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第7讲 函数单调性
一．知识精讲
知识点一：增、减函数的定义
（1）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是 增函数 （单调递增）.区间叫做函数的 单调递增 区间；
（2）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有 ，那么就说在这个区间上是 减函数（单调递减）.区间叫做函数的 单调递减 区间．
注意：①区间的某个子区间，亦称为这个函数的一个单调区间；
②,必须在同一区间；
③注意变量与函数值之间的大小比较；
④借助图像可直观体现一个函数的单调性及单调区间．
知识点二：如何用定义证明函数的单调性（五步）
取值→作差→变形→定号→判断
重点在于作差变形（常见方法：因式分解、有理化、配方等；目的是向有利于判断差值符号的方向变形．）
知识点三：单调性的运算性质
（1）若为增函数，则：
①为 减 函数； ②为 减 函数；
③为 减 函数； ④分情况讨论．
（2）若为增函数，为增函数，则为 　增 函数；
若为减函数，为减函数，则为 　减　　 函数；
若为增函数，为减函数，则为 　增　　 函数；
若为减函数，为增函数，则为 　　减　 函数；
若为增函数，为增函数，，则为 增 函数．
二．经典例题
题型一：判断基本初等函数的单调性
【例1】分析一次函数、二次函数、反比例函数的单调性．
（1）； （2）； （3）．
【解析】略
【变式1】画出下列函数的图象，并指出函数的单调区间．
（1）； （2）．
【解析】由图像
①增区间： 减区间：
②增区间： 减区间：
【变式2】判断下列函数单调性，并求单调区间．
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）,增区间：,；
（2）增区间：；减区间：；
（3）增区间：；减区间：.
题型二：判断（证明）具体函数的单调性
【例2】（1）根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数．
【证明】设
所以函数在上为减函数．
（2）证明函数在上是增函数．
【解析】证明：任取，且，则
因为，，得
所以函数在上是增函数．
（3）讨论函数在上的单调性并证明．
【解析】（1）设且，则
，，，；
为减函数．
【拓展】（1）已知函数，判断函数的单调性并利用定义证明．
【答案】任取
，所以函数在上是增函数.
（2）讨论函数在区间上的单调性并利用函数单调性的定义进行证明．
【解析】
是R上的增函数
（3）若函数为，讨论其单调性．
【解析】设且，则
，
，
当时，，为减函数．
当时，，非单调；
当时，，为增函数．
【例3】已知函数，如果常数，证明：该函数在上是减函数，在上是增函数．
【证明】设且，则
当时，，所以，该函数在上是减函数．
当时，，所以，该函数在上是增函数．
题型三：抽象函数单调性证明
【例4】已知函数对任意的 满足，当时，，求证：是上的增函数．
【证明】设，由时，即可得
由可得
设 ，，则，所以
所以 ，即是上的增函数.
【变式1】已知函数的定义域为，，当时，．且，证明：在定义域上是增函数．
【证明】设，
由，可得，
，
由于时，,
故，即.
在定义域上是增函数．
题型四：函数的应用-----求最值，解抽象不等式
【例5】已知函数对于任意，总有，且当时，，．
（1）求证：在上是减函数；
（2）求在上的最大值和最小值．
【解析】(1)证明 设，则
又时，. 而，∴，
即，∴在上为减函数．
(2)∵在上是减函数，
∴在上也是减函数，
∴在上的最大值和最小值分别为与．
又．
∴在上的最大值为2，最小值为-2.
【变式1】已知函数的定义域为，对于任意都有，且当时，，．
（1）试证明：函数是上的单调减函数；
（2）试求函数在（且）上的值域．
【解析】（1）证明：任取且，
由可得
因为，所以
所以
故函数是上的单调减函数.
（2）由于函数是上的单调减函数，所以是上也为单调减函数，所以在的最大值为，最小值为.
因为
同理
因为，即，所以，
所以函数在 （且 ）上的值域为
【例6】定义在上的函数满足下面三个条件：
①对任意正数，都有；②当时，；③．
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）求满足的的取值范围．
【答案】（1），；（2）略；（3）．
【解析】（1）∵对任意正数，都有，
∴令得，∴， 2分
∵，∴，
． 4分
（2）任取，，且， 5分
则，∵当时，，∴； 6分
∴ 7分
∴函数在上是减函数． 8分
（3）∵，∴，解得， 9分
∴，即，
亦即， 10分
∴，解得， 11分
∴的解集为． 12分
【变式】已知函数是定义在上的函数，且对于任意的实数有，当时，．
（1）求证：在上是增函数；
（2）若，对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由函数是定义在上的函数，
可设任意的，则，从而.
，，
因此在上是增函数.
（2）由及得，
，
，
，
由于在上是增函数，所以有即
对于对一切的恒成立，即，解得：.
对，化简得，即，解得：.
综上：.
题型五：利用函数单调性求参数的值（范围）
【例7】已知函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】
【变式】已知函数为上的减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为是上的减函数，所以，同时还要满足当时，，
解得．
课后作业
一．基础过关
1．设是增函数，则下列结论一定正确的是 (填序号)．
①是增函数； ②是减函数；
③是减函数； ④是增函数．
【答案】③
2．设都是函数的单调递增区间，且，，，则与的大小关系是 ( 　)
A． B．
C． D．不能确定
【答案】D　
【解析】在本题中，不在同一单调区间内，故无法比较与的大小．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则不防设，则，，所以函数为奇函数，又易知当时，函数为增函数，则由奇函数的单调性可知函数为增函数，所以等价于，解得，故选C．
4．已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围为 ．
【解析】：
5．已知函数，证明：函数在上为减函数．
【解析】任取，且，
，
函数在上为减函数．
二．延伸拓展
6．设函数对任意恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，得.
①当时，，在上无最大值舍去.
②当时，，在上有最小值，故.
解得故.
7． 已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）解不等式:．
【解析】解:⑴令,得 ,
再令,得 ,
即,从而 . 2分
⑵任取
4分
.
,即.
在上是减函数. 6分
⑶由条件知,,
设,则,即,
整理,得 , 8分
而,不等式即为,
又因为在上是减函数,,即, 10分
,从而所求不等式的解集为或. 12分第7讲 函数单调性
一．知识精讲
知识点一：增、减函数的定义
（1）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有 ，那么就说在这个区间上是 （单调递增）.区间叫做函数的 区间；
（2）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有 ，那么就说在这个区间上是 （单调递减）.区间叫做函数的 区间．
注意：①区间的某个子区间，亦称为这个函数的一个单调区间；
②,必须在同一区间；
③注意变量与函数值之间的大小比较；
④借助图像可直观体现一个函数的单调性及单调区间．
知识点二：如何用定义证明函数的单调性（五步）
取值→作差→变形→定号→判断
重点在于作差变形（常见方法：因式分解、有理化、配方等；目的是向有利于判断差值符号的方向变形．）
知识点三：单调性的运算性质
（1）若为增函数，则：
①为 函数； ②为 函数；
③为 函数； ④分情况讨论．
（2）若为增函数，为增函数，则为 　 函数；
若为减函数，为减函数，则为 　 　　 函数；
若为增函数，为减函数，则为 　 　　 函数；
若为减函数，为增函数，则为 　　 　 函数；
若为增函数，为增函数，，则为 函数．
二．经典例题
题型一：判断基本初等函数的单调性
【例1】分析一次函数、二次函数、反比例函数的单调性．
； （2）； （3）．
【变式1】画出下列函数的图象，并指出函数的单调区间．
（1）； （2）．
【变式2】判断下列函数单调性，并求单调区间．
（1）； （2）； （3）．
题型二：判断（证明）具体函数的单调性
【例2】（1）根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数．
（2）证明函数在上是增函数．
（3）讨论函数在上的单调性并证明．
【拓展】（1）已知函数，判断函数的单调性并利用定义证明．
（2）讨论函数在区间上的单调性并利用函数单调性的定义进行证明．
（3）若函数为，讨论其单调性．
【例3】已知函数，如果常数，证明：该函数在上是减函数，在上是增函数．
题型三：抽象函数单调性证明
【例4】已知函数对任意的 满足，当时，，求证：是上的增函数．
【变式1】已知函数的定义域为，，当时，．且，证明：在定义域上是增函数．
题型四：函数的应用-----求最值，解抽象不等式
【例5】已知函数对于任意，总有，且当时，，．
（1）求证：在上是减函数；
（2）求在上的最大值和最小值．
【变式1】已知函数的定义域为，对于任意都有，且当时，，．
（1）试证明：函数是上的单调减函数；
（2）试求函数在（且）上的值域．
【例6】定义在上的函数满足下面三个条件：
①对任意正数，都有；②当时，；③．
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）求满足的的取值范围．
【变式】已知函数是定义在上的函数，且对于任意的实数有，当时，．
（1）求证：在上是增函数；
（2）若，对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型五：利用函数单调性求参数的值（范围）
【例7】已知函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【变式】已知函数为上的减函数，则实数的取值范围为 ．
课后作业
一．基础过关
1．设是增函数，则下列结论一定正确的是 (填序号)．
①是增函数； ②是减函数；
③是减函数； ④是增函数．
2．设都是函数的单调递增区间，且，，，则与的大小关系是 ( 　)
A． B．
C． D．不能确定
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围为 ．
5．已知函数，证明：函数在上为减函数．
二．延伸拓展
6．设函数对任意恒成立，则实数的取值范围为 ．
7． 已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）解不等式:．

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