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第二讲 集合的基本运算
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1集合共有________个子集
【答案】8
2下列式子中，正确的是
（A） （B）
（C）空集是任何集合的真子集 （D）
【答案】（D）
3已知集合,若,则的值是
【答案】
4设集合，且则的值分别是
【答案】
5设,,且,求的取值范围
【答案】
教学目标
1掌握集合交集、并集、全集、补集的概念和之间关系
2掌握集合间的运算方法，能熟练写出集合运算结果
知识框架
知识要点
引入：
观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合与集合之间的关系吗？ （1）；
（2）是有理数，是无理数，是实数
集合是由所有集合或属于集合的元素组成的
知识点1：并集
并集的概念：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作,即
韦恩图表示：
理解：
2 并集的运算性质
（1）（满足交换律）
（2）（任何集合与空集的并集仍为集合本身）
（3）（集合与本身的并集仍为集合本身）
（4）（并集关系转化为子集关系）
典型例题
考点：并集的运算
【例1】(1)（课本例1）设，求
(2)（课本例2）设，求
【答案】
【练1】设，求
【答案】
【练2】设集合，集合，求
【答案】
【思考】写出满足条件的集合的所有可能情况是
【答案】
引入：
观察下面的集合，集合与集合之间的关系？
(1) ；
(2) 是立德中学今年在校的女同学，是立德中学今年在校的高一年级同学，是立德中学今年在校的高一年级女同学
集合是由所有集合又属于集合的元素组成的
知识点2：交集
交集的概念：一般地， 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作,即
韦恩图表示：
2 交集的运算性质：
（1）（满足交换律）
（2）（空集与任何集合的交集都是空集）
（3）（集合与本身的交集仍为集合本身）
（4）（交集关系转化为子集关系）
典型例题
考点一：交集的运算
【例1】已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【例2】若集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【例3】已知集合，，那么集合为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【练1】已知集合，，那么等于
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
【练2】已知,则
【答案】
考点二：交集、并集的综合运算
【例1】（课本复习巩固）设是小于9的正整数，，求
【答案】
【例2】（课本复习巩固）集合，求
【答案】
【例3】（课本综合运用）已知集合，
，求，并解释它们的几何意义
【答案】,两直线的交点所构成的集合
【练1】（课本练习）（1）设，求
（2）设，求
（3）设是等腰三角形，是直角三角形，求
【答案】（1）
（2）
（3）是等腰三角形或直角三角形，是等腰直角三角形
知识点3：全集、补集
全集的概念：一般地，如果一个集合含有所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,通常记作
补集的概念：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作
,即
韦恩图表示：
补集的运算性质
（1）（集合（A）与（A）的补集的并集是全集）
（2）（集合（A）与（A）的补集的交集是空集）
（3）（集合的补集的补集是集合本身）
（4）,（全集的补集是空集，空集的补集是全集）
（5）德 摩根定律
,
典型例题
考点一：补集的运算
【例1】（课本例5）设，求。
【答案】，
【例2】已知全集是，集合求，
【答案】，
【练1】全集，求
【答案】
考点二：交并补的综合运算
【例1】（课本例6）设全集，，求,
【答案】，
【例2】（课本综合应用）已知集合，求，，，
【答案】，，
，
【例3】（课本练习）图中是全集，是的两个子集，用阴影表示：
（1）；（2）
【答案】
【例4】设全集，集合
，那么等于
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
【练1】（课本练习）已知全集,，，求,
【答案】，
【练2】（课本练习）设是平行四边形或梯形，是平行四边形，是菱形，是矩形，求,,
【答案】是正方形，
是梯形或不是菱形的平行四边形，
是梯形
【练3】设集合，集合，，则集合等于
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
考点三：含参的交并补运算
【例1】,的值是( )
（A）1或2 （B）2或4 （C）2 （D）1
【答案】（C）
【例2】已知集且，则实数的取值范围是
【答案】
【例3】设全集，若，求实数的取值范围
【答案】
【例4】已知集合，是否存在实数，使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由
【答案】
【练1】（课本综合应用）已知集合是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由
【答案】2
【练2】已知全集，数集，如果，则的值为______
【答案】2或12
【练3】集合，则的取值范围为________
【答案】
【练4】设集合，，若，求实数的取值范围
【答案】
拓展提升
（1）复杂的交并补运算
【例1】（课本拓广探究）已知全集试求集合
【答案】
【例2】（课本综合运用）设求
【答案】当时，
当时，
当时，
当时，
【例3】已知均为集合的子集，且则_______
【答案】{3,9}
【例4】已知，求实数的值
【答案】
【例5】设求由实数组成的集合
【答案】
【例6】已知若，则
【答案】
【例7】若非空集合则使得成立的所有的集合有
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
【例8】已知若，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
（2）集合中元素的个数
1 记法：有限集合（A）的元素个数记作例如，，则
2算法：一般地，对任意两个有限集合，有
当且仅当时，
【例1】集合含有10个元素，集合含有8个元素，集合含有3个元素，则集合有个元素
【答案】15
【例2】已知集合为全集的子集，图中阴影部分所表示的集合为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（D）
【例3】某班有学生50人，学校开了甲、乙、丙三门选修课选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，问此班三门均未选的有多少人？
【答案】5
①容斥定理
韦恩图与容斥原理
在我们选择填空压轴题目中有时候会用到集合交集与并集求集合元素个数的问题，此时如果用我们常规思路，集合中元素个数很难确定出来，并且容易出错，这时候我们可以通过容斥原理处理集合个数问题。我们用来表示集合的元素个数，出现如下公式
②抽屉原理
抽屉原理1：个元素分成类，至少有类中的元素不止个
抽屉原理2：个元素分成类，至少有类中的元素不止个
即：个元素分成类，至少有类中的元素不止个（）
抽屉原理3：个数之和为，则其中必有一数，也必有一数
抽屉原理4：把一个无限集分成有限个集合的并集，即，且（则至少有一个的子集()，它有无限多个元素
【例1】某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
短跑 游泳 篮球 短跑、 游泳 游泳、 篮球 篮球、 短跑 短跑、游泳、篮球
求这个班的学生数。
【答案】35人
【例2】求到的自然数中，所有既不是的倍数又不是的倍数的整数之和
【答案】1633
【例3】是的一个子集，而且中任两个数的差不能是或，那么中最多可有多少个元素？
【答案】905
【练1】某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：
课程 语文 数学 外语 语、数 数、外 语、外 至少一门
得满分人数
问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？
【答案】2
【练2】一组灯有灯线控制着。现将其顺序编号为。将编号为的倍数的灯线拉一下，再将编号为的倍数的灯线拉一下，最后将编号为的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？
【答案】999
【练3】在到的整数中，既不能被整除，又不能被整除的整数有多少个？
【答案】67
【练4】一位棋手参加周（天）的集训，每天至少下盘棋，每周至多下盘棋，证明这个棋手必在连续的几天内恰好下了盘棋
【答案】
③新定义
【例1】设数集同时满足条件①中不含元素，②若，则
则下列结论正确的是
（A）集合中至多有2个元素 （B）集合中至多有3个元素
（C）集合中有且仅有4个元素 （D）集合中有无穷多个元素
【答案】（C）
【例2】有限集合中元素的个数记作已知，，，，且，若集合满足，且，，则集合的个数是
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
【例3】若集合满足，则记是的一组双子集拆分规定： 和是的同一组双子集拆分，已知集合，那么的不同双子集拆分共有
（A）15组 （B）14组 （C）13组 （D）12组
【答案】（B）
【例4】定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为
（A）0 （B）2 （C）3 （D）6
【答案】（D）
小试牛刀
1已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
2已知集合分别求，，；
【答案】，，
3集合
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围
【答案】（1）（2）
4已知全集，集合，
（Ⅰ）当时，求集合,；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围
【答案】（1），;（2）
巩固练习
1 已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
2 设,求
【答案】
3 已知全集，集合,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（A）
4 若集合,集合,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（A）
5 已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）且
【答案】（A）
6已知全集,，，求,
【答案】，
7若集合，，求集合
【答案】
8设,求
【答案】
9已知集合，集合,则
【答案】
10若集合，，则
【答案】
11已知集合,,,全集为实数集
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）如果，求的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
12已知集合
①，求实数的取值范围；
②若，求实数的取值范围；
③若且，求实数的取值范围
【答案】①②③
13已知集合，集合，是否存在实数，使得集合能同时满足下列三个条件：
① ② ③
若存在，求出这样的实数的值；若不存在，试说明理由
【答案】不存在第二讲 集合的基本运算
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1集合共有________个子集
2下列式子中，正确的是
（A） （B）
（C）空集是任何集合的真子集 （D）
3已知集合,若,则的值是
4设集合，且则的值分别是
5设,,且,求的取值范围
教学目标
1掌握集合交集、并集、全集、补集的概念和之间关系
2掌握集合间的运算方法，能熟练写出集合运算结果
知识框架
知识要点
引入：
观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合与集合之间的关系吗？ （1）；
（2）是有理数，是无理数，是实数
知识点1：并集
并集的概念：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作,即
韦恩图表示：
理解：
2 并集的运算性质
（1）（满足交换律）
（2）（任何集合与空集的并集仍为集合本身）
（3）（集合与本身的并集仍为集合本身）
（4）（并集关系转化为子集关系）
典型例题
考点：并集的运算
【例1】(1)设，求
(2)设，求
【练1】设，求
【练2】设集合，集合，求
【思考】写出满足条件的集合的所有可能情况是
引入：
观察下面的集合，集合与集合之间的关系？
(1) ；
(2) 是立德中学今年在校的女同学，是立德中学今年在校的高一年级同学，是立德中学今年在校的高一年级女同学
知识点2：交集
交集的概念：一般地， 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作,即
韦恩图表示：
2 交集的运算性质：
（1）（满足交换律）
（2）（空集与任何集合的交集都是空集）
（3）（集合与本身的交集仍为集合本身）
（4）（交集关系转化为子集关系）
典型例题
考点一：交集的运算
【例1】已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
【例2】若集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
【例3】已知集合，，那么集合为
（A） （B）
（C） （D）
【练1】已知集合，，那么等于
（A） （B）
（C） （D）
【练2】已知,则
考点二：交集、并集的综合运算
【例1】设是小于9的正整数，，求
【例2】集合，求
【例3】已知集合，
，求，并解释它们的几何意义
【练1】（1）设，求
（2）设，求
（3）设是等腰三角形，是直角三角形，求
知识点3：全集、补集
全集的概念：一般地，如果一个集合含有所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,通常记作
补集的概念：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作
,即
韦恩图表示：
补集的运算性质
（1）（集合（A）与（A）的补集的并集是全集）
（2）（集合（A）与（A）的补集的交集是空集）
（3）（集合的补集的补集是集合本身）
（4）,（全集的补集是空集，空集的补集是全集）
（5）德 摩根定律
,
典型例题
考点一：补集的运算
【例1】设，求。
【例2】已知全集是，集合求，
【练1】全集，求
考点二：交并补的综合运算
【例1】设全集，，求,
【例2】已知集合，求，，，
【例3】图中是全集，是的两个子集，用阴影表示：
（1）；（2）
【例4】设全集，集合
，那么等于
（A） （B）
（C） （D）
【练1】已知全集,，，求,
【练2】设是平行四边形或梯形，是平行四边形，是菱形，是矩形，求,,
【练3】设集合，集合，，则集合等于
（A） （B）
（C） （D）
考点三：含参的交并补运算
【例1】,的值是( )
（A）1或2 （B）2或4 （C）2 （D）1
【例2】已知集且，则实数的取值范围是
【例3】设全集，若，求实数的取值范围
【例4】已知集合，是否存在实数，使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由
【练1】已知集合是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由
【练2】已知全集，数集，如果，则的值为______
【练3】集合，则的取值范围为________
【练4】设集合，，若，求实数的取值范围
拓展提升
（1）复杂的交并补运算
【例1】已知全集试求集合
【例2】设求
【例3】已知均为集合的子集，且则_______
【例4】已知，求实数的值
【例5】设求由实数组成的集合
【例6】已知若，则
【例7】若非空集合则使得成立的所有的集合有
（A） （B）
（C） （D）
【例8】已知若，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（2）集合中元素的个数
1 记法：有限集合（A）的元素个数记作例如，，则
2算法：一般地，对任意两个有限集合，有
当且仅当时，
【例1】集合含有10个元素，集合含有8个元素，集合含有3个元素，则集合有个元素
【例2】已知集合为全集的子集，图中阴影部分所表示的集合为
（A）
（B）
（C）
（D）
【例3】某班有学生50人，学校开了甲、乙、丙三门选修课选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，问此班三门均未选的有多少人？
①容斥定理
韦恩图与容斥原理
在我们选择填空压轴题目中有时候会用到集合交集与并集求集合元素个数的问题，此时如果用我们常规思路，集合中元素个数很难确定出来，并且容易出错，这时候我们可以通过容斥原理处理集合个数问题。我们用来表示集合的元素个数，出现如下公式
②抽屉原理
抽屉原理1：个元素分成类，至少有类中的元素不止个
抽屉原理2：个元素分成类，至少有类中的元素不止个
即：个元素分成类，至少有类中的元素不止个（）
抽屉原理3：个数之和为，则其中必有一数，也必有一数
抽屉原理4：把一个无限集分成有限个集合的并集，即，且（则至少有一个的子集()，它有无限多个元素
【例1】某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
短跑 游泳 篮球 短跑、 游泳 游泳、 篮球 篮球、 短跑 短跑、游泳、篮球
求这个班的学生数。
【例2】求到的自然数中，所有既不是的倍数又不是的倍数的整数之和
【例3】是的一个子集，而且中任两个数的差不能是或，那么中最多可有多少个元素？
【练1】某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：
课程 语文 数学 外语 语、数 数、外 语、外 至少一门
得满分人数
问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？
【练2】一组灯有灯线控制着。现将其顺序编号为。将编号为的倍数的灯线拉一下，再将编号为的倍数的灯线拉一下，最后将编号为的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？
【练3】在到的整数中，既不能被整除，又不能被整除的整数有多少个？
【练4】一位棋手参加周（天）的集训，每天至少下盘棋，每周至多下盘棋，证明这个棋手必在连续的几天内恰好下了盘棋
③新定义
【例1】设数集同时满足条件①中不含元素，②若，则
则下列结论正确的是
（A）集合中至多有2个元素 （B）集合中至多有3个元素
（C）集合中有且仅有4个元素 （D）集合中有无穷多个元素
【例2】有限集合中元素的个数记作已知，，，，且，若集合满足，且，，则集合的个数是
（A） （B） （C） （D）
【例3】若集合满足，则记是的一组双子集拆分规定： 和是的同一组双子集拆分，已知集合，那么的不同双子集拆分共有
（A）15组 （B）14组 （C）13组 （D）12组
【例4】定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为
（A）0 （B）2 （C）3 （D）6
小试牛刀
1已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
2已知集合分别求，，；
3集合
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围
4已知全集，集合，
（Ⅰ）当时，求集合,；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围
巩固练习
1 已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
2 设,求
3 已知全集，集合,则
（A） （B）
（C） （D）
4 若集合,集合,则
（A） （B）
（C） （D）
5 已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）且
6已知全集,，，求,
7若集合，，求集合
8设,求
9已知集合，集合,则
10若集合，，则
11已知集合,,,全集为实数集
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）如果，求的取值范围。
12已知集合
①，求实数的取值范围；
②若，求实数的取值范围；
③若且，求实数的取值范围
13已知集合，集合，是否存在实数，使得集合能同时满足下列三个条件：
① ② ③
若存在，求出这样的实数的值；若不存在，试说明理由

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