1)定义：直线过定点，斜率为，则把方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点，倾斜角是的直线没有点斜式，其方程为,或.
关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点和斜率；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程与方程不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(3)当取任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
典型例题
1.(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．
2．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
3.从原点O向直线作垂线，垂足为点，则直线的方程为.
4.求证：不论为何值时，直线总过第二象限．
方法总结：
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为.
题型二：直线的斜截式方程
知识清单
知识1：直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线的斜率为，且与轴的交点为，则方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【理解】
斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当k≠0时，即为一次函数；当时，，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
典型例题
1.(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
2.根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3.
3．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
题型三：两直线平行与垂直的应用
知识清单
知识1：判断两条直线的位置关系
直线，直线.
(1)若，则两直线相交．
(2)若，则两直线平行或重合，
当时，两直线平行；
当时，两直线重合．
(3)特别地，当时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．
典型例题
1.当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
2．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.
3.在中，已知角，，所对的边依次为，且，则两条直线：与：的位置关系是
（A）．平行 （B）．重合
（C）．垂直 （D）．相交不垂直
题型四：直线的两点式与截距式方程
知识清单
知识1：直线的两点式方程
经过两点，且的直线方程，叫做直线的两点式方程．
知识2：直线的截距式方程
直线与轴交点；与轴交点，其中，则得直线方程，叫做直线的截距式方程．
知识3：中点坐标公式
若两点坐标分别为，，且线段的中点的坐标为，
则.
【理解】
1．要注意方程和方程形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为，项对应的分母是直线在轴上的截距，项对应的分母是直线在轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：，就不是直线的截距式方程.
典型例题
两点式
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
2.已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.
截距式
1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
2．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
4．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
【总结】
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
3.直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
方法总结：
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2.用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与轴和轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
题型五：直线的一般式方程
知识清单
知识1：直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
(2)每个关于，的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于，的二元一次方程(其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【理解】
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求，的值；若，则方程化为，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式：.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得；
②当时，方程两边同除以，得；
③化为截距式：.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
典型例题
1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点 ．
2.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法总结：
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
出门测
1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)
A．2,3 B．－3，－3
C．－3,2 D．2，－3
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
3．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
4.三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
5.求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程．
课后练习
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
2．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
4．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
5.在轴上求一点,使以点,和为顶点的三角形的面积为10.
6.已知点,,,求的面积.
7.三角形的三个顶点是,,.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在的方程;
(3)求边的垂直平分线的方程.
8.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
9.求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
10．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．

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