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第二讲 离散型随机变量及其分布
入门测
1．如果是一个离散型随机变量且，其中是常数且，那么（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型一：离散性随机变量的定义及其分布列
知识清单
知识1：离散型随机变量
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母、、、 、…表示．
温馨提示: 1．对随机变量的认识
(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
(3)注意随机变量与函数的联系和区别.
随机变量 函数
相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
（核心：随机试验的结果通过随机变量对应成实数）
温馨提示: 离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以判断其出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出．
知识2：离散型随机变量的分布列
1．分布列的定义
若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率．则表格
… …
… …
称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了表达简单，也可以用等式，表示的分布列．离散型随机变量分布列的性质：
温馨提示: (1)离散型随机变量的分布列不仅能反应所有随机变量的可能取值，还能看到其概率大小;
(2)离散型随机变量的分布列有三种表示形式：解析式、表格和图像，不过多用格表示.
2．分布列的性质
(1)….
(2)
温馨提示: (1)由于随机变量取各个可能值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
(2)分布列的性质可以用来检查所写分布列是否正确，以及求分布列中某些参数.
知识3：两点分布
称分布列
0 1
为两点分布列．若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称为成功概率．
温馨提示: (1)两点分布的试验结果只有两个可能值，且概率之和为1
(2)两点分布又称0-1分布、伯努利分布.
典型例题
1.判断随机变量
1．如果是一个离散型随机变量且，其中是常数且，那么（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
3.写出下列随机变量的可能值，并说明随机变量的取值表示的事件．
(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数是一个随机变量．
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数是一个随机变量．
4．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是________．
5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件．
6.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P(7.若离散型随机变量X的分布列为
0 1
求常数及相应的分布列．
8.某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．
9.若随机变量只能取两个值，并且取的概率是它取的概率的3倍，则_______.
两点分布
10.设某项试验的成功率是失败率的倍,用随机变量去描述次试验的成功次数,则=( )
A．0 B． C． D．
11.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记求随机变量X的分布列.
12.袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记＝求的分布列．
分布列
13.设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5
则为（ ）
A． B． C． D．
14.★★随机变量的分布列为：，，则等于（ ）
A． B． C． D．
15.★★随机变量X的概率分布规律为(=1,2,3,4),其中是常数,则的值为( )
A． B． C． D．
16★设随机变量等可能取值，如果，那么_______．
离散型随机变量的分布列
17放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
18某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数的分布列.
方法总结
1.注意两点分布的几个特点：
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由对立事件的概率公式可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2.解决随机变量问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果．
3.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
4.求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列．
题型二：离散性随机变量的期望和方差
知识清单
知识1： 离散型随机变量的期望
均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量的概率分布为
则称 为的均值或数学期望，简称期望．
(1)数学期望的特征:是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
即在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有 ，，所以的数学期望又称为平均数、均值
温馨提示: (1)求离散型随机变量期望时需要注意：1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.2.是一个实数，由的分布列唯一确定，描述的是取值的一种平均状态3.均值与随机变量有相同单位
(2)均值是我们初中学均数定义的推广.
知识2：数学期望的性质:
若(a、b是常数),是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为
于是
＝
由此，我们得到了期望的一个性质:
此外：（为常数）
如果相互独立，则
知识3：数学方差的定义:
①随机变量的方差:对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，且取这些值的概率分别是 那么,
称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
②标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作
③意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小
温馨提示: 1．离散型随机变量的方差的意义
随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．
2．随机变量的方差和样本方差之间的关系
(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；
(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
知识4：数学方差的性质:
（1） ；（2）；
典型例题
离散型随机变量的均值
[例1]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
变式：若将上题中中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．
方法总结：求离散型随机变量的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求出E(X)．
均值性质
1.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
2.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于( )
A. B. C．3 D.
3.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P －p p
则E(ξ)的最大值为 ( )．
A．1 B. C. D．2
4．杨老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3
P ？ ！ ？
请小明同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小明给出了正确答案E(ξ)＝________.
5.一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________．
6.已知随机变量X的分布列，求：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)；(2)若，求．
方法总结：对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．比较两种方式，显然后者较方便．
均值实际应用
已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望．
方差的计算
1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．1－p和p(1－p)
2．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )
A. B. C. D.
3.设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值 的概率也均为0.2.若记、分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
4.已知随机变量X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
(1)求的方差及标准差；
(2)设，求.
方法总结：求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
实际应用的均值方差综合
1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
2.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．
3.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
4.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
方法总结：(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．
(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．
出门测
1.某射手射击所得的环数的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
如果命中环为优秀，那么他射击一次为优秀的概率是多少？
2. 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X+1的分布列；
（2）的分布列.
3. 从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
4. 有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙：
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
试分析两名学生的成绩水平．
课后作业
1. 某同学求得一离散型随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确.
2.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则
A. B. C. D.
3.设离散型随机变量X的概率分布列为
X －1 0 1 2 3
P m
则P(X≤2)＝________.
4.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为
X 0 1
P
5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列．
6.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．7.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是（ ）
A． B． C． D．
8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．
A. B. C. D.
9.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 3-8c
则常数c=__________，P（X=1）=__________.
10.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
且Y＝2X＋3，则E(Y)等于( )
A. B.
C. D.
11.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题答案选择正确得4分，不作选择或选错不得分，满分100分．某同学选对任一题的概率为0.6，则此同学在这次测验中得分的均值为________．
12.已知随机变量X的分布列如下表所示：
X -1 0 1
P a
（1）求的分布列；
（2）计算X的方差.
13.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，试求的值.
14.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，，，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)在概率 中，若的值最大，求实数的取值范围．第二讲 离散型随机变量及其分布
入门测
1．如果是一个离散型随机变量且，其中是常数且，那么（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型一：离散性随机变量的定义及其分布列
知识清单
知识1：离散型随机变量
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母、、、 、…表示．
温馨提示: 1．对随机变量的认识
(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
(3)注意随机变量与函数的联系和区别.
随机变量 函数
相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
（核心：随机试验的结果通过随机变量对应成实数）
温馨提示: 离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以判断其出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出．
知识2：离散型随机变量的分布列
1．分布列的定义
若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率．则表格
… …
… …
称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了表达简单，也可以用等式，表示的分布列．离散型随机变量分布列的性质：
温馨提示: (1)离散型随机变量的分布列不仅能反应所有随机变量的可能取值，还能看到其概率大小;
(2)离散型随机变量的分布列有三种表示形式：解析式、表格和图像，不过多用格表示.
2．分布列的性质
(1)….
(2)
温馨提示: (1)由于随机变量取各个可能值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
(2)分布列的性质可以用来检查所写分布列是否正确，以及求分布列中某些参数.
知识3：两点分布
称分布列
0 1
为两点分布列．若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称为成功概率．
温馨提示: (1)两点分布的试验结果只有两个可能值，且概率之和为1
(2)两点分布又称0-1分布、伯努利分布.
典型例题
1.判断随机变量
1．如果是一个离散型随机变量且，其中是常数且，那么（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
3.写出下列随机变量的可能值，并说明随机变量的取值表示的事件．
(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数是一个随机变量．
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数是一个随机变量．
4．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是________．
5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件．
6.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P(7.若离散型随机变量X的分布列为
0 1
求常数及相应的分布列．
8.某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．
9.若随机变量只能取两个值，并且取的概率是它取的概率的3倍，则_______.
两点分布
10.设某项试验的成功率是失败率的倍,用随机变量去描述次试验的成功次数,则=( )
A．0 B． C． D．
11.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记求随机变量X的分布列.
12.袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记＝求的分布列．
1 2 3 4 5
分布列
13.设随机变量的分布列如下：
则为（ ）
A． B． C． D．
14.★★随机变量的分布列为：，，则等于（ ）
A． B． C． D．
15.★★随机变量X的概率分布规律为(=1,2,3,4),其中是常数,则的值为( )
A． B． C． D．
16★设随机变量等可能取值，如果，那么_______．
离散型随机变量的分布列
17放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
18某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数的分布列.
方法总结
1.注意两点分布的几个特点：
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由对立事件的概率公式可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2.解决随机变量问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果．
3.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
4.求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列．
题型二：离散性随机变量的期望和方差
知识清单
知识1： 离散型随机变量的期望
均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量的概率分布为
则称 为的均值或数学期望，简称期望．
(1)数学期望的特征:是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
即在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有 ，，所以的数学期望又称为平均数、均值
温馨提示: (1)求离散型随机变量期望时需要注意：1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.2.是一个实数，由的分布列唯一确定，描述的是取值的一种平均状态3.均值与随机变量有相同单位
(2)均值是我们初中学均数定义的推广.
知识2：数学期望的性质:
若(a、b是常数),是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为
于是
＝
由此，我们得到了期望的一个性质:
此外：（为常数）
如果相互独立，则
知识3：数学方差的定义:
①随机变量的方差:对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，且取这些值的概率分别是 那么,
称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
②标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作
③意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小
温馨提示: 1．离散型随机变量的方差的意义
随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．
2．随机变量的方差和样本方差之间的关系
(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；
(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
知识4：数学方差的性质:
（1） ；（2）；
典型例题
离散型随机变量的均值
[例1]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
变式：若将上题中中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．
方法总结：求离散型随机变量的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求出E(X)．
均值性质
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
1.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
2.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于( )
A. B. C．3 D.
ξ 0 1 2
P －p p
3.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
则E(ξ)的最大值为 ( )．
A．1 B. C. D．2
4．杨老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3
P ？ ！ ？
请小明同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小明给出了正确答案E(ξ)＝________.
5.一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________．
6.已知随机变量X的分布列，求：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)；(2)若，求．
方法总结：对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．比较两种方式，显然后者较方便．
均值实际应用
1、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望．
方差的计算
1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．1－p和p(1－p)
2．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )
A. B. C. D.
3.设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值 的概率也均为0.2.若记、分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
4.已知随机变量X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
(1)求的方差及标准差；
(2)设，求.
方法总结：求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
实际应用的均值方差综合
1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
2.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．
3.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
4.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
方法总结：(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．
(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．
出门测
1.某射手射击所得的环数的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
如果命中环为优秀，那么他射击一次为优秀的概率是多少？
2. 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X+1的分布列；
（2）的分布列.
3. 从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
4. 有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙：
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
试分析两名学生的成绩水平．
课后作业
1. 某同学求得一离散型随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确.
X 0 1
P
2.若离散型随机变量X的分布列为
则
A. B. C. D.
3.设离散型随机变量X的概率分布列为
X －1 0 1 2 3
P m
则P(X≤2)＝________.
4.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为
X 0 1
P
5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列．
6.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
7.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是（ ）
A． B． C． D．
8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．
A. B. C. D.
9.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 3-8c
则常数c=__________，P（X=1）=__________.
10.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
且Y＝2X＋3，则E(Y)等于( )
A. B.
C. D.
11.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题答案选择正确得4分，不作选择或选错不得分，满分100分．某同学选对任一题的概率为0.6，则此同学在这次测验中得分的均值为________．
12.已知随机变量X的分布列如下表所示：
X -1 0 1
P a
（1）求的分布列；
（2）计算X的方差.
13.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，试求的值.
14.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，，，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)在概率 中，若的值最大，求实数的取值范围．

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