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第二讲 等比数列
【课前诊断】
1.已知是等比数列，,,则公比为（ ）
A. B.-2 C.2 D.
2．在等比数列{}中，若—8，则等于
（A）— （B）— （C） （D）
3.等比数列中,,,的前项和为
（A） （B） （C） （D）
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________．
【教学目标】
充分理解等比数列的概念和特征；
掌握等比数列通项公式，等比中项及前项和的求解方法；
能灵活运用等比数列的通项公式及前项和公式求解一般数列问题。
【知识框架】
【知识要点】
1 等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个;
③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件;
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；
2.等比数列的通项公式
首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
3.等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中.
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项.
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一.
③当时，、、成等比数列.
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
4.等比数列的判定
(1)定义法：
(2)等比中项法：
5.等比数列的性质
（1）若，且,则，
特别地，当时.
（2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，
公比为.
（3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
（4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为.
（5）等比数列单调性问题：
当且时，等比数列是递增数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递增数列。
当时，等比数列是摆动数列。
6.等比数列的前项和公式
【考点分类】
考点一：等比数列通项公式的应用
【例1】在等比数列中，若，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【例2】等比数列中，, ,求.
【例3】已知数列满足，则等于
A． B． C． D．
【例4】若数列满足，则
（A）数列不是等比数列 （B）数列是公比为的等比数列
（C）数列是公比为2的等比数列 （D）数列是公比为的等比数列
【练1】已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【练2】若数列满足：，，则______ .
【练3】已知等比数列的公比为，若，则
【练4】已知等比数列中,,那么的值为 ．
【练5】在等比数列中，，且，则的值为___.
考点二：等比中项问题
【例1】等比数列中，，，则与的等比中项是(　　)
A．±4 B．4 C．± D．
【例2】已知数列是公比为的等比数列，，则的值为
或 或
【例3】若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．
【练1】如果成等比数列，那么
A． B．
C． D．
【练2】设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【练3】在等比数列中，，公比.若，则( )
A．9 B．10 C．11 D．12
　
考点三：等比数列性质问题
【例1】已知等比数列中，则公比（ ）
【例2】等比数列中，若,求.
【例3】已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
【例4】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.
【例5】已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( )
A.是等比数列 B．对于，，
C．对于，都有 D．若，则对于任意，都有
【练1】已知等比数列中，，，则等于（ ）
【练2】等比数列的各项均为正数,且,则
【练3】若等比数列满足，则公比为
【练4】在等比数列中,,则
（A） （B） （C）或 （D）以上答案都不对
【练5】设等比数列 的前 项和为 ，若，则 等于(　　)
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
考点四：利用定义证明等比数列
【例1】已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
【练习1】已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
考点五：等比数列前项和
【例1】等比数列的前项和为,已知,,则
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知等比数列{}中，且，那么的值是( )
A. 15 B. 31 C. 63 D. 64
【例3】设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对,有,则的取值范围是（ ）
【练1】已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（ ）
【练2】已知数列满足,且数列的前项和,则数列的前5项和等于
（A） （B） （C） （D）
【练3】若等比数列满足，，则公比 ；前项和 .
【小试牛刀】
1.在等比数列中，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.已知等比数列，若，，求.
3．等比数列中，，，则的值为(　　)
A．3×10－5 B．3×29 C．128 D．3×2－5或3×29
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
5.在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有，则公比应满足(　　)
A．q>1 B．06.已知等比数列中, ，，则_______
7.设等比数列的前项和为若则
【巩固练习】
1.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
2.设等比数列的公比为，则数列的前n项和为(　　)
(A) (B) (C) (D)
3.已知等比数列满足，，且，则当时，＝（ ）.
A. B. C. D.
4.若等比数列满足，，则公比 ；
5.若数列满足，给出以下四个结论：
①是等比数列； ②可能是等差数列也可能是等比数列；
③是递增数列； ④可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
6.在等比数列中, 是方程的两根，则＝________.
7.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则
8.在等比数列中，若，，求公比.
9.已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，
求a，b，c.
10.若数列满足，且与的等差中项是5，则 等于( )
A. B. C. D.
11.已知是等比数列()的前项和，若，公比，则数列的通项公式 .
12.已知等比数列的公比，且，．
（Ⅰ）求公比和的值；
（Ⅱ）若的前项和为，求证：．第二讲 等比数列
【课前诊断】
1.已知是等比数列，,,则公比为（ ）
A. B.-2 C.2 D.
【答案】D
2．在等比数列{}中，若—8，则等于
（A）— （B）— （C） （D）
【答案】B
3.等比数列中,,,的前项和为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________．
【答案】 ，
【教学目标】
充分理解等比数列的概念和特征；
掌握等比数列通项公式，等比中项及前项和的求解方法；
能灵活运用等比数列的通项公式及前项和公式求解一般数列问题。
【知识框架】
【知识要点】
1 等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个;
③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件;
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；
2.等比数列的通项公式
首项为，公比为的等比数列的通项公式为：
3.等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中.
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项.
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一.
③当时，、、成等比数列.
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
4.等比数列的判定
(1)定义法：
(2)等比中项法：
5.等比数列的性质
（1）若，且,则，
特别地，当时.
（2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，
公比为.
（3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
（4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为.
（5）等比数列单调性问题：
当且时，等比数列是递增数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递减数列；
当且时，等比数列是递增数列。
当时，等比数列是摆动数列。
6.等比数列的前项和公式
【考点分类】
考点一：等比数列通项公式的应用
【例1】在等比数列中，若，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例2】等比数列中，, ,求.
【答案】
法一：设此数列公比为，则
由(2)得：..........(3)
∴.
由(1)得： , ∴ ......(4)
(3)÷(4)得：，
∴,解得或
当时，，；
当时，，.
法二：∵,又,
∴、为方程的两实数根，
∴ 或
∵, ∴或.
【例3】已知数列满足，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【例4】若数列满足，则
（A）数列不是等比数列 （B）数列是公比为的等比数列
（C）数列是公比为2的等比数列 （D）数列是公比为的等比数列
【答案】B
【练1】已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【练2】若数列满足：，，则______ .
【答案】
【练3】已知等比数列的公比为，若，则
【答案】6
【练4】已知等比数列中,,那么的值为 ．
【答案】128
【练5】在等比数列中，，且，则的值为___.
【答案】5
考点二：等比中项问题
【例1】等比数列中，，，则与的等比中项是(　　)
A．±4 B．4 C．± D．
【答案】B
【例2】已知数列是公比为的等比数列，，则的值为
或 或
【答案】D
【例3】若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．
【答案】－4
【练1】如果成等比数列，那么
A． B．
C． D．
【答案】A
【练2】设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】选B.
依题意：ak＝(k＋8)d，a2k＝(2k＋8)d，
又a＝a1·a2k.所以(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d，即k2－2k－8＝0.
所以k＝4或k＝－2(舍去)．
【练3】在等比数列中，，公比.若，则( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C　
考点三：等比数列性质问题
【例1】已知等比数列中，则公比（ ）
【答案】
【例2】等比数列中，若,求.
【答案】∵是等比数列，∴
【例3】已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
【答案】　D
　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，
【例4】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.
【答案】216；
法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，
∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，
由题意，，也成等比数列，
∴，故，
∴.
【例5】已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( )
A.是等比数列 B．对于，，
C．对于，都有 D．若，则对于任意，都有
【答案】D
【练1】已知等比数列中，，，则等于（ ）
【答案】
【练2】等比数列的各项均为正数,且,则
【答案】10
【练3】若等比数列满足，则公比为
【答案】选B
因为等比数列满足 ① 所以 ②
②①得．又因为，所以.
【练4】在等比数列中,,则
（A） （B） （C）或 （D）以上答案都不对
【答案】选B
【练5】设等比数列 的前 项和为 ，若，则 等于(　　)
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
【答案】　C
考点四：利用定义证明等比数列
【例1】已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
【解析】由得，
∴又
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
【练习1】已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
【答案】是等比数列
∵
∴，
∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列
考点五：等比数列前项和
【例1】等比数列的前项和为,已知,,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【例2】已知等比数列{}中，且，那么的值是( )
A. 15 B. 31 C. 63 D. 64
【答案】B
【例3】设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对,有,则的取值范围是（ ）
【答案】
【练1】已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（ ）
【答案】
【练2】已知数列满足,且数列的前项和,则数列的前5项和等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【练3】若等比数列满足，，则公比 ；前项和 .
【答案】；
【小试牛刀】
1.在等比数列中，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
2.已知等比数列，若，，求.
【答案】或；
3．等比数列中，，，则的值为(　　)
A．3×10－5 B．3×29 C．128 D．3×2－5或3×29
【答案】D
【解析】　∵，a4＝a3q，∴，a4＝12q.∴.即2q2－5q＋2＝0，∴或q＝2. ∴或a10＝12×27＝3×29.故选D.
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
【答案】2
解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2，∴ad＝bc＝2.
5.在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有，则公比应满足(　　)
A．q>1 B．0【答案】选B
解析：.an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能06.已知等比数列中, ，，则_______
【答案】
7.设等比数列的前项和为若则
【答案】3
【巩固练习】
1.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
【答案】C
2.设等比数列的公比为，则数列的前n项和为(　　)
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由于.故选D.
3.已知等比数列满足，，且，则当时，＝（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，
则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
4.若等比数列满足，，则公比 ；
【答案】2
5.若数列满足，给出以下四个结论：
①是等比数列； ②可能是等差数列也可能是等比数列；
③是递增数列； ④可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
【答案】D
6.在等比数列中, 是方程的两根，则＝________.
【答案】－3
7.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则
【答案】由题知有连续的四项在集合中，
则必有-54，-24为相隔两项，又∵∴，
8.在等比数列中，若，，求公比.
【答案】q＝±2或±.
9.已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，
求a，b，c.
【答案】由题意，得，解得，或.
10.若数列满足，且与的等差中项是5，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
11.已知是等比数列()的前项和，若，公比，则数列的通项公式 .
【答案】
12.已知等比数列的公比，且，．
（Ⅰ）求公比和的值；
（Ⅱ）若的前项和为，求证：．
【答案】（Ⅰ）法一：因为，所以，所以,
因为，所以 , 因为，所以，即.
法二：因为，所以，所以有，所以.
因为，所以，即.
所以.
（Ⅱ） 当时，,
所以.所以.
因为，所以
法二：当时，.
所以.
所以.
所以，所以.
法三：当时，,
所以,
要证，只需要， 只需,
上式显然成立，得证.

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