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第二讲 导数运算与单调性、极值与最值
课前诊断
成绩： 完成情况： 优/中/差
1.求下列函数的导数：，，
【答案】： ；；
2.函数的导数是________．
【答案】
3.已知函数在处可导，则 .
【答案】2
4.若函数，则曲线在点处的切线的方程为________．
【答案】
5.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．
【答案】
【教学目标】
1.学会利用导数的定义求出五个基本函数的导数
2.掌握基本求导规则，函数四则运算求导规则，以及简单复合函数求导；
3.掌握利用导数讨论函数单调性；
4.学会结合图象理解导数与原函数关系.
【知识框架】
【典型例题】
考点一：常函数与幂函数的导数
【例1】常函数的导数.
设是常数.
即.
【例2】函数的导数.
设
【例3】函数的导数.
设
即
【例4】函数的导数.
设
即
【例5】函数的导数.
设.
即
【例6】函数的导数.
设
即.
注意以上几个函数在求导时候的定义域.
至此，我们就求出了常函数和5个常见幂函数的导数公式，那么你有没有发现什么规律？如果我们把这些函数的求导结果的性质改一下，就有：
由此我们推测，对任意幂函数，当时，都有
.
例如：
如果则.
如果则.
如果，则
事实上这些也都是可以证明的，而且是对任意实数都是成立的，但是高中阶段我们只研究有理数范围内的幂函数求导.
【例7】求曲线在点处的切线方程.
解：函数的导数为：
所以，在点处切线的斜率为
由点斜式方程可以得到
所以，在点处的切线方程为：.
【练习1】试说明和的几何意义.
【答案】说明常函数图象上每一点的斜率都等于0；说明函数图象上每个点的斜率都为1
【练习2】求下列幂函数的导函数.
（1） （2）
（3） （4）
【答案】
【练习3】下列结论不正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D. 若，则
【答案】B
【练习4】求函数，在处的导数.
【答案】
【练习5】求三次曲线在点的切线方程.
【答案】
【练习6】已知，求证：.
【答案】证明：
【练习7】设曲线在点的切线与直线，所围成的三角形面积为，求.
【答案】
考点二：导数公式表
基本初等函数的导数公式表
，为正整数
，为有理数
注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数
注意.
【例1】求余弦函数在时的导数值.
解：设，带入导数公式可得：
所以函数在的导数值为
即余弦函数在时的导数值为-1.
【例2】求曲线在点处的切线方程.
解：设，
所以函数在点处的斜率.
根据直线的点斜式方程可得：
即曲线在点处的切线方程为：
【例3】求曲线在点处的切线方程.
解：设函数，
所以函数在点处的切线斜率.
根据直线的点斜式方程可得：.
即曲线在点处的切线方程为：
【例4】求过点与曲线相切的切线方程.
解：设函数，且切线为.带入导数公式可得：
所以函数在点处的斜率.
因为点在曲线上，所以
又因为曲线的切线方程过点，
所以可得：即
所以切线方程的斜率
根据直线的点斜式方程可得：.
过点与曲线相切的切线方程为
思考：请你在坐标系中做出【例2】~【例4】的图象，观察这些曲线和对应的切线之间有什么关系？
【练习1】求下列函数在给定点的导数：
【答案】
【练习2】求正弦曲线在点处的切线方程
【答案】切线方程为
【练习3】求曲线在点处的切线方程.
【答案】切线方程为
【练习4】过点与相切的切线方程.
【答案】切线为，切线方程为
考点三：导数的四则运算法则
⑴函数和（或差）的求导法则：
设，是可导的，则，
即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．
证明：设，则
即，同理可证明：.
这个法则可推广到任意有限个函数，即
根据这个函数的导数的定义，同意可以证明两个函数之积与商的求导法则.
⑵函数积的求导法则：
设，是可导的，则，
证明：设，则
即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．
由上述两法则，
即可以得出，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．
⑶函数的商的求导法则：
设，是可导的，，则．
特别是当时，有．
函数的商的导数法则，大家可根据函数积的求导法则自行证明.
（4）复合函数的求导法则
一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数.那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数，表示对求导）
多重复合时，我们可以同理所有参与复合的函数求导再相乘.
【例1】 求多项式函数的导数.
解：
【例2】求的导数.
解：
【例3】求的导数.
解：
【例4】求的导数.
解：
【例5】利用复合函数求导的方式求的导数.
解：把函数
看成两个函数 的复合形式，根据复合函数的导数法则
【例6】求的导数.
解：把函数
看成两个函数 的复合形式，根据复合函数的导数法则
【例7】求的导数
把函数
看成两个函数 的复合形式，根据复合函数的导数法则
【例8】求的导数.
解：把函数
看成三个函数 的复合形式，根据复合函数的导数法则
通过以上几个例题，试总结利用四则运算求函数导数和复合函数求导的一般步骤：
【例9】求的导数．
解：由可得，两边同时求导可得：
【练习1】求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
（7）； （8）； （9）.
【答案】
【练习2】求的导数，并在函数曲线上求出点，使得曲线在这些点处的切线与轴平行.
【答案】
，与轴平行的点为和点
【练习3】求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7）（8） （9）
【答案】
【练习4】设是图象的一条切线，证明与坐标轴所围成的三角形的面积与切线点无关.
证明：设
设图象上任意一点，在该点的切线斜率为
则：由于过点
所以由直线的点斜式方程可得：同时
所以在该点的切线方程为：
与坐标轴的交点易得：
所以所围成的三角形面积为，故形成的面积与切点无关.
考点四：利用导数讨论单调性
竖直上抛一个小沙袋，沙袋高度是时间的函数.设
其图象如右图所示，横轴表示时间，纵轴表示沙袋的高度，设沙袋的最高点为，其横坐标为.我们先考虑沙袋在区间的运动情况：
在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于即，在区间.
我们说在此区间内，函数是增函数.
再考虑沙袋在区间的运动情况：
在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向下的瞬时速度小于即，在区间.
我们说在此区间内，函数是减函数.
从以上实例能够看出，可以通过函数的导数来判断函数的单调性，我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则.
【定理】 设函数在上连续，在内可导.
（1）如果在内，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内，那么函数在上单调减少.
【思考1】如果在内都有，那么我们可以得到什么呢？
【思考2】如果在内都有，那么我们可以得到什么呢？
【补充】 求可导函数单调区间的一般步骤和方法
确定函数的的定义域；
求，通分、化简、因式分解，判断中符号变化项的单调性.
令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.
我们可以大概把函数的单调题型归类为：一次型、二次型、多次型.一次型为导函数最多有一个解，二次型为导函数最多有2个解，以此类推.
【一次型】导函数图象均可以简单的画成直线.
【例1】确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：
令.
解此不等式，得
因此，已知函数在区间内是增函数.
令.
解此不等式，得
因此，已知函数在区间内是减函数.
【例2】求函数的单调区间.
解：
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
【例3】求函数的单调区间.
解：
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
【二次型】导函数图象均可以简单的画出二次函数的形式.
【例4】找出函数的单调区间.（单调区间包括单调增和单调减区间）.
解：
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
【例5】求函数的单调区间.
解：
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
【例6】求函数
解：
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
【练1】如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】A
【练习2】试确定函数的单调区间.
【答案】单调递减区间为： ；单调递增区间为：
【练习3】试确定函数的单调区间.
【答案】单调递减区间是，无单增区间.
【练习4】求为增函数的区间.
【答案】.
【练5】函数的递减区间是
【答案】
【练习6】求函数在区间的单调性.
【答案】函数在上单调递增，在上单调递减.
【练习7】求函数的单调性.
【答案】函数在 上单调递增，在上单调递减.
【练习8】求证：当时，.
证明：由题意可得，当时，
令即证明在时，
所以，当时恒成立，所以.
综上所述，即证.
小试牛刀
求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）；
（5）； （6）；
【答案】（1）；（2）；（3）
(4) ;() (5)
(6) ()
2.若函数满足,则 .
【答案】
3.三次函数在内是减函数，则
A. B. C. D.
【答案】D
4.已知在上是单调增函数，则的最大值是_____.
【答案】3
巩固练习
1.求下列函数的导数
（1） （2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
2.求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）
（4）（5）
3.求下列函数的单调性
（1） （2）
（3）
【答案】（1）递增，递减 （2）递减，递增
（3）递增，递减，递增.
4.已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．
【答案】-5
5.下列函数中,在上为增函数的是
A. B.
C. D.
【答案】B
6.函数在上
A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值
【答案】A
7.函数的导数为
A. B. C. D.
【答案】C
8.函数的递减区间是
A. C.，
B. D. ，
【答案】A
9.若，，则
A． B．
C． D．
【答案】　A
10.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
11.已知对任意实数有，，且时，，，则时
A. ， C. ，
C. ， D. ，
【答案】B
12.设，则________．
【答案】
13.求下列函数的导数：．
【答案】
14..求的导数.
【答案】
15.求函数的导数.
【答案】
16已知函数．
（Ⅰ）写出函数的定义域，并求其单调区间；
（Ⅱ）已知曲线在点处的切线是，求的值．
【答案】定义域为：；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．切线的斜率
17已知函数 ,若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
【答案】（1）递增，递第二讲 导数运算与单调性、极值与最值
课前诊断
成绩： 完成情况： 优/中/差
1.求下列函数的导数：，，
2.函数的导数是________．
3.已知函数在处可导，则 .
4.若函数，则曲线在点处的切线的方程为________．
5.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．
【教学目标】
1.学会利用导数的定义求出五个基本函数的导数
2.掌握基本求导规则，函数四则运算求导规则，以及简单复合函数求导；
3.掌握利用导数讨论函数单调性；
4.学会结合图象理解导数与原函数关系.
【知识框架】
【典型例题】
考点一：常函数与幂函数的导数
【例1】常函数的导数.
设是常数.
即.
【例2】函数的导数.
设
【例3】函数的导数.
设
即
【例4】函数的导数.
设
即
【例5】函数的导数.
设.
即
【例6】函数的导数.
设
即.
注意以上几个函数在求导时候的定义域.
至此，我们就求出了常函数和5个常见幂函数的导数公式，那么你有没有发现什么规律？如果我们把这些函数的求导结果的性质改一下，就有：
由此我们推测，对任意幂函数，当时，都有
.
例如：
如果则.
如果则.
如果，则
事实上这些也都是可以证明的，而且是对任意实数都是成立的，但是高中阶段我们只研究有理数范围内的幂函数求导.
【例7】求曲线在点处的切线方程.
解：函数的导数为：
所以，在点处切线的斜率为
由点斜式方程可以得到
所以，在点处的切线方程为：.
【练习1】试说明和的几何意义.
【练习2】求下列幂函数的导函数.
（1） （2）
（3） （4）
【练习3】下列结论不正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D. 若，则
【练习4】求函数，在处的导数.
【练习5】求三次曲线在点的切线方程.
【练习6】已知，求证：.
【练习7】设曲线在点的切线与直线，所围成的三角形面积为，求.
考点二：导数公式表
基本初等函数的导数公式表
，为正整数
，为有理数
注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数
注意.
【例1】求余弦函数在时的导数值.
【例2】求曲线在点处的切线方程.
【例3】求曲线在点处的切线方程.
【例4】求过点与曲线相切的切线方程.
思考：请你在坐标系中做出【例2】~【例4】的图象，观察这些曲线和对应的切线之间有什么关系？
【练习1】求下列函数在给定点的导数：
【练习2】求正弦曲线在点处的切线方程
【练习3】求曲线在点处的切线方程.
【练习4】过点与相切的切线方程.
考点三：导数的四则运算法则
⑴函数和（或差）的求导法则：
设，是可导的，则，
即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．
证明：设，则
即，同理可证明：.
这个法则可推广到任意有限个函数，即
根据这个函数的导数的定义，同意可以证明两个函数之积与商的求导法则.
⑵函数积的求导法则：
设，是可导的，则，
证明：设，则
即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．
由上述两法则，
即可以得出，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．
⑶函数的商的求导法则：
设，是可导的，，则．
特别是当时，有．
函数的商的导数法则，大家可根据函数积的求导法则自行证明.
（4）复合函数的求导法则
一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数.那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数，表示对求导）
多重复合时，我们可以同理所有参与复合的函数求导再相乘.
【例1】 求多项式函数的导数.
【例2】求的导数.
【例3】求的导数.
【例4】求的导数.
【例5】利用复合函数求导的方式求的导数.
【例6】求的导数.
【例7】求的导数
把函数
看成两个函数 的复合形式，根据复合函数的导数法则
【例8】求的导数.
通过以上几个例题，试总结利用四则运算求函数导数和复合函数求导的一般步骤：
【例9】求的导数．
【练习1】求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
（7）； （8）； （9）.
【练习2】求的导数，并在函数曲线上求出点，使得曲线在这些点处的切线与轴平行.
【答案】
【练习3】求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7）（8） （9）
【练习4】设是图象的一条切线，证明与坐标轴所围成的三角形的面积与切线点无关.
考点四：利用导数讨论单调性
竖直上抛一个小沙袋，沙袋高度是时间的函数.设
其图象如右图所示，横轴表示时间，纵轴表示沙袋的高度，设沙袋的最高点为，其横坐标为.我们先考虑沙袋在区间的运动情况：
在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于即，在区间.
我们说在此区间内，函数是增函数.
再考虑沙袋在区间的运动情况：
在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向下的瞬时速度小于即，在区间.
我们说在此区间内，函数是减函数.
从以上实例能够看出，可以通过函数的导数来判断函数的单调性，我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则.
【定理】 设函数在上连续，在内可导.
（1）如果在内，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内，那么函数在上单调减少.
【思考1】如果在内都有，那么我们可以得到什么呢？
【思考2】如果在内都有，那么我们可以得到什么呢？
【补充】 求可导函数单调区间的一般步骤和方法
确定函数的的定义域；
求，通分、化简、因式分解，判断中符号变化项的单调性.
令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.
我们可以大概把函数的单调题型归类为：一次型、二次型、多次型.一次型为导函数最多有一个解，二次型为导函数最多有2个解，以此类推.
【一次型】导函数图象均可以简单的画成直线.
【例1】确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
【例2】求函数的单调区间.
【例3】求函数的单调区间.
【二次型】导函数图象均可以简单的画出二次函数的形式.
【例4】找出函数的单调区间.（单调区间包括单调增和单调减区间）.
【例5】求函数的单调区间.
【例6】求函数
【练1】如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是
A. B. C. D.
【练习2】试确定函数的单调区间.
【练习3】试确定函数的单调区间.
【练习4】求为增函数的区间.
【练5】函数的递减区间是
【练习6】求函数在区间的单调性.
【练习7】求函数的单调性.
【练习8】求证：当时，.
小试牛刀
求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）；
（5）； （6）；
2.若函数满足,则 .
3.三次函数在内是减函数，则
A. B. C. D.
4.已知在上是单调增函数，则的最大值是_____.
巩固练习
1.求下列函数的导数
（1） （2）
（3）
2.求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（
3.求下列函数的单调性
（1） （2）
（3）
4.已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．
5.下列函数中,在上为增函数的是
A. B.
C. D.
6.函数在上
A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值
7.函数的导数为
A. B. C. D.
8.函数的递减区间是
A. C.，
B. D. ，
9.若，，则
A． B．
C． D．
　A
10.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知对任意实数有，，且时，，，则时
A. ， C. ，
C. ， D. ，
12.设，则________．
13.求下列函数的导数：．
14..求的导数.
15.求函数的导数.
16已知函数．
（Ⅰ）写出函数的定义域，并求其单调区间；
（Ⅱ）已知曲线在点处的切线是，求的值．
17已知函数 ,若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；

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