资源简介

目录
第五讲 直线、圆的位置关系 2
入门测 2
题型一：直线与圆的位置关系的判定 4
知识清单 4
典型例题 5
题型二：圆与圆的位置关系 13
知识清单 13
典型例题 14
方法总结： 15
题型三 ：直线与圆的方程的应用 16
知识清单 16
典型例题 16
方法总结： 16
出门测 17
课后练习 18
第五讲 直线、圆的位置关系
入门测
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
4．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
5．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
6. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
7. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
8.已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于( )
A.10 B.－10
C.20 D.－20
9. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 两圆和的连心线方程为（ ）
A. B.
C. D.
题型一：直线与圆的位置关系的判定
知识清单
知识点：直线与圆的位置关系
由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离
代数法： 由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
典型例题
【考点一】 直线与圆位置关系的判定
（1）代数法
判断直线和圆的位置关系，可由推出，利用判别式进行判断：
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
（2）几何法
已知直线和圆，圆心到直线的距离
.
其中：直线和圆相交；
直线和圆相切；
直线和圆相离.
1. 直线与圆的位置关系为
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2. 如果，那么直线与圆的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
3. 已知在圆外，则直线与圆O的位置关系是
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
4. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
5. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【考点二】 圆的切线方程的问题
（1）过圆上一点的切线方程：
与圆相切于点的切线方程是；
与圆相切于点的切线方程是：；
与圆相切于点的切线方程是；
（2）过圆外一点的切线方程：
设是圆外一点，求过点的圆的切线方程.
当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，再由求出待定系数，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.
1. 求经过点（1，-7）且与圆相切的直线方程.
2. 圆与直线相切，正实数b的值为
A. B.1 C. D.3
3. 圆，在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
4. 过点作圆的切线，求此切线的方程．
5. 直线与圆相切，则三条边长分别为三角形
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
6. 若直线与圆相切，则的值为
A. B. C. D.
7. 已知圆的方程为x2 + y2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.
8. 过点与圆相切的切线方程为.
9. 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【考点三】 直线与圆相交的弦长的求法
（1）几何法
如图所示，直线l与圆C相交于A，B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长.
设弦心距为，半径为，弦为AB，则有.
（2）代数法
直线l与圆交于，直线l的斜率存在，设为k，则联立直线方程和圆的方程得方程组.
方法一：解方程组得点A、B的坐标，再由两点间的距离公式求弦长.
方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k不存在时，可直接利用计算.
温馨提示
①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.
②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.
1. 直线l经过点P（5，5）并且与圆相交截得的弦长为，求l的方程.
2. 求直线被圆截得的弦长．
3. 圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
4. 过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
A. B.
C. D.
5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A. B.2 C. D.
6. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.
7. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程
A. B.
C. D.
【考点四】与圆有关的轨迹方程的求法
轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式，求轨迹方程即求与有关的等式.
“轨迹”与“轨迹方程”不同，“轨迹”是图形，要指出形状、大小（范围）、位置等特征；“轨迹方程”是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
求轨迹方程常用的方法有：直接法；定义法；代入法.
（1）直接法是求轨迹方程最重要的方法，它可分为五个步骤：①建系，②找出动点满足的条件，③用等式表示此条件，④化简，⑤验证.
1. 已知A（2，0）为圆上一定点，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.若，求线段PQ中点的轨迹方程.
（2）定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程.
2. 自A（4，0）引圆的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程.
（3）代入法（也称相关点法），它用于处理一个主动点与一个被动点的问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.
3. 自圆上的点A（2，0）引此圆的弦AB，求弦AB的中点的轨迹方程.
【考点五】 与圆有关的数形结合的方法
根据函数的知识，对于平面直角坐标系中某一曲线，如果垂直于轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象；否则，不是函数的图象.在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线与圆至多有两个交点，因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如，函数的图象是以为圆心，半径为，位于直线上方的半圆；函数的图象是以为圆心，半径为，位于直线下方的半圆.
函数和圆的联系，丰富了函数概念的内涵，又对圆赋予了代数意义.因此，可以用函数来研究平面几何问题，反过来也可以用平而几何研究函数问题，这充分揭示了数和形的密切联系，体现了数形结合的完美统一.
1. 若直线与曲线有公共点，试求的取值范围.
2. 已知直线与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则|CD|＝________.
3.　已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2
4. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
题型二：圆与圆的位置关系
知识清单
知识点：圆与圆的位置关系
由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.
设两圆与的圆心距为，我们可以得到：
，则位置关系表示如下（设）：
位置关系 关系式 图示
外离
外切
相交
内切
内含
典型例题
【考点一】 圆与圆位置关系问题
1. 圆与的位置关系是
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
若圆与圆相交，则的取值范围是
A. B.
C. D. 或
3. 圆与圆的位置关系是
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
4. 如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
【考点二】 圆与圆公共弦问题
1. 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．
2. 若圆与圆的公共弦长为，.
3. 求经过两圆和的交点且圆心在直线
上的圆的方程．
【考点三】 圆与圆公切线问题
1. 两圆外切，则正实数r的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 两相交圆的公切线有且仅有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3. 到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
方法总结：
题型三 ：直线与圆的方程的应用
知识清单
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论
典型例题
1. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
2. 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
．
方法总结：
出门测
1．两圆和的位置关系是(　　)
（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离
2．圆截直线所得弦长是(　　)
（A） （B） （C） （D）
3. 圆与直线相切，正实数b的值为(　　)
（A） （B）1 （C） （D）3
4.过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　)
（A） （B）
（C） （D）
5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）
（A）一定相离 （B）一定相切
（C）相交且一定不过圆心 （D）相交且可能过圆心
6.★过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
7.★上的点到直线的距离的最大值为________．
课后练习
【课后作业一】
1.若直线与圆相切，则的值为
（A） （B） （C） （D）
2.圆：和：的位置关系是
（A）外切 （B）内切 （C）相交 （D）相离
3.直线和圆的关系是
（A）相离 （B）相切或相交 （C）相交 （D）相切
4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
5．两圆和的公切线有且仅有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
7.设是圆上的点，则M点到直线的最短距离是.
8.过点与圆相切的切线方程为.
9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.
10．★★当m为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【课后作业二】
1． 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
2． 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
3． 直线与圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
　
4． 设m＞0，则直线与圆的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　　 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
5． 直线与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
　
6． 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
7． 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
8．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．外切
9．两圆，外切，则正实数r的值是(　　)
A. B.
C. D．5
10．圆与圆的公切线条数为(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
11．圆和圆交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
12．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
　
13．若圆和外离，则满足的条件是________．
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
15．已知点，圆O：x 2＋y 2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数的值．
16．已知直线和圆
(1)时，证明与C总相交；
(2)取何值时，被C截得的弦长最短？求此弦长．
17．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和
2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时
进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？目录
第五讲 直线、圆的位置关系 2
入门测 2
题型一：直线与圆的位置关系的判定 4
知识清单 4
典型例题 5
题型二：圆与圆的位置关系 13
知识清单 13
典型例题 14
方法总结： 15
题型三 ：直线与圆的方程的应用 16
知识清单 16
典型例题 16
方法总结： 16
出门测 17
课后练习 18
第五讲 直线、圆的位置关系
入门测
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
【答案】　B
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
【答案】　B
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】A
4．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
【答案】　(x－2)2＋2＝
5．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．
【答案】　(0，－1)
6. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7. 圆上的点到原点的最大距离是( )
A. B.
C. D.10
【答案】B
8.已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于( )
A.10 B.－10
C.20 D.－20
【答案】B
9. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
10. 两圆和的连心线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
题型一：直线与圆的位置关系的判定
知识清单
知识点：直线与圆的位置关系
由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离
代数法： 由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
典型例题
【考点一】 直线与圆位置关系的判定
（1）代数法
判断直线和圆的位置关系，可由推出，利用判别式进行判断：
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
（2）几何法
已知直线和圆，圆心到直线的距离
.
其中：直线和圆相交；
直线和圆相切；
直线和圆相离.
1. 直线与圆的位置关系为
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
【答案】B
2. 如果，那么直线与圆的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
【答案】C
3. 已知在圆外，则直线与圆O的位置关系是
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
【答案】B
4. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【答案】当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－5. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【答案】 或 ， ，
【考点二】 圆的切线方程的问题
（1）过圆上一点的切线方程：
与圆相切于点的切线方程是；
与圆相切于点的切线方程是：；
与圆相切于点的切线方程是；
（2）过圆外一点的切线方程：
设是圆外一点，求过点的圆的切线方程.
当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，再由求出待定系数，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.
1. 求经过点（1，-7）且与圆相切的直线方程.
【答案】切线方程为或.
2. 圆与直线相切，正实数b的值为
A. B.1 C. D.3
【答案】B
3. 圆，在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】D
4. 过点作圆的切线，求此切线的方程．
【答案】15x＋8y－36＝0或x＝4
5. 直线与圆相切，则三条边长分别为三角形
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
【答案】B
6. 若直线与圆相切，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
7. 已知圆的方程为x2 + y2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.
【答案】
8. 过点与圆相切的切线方程为.
【答案】或
9. 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【答案】(1)切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
【考点三】 直线与圆相交的弦长的求法
（1）几何法
如图所示，直线l与圆C相交于A，B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长.
设弦心距为，半径为，弦为AB，则有.
（2）代数法
直线l与圆交于，直线l的斜率存在，设为k，则联立直线方程和圆的方程得方程组.
方法一：解方程组得点A、B的坐标，再由两点间的距离公式求弦长.
方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k不存在时，可直接利用计算.
温馨提示
①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.
②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.
1. 直线l经过点P（5，5）并且与圆相交截得的弦长为，求l的方程.
【答案】直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
2. 求直线被圆截得的弦长．
【答案】
3. 圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
【答案】
4. 过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A. B.2 C. D. 【答案】D
6. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.
【答案】
7. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程
A. B.
C. D.
【答案】A
【考点四】与圆有关的轨迹方程的求法
轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式，求轨迹方程即求与有关的等式.
“轨迹”与“轨迹方程”不同，“轨迹”是图形，要指出形状、大小（范围）、位置等特征；“轨迹方程”是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
求轨迹方程常用的方法有：直接法；定义法；代入法.
（1）直接法是求轨迹方程最重要的方法，它可分为五个步骤：①建系，②找出动点满足的条件，③用等式表示此条件，④化简，⑤验证.
1. 已知A（2，0）为圆上一定点，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.若，求线段PQ中点的轨迹方程.
【答案】 PQ中点的轨迹方程为.
（2）定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程.
2. 自A（4，0）引圆的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程.
【答案】 轨迹方程为.
（3）代入法（也称相关点法），它用于处理一个主动点与一个被动点的问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.
3. 自圆上的点A（2，0）引此圆的弦AB，求弦AB的中点的轨迹方程.
【答案】轨迹方程为.
【考点五】 与圆有关的数形结合的方法
根据函数的知识，对于平面直角坐标系中某一曲线，如果垂直于轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象；否则，不是函数的图象.在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线与圆至多有两个交点，因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如，函数的图象是以为圆心，半径为，位于直线上方的半圆；函数的图象是以为圆心，半径为，位于直线下方的半圆.
函数和圆的联系，丰富了函数概念的内涵，又对圆赋予了代数意义.因此，可以用函数来研究平面几何问题，反过来也可以用平而几何研究函数问题，这充分揭示了数和形的密切联系，体现了数形结合的完美统一.
1. 若直线与曲线有公共点，试求的取值范围.
【答案】.
2. 已知直线与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则|CD|＝________.
【答案】　4
3.　已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2
【答案】C
4. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
【答案】A
题型二：圆与圆的位置关系
知识清单
知识点：圆与圆的位置关系
由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.
设两圆与的圆心距为，我们可以得到：
，则位置关系表示如下（设）：
位置关系 关系式 图示
外离
外切
相交
内切
内含
典型例题
【考点一】 圆与圆位置关系问题
1. 圆与的位置关系是
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
【答案】D
若圆与圆相交，则的取值范围是
A. B.
C. D. 或
【答案】D
3. 圆与圆的位置关系是
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
【答案】D
4. 如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
【答案】(－2，0)∪(0,2)
【考点二】 圆与圆公共弦问题
1. 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．
【答案】
2. 若圆与圆的公共弦长为，.
【答案】
3. 求经过两圆和的交点且圆心在直线
上的圆的方程．
【答案】x2＋y2－x＋7y－32＝0.
【考点三】 圆与圆公切线问题
1. 两圆外切，则正实数r的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
2. 两相交圆的公切线有且仅有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】　B
3. 到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
【答案】4
方法总结：
题型三 ：直线与圆的方程的应用
知识清单
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论
典型例题
1. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
【答案】DE的最小值为(4－1)km.
2. 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【答案】不会受到台风的影响．
方法总结：
出门测
1．两圆和的位置关系是(　　)
（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离
【答案】B
2．圆截直线所得弦长是(　　)
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
3. 圆与直线相切，正实数b的值为(　　)
（A） （B）1 （C） （D）3
【答案】B
4.过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　)
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）
（A）一定相离 （B）一定相切
（C）相交且一定不过圆心 （D）相交且可能过圆心
【答案】D
6.★过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
【答案】 或1
7.★上的点到直线的距离的最大值为________．
【答案】
课后练习
【课后作业一】
1.若直线与圆相切，则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
2.圆：和：的位置关系是
（A）外切 （B）内切 （C）相交 （D）相离
【答案】B
3.直线和圆的关系是
（A）相离 （B）相切或相交 （C）相交 （D）相切
【答案】C
4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
5．两圆和的公切线有且仅有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
【答案】B
6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
【答案】2
7.设是圆上的点，则M点到直线的最短距离是.
【答案】2
8.过点与圆相切的切线方程为.
【答案】或
9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.
【答案】
10．★★当m为何值时，直线与圆相交、相切、相离？
【答案】当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；
当d>2，即－当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．
【课后作业二】
1． 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】　B
2． 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
3． 直线与圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
【答案】：C　
4． 设m＞0，则直线与圆的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　　 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
【答案】：C
5． 直线与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
【答案】：A　
6． 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】：C
7． 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
【答案】：4
8．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相交
C．内切 D．外切
【答案】：选C
9．两圆，外切，则正实数r的值是(　　)
A. B.
C. D．5
【答案】：选B
10．圆与圆的公切线条数为(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【答案】：选C
11．圆和圆交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
【答案】：选C
12．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
【答案】：选B
　
13．若圆和外离，则满足的条件是________．
【答案】：a2＋b2>3＋2
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
【答案】：1
15．已知点，圆O：x 2＋y 2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数的值．
【答案】：(1)当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)或
16．已知直线和圆
(1)时，证明与C总相交；
(2)取何值时，被C截得的弦长最短？求此弦长．
【答案】：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.
17．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和
2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时
进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
【答案】：观景点应设在B景点在小路的投影处．

展开更多......

收起↑