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第四讲 数列前n项和的求解
【课前诊断】
1.数列的前项和为，若，则等于_________.
2. 设等差数列的前项和为,,则等于
（A）10 （B）12 （C）15 （D）30
3
（A） （B） （C） （D）
A
4. 若为等差数列，为其前项和，且，则的值是
（A） （B） （C） （D）
【教学目标】
进一步理解数列的定义，充分掌握等差、等比数列的公式及性质，能求出简单数列的前项和；
会使用直接法、公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解求和及并项求和法求解较复杂数列的前项和。
【知识框架】
【知识要点】
数列求和的方法
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组
合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别
进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
3．倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两
项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；
.
5．错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
考点一：直接求和
【例1】设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( )
A．128 B．80 C．64 D．56
【练1】（2010全国卷）如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等
于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【练2】等比数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【练3】已知{an}为等差数列，若a3＋a5＋a7＝9，则S9等于( )
A．24 B．27 C．15 D．54
【练4】（2010北京文16）已知为等差数列，且，．
（1） 求 的通项公式；
（2）若等差数列 满足，，求的前项和公式
【练5】求等比数列的前项和
【例2】设数列的通项为则=___________
练习题
考点二：分组求和
【例3】求和，
【练1】求和.
【练2】已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【练习3】已知是等比数列,,.数列满足,,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【练习4】设是首项为,公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．记 ，．
（Ⅰ）若是等差数列，求的值；
（Ⅱ）求数列的前项和．
考点三：裂项相消法求和
【例5】求数列的前n项的和.
【练1】数列的通项公式是，若前项的和为，则项数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【练2】已知数列求它的前项和.
【练3】已知等差数列满足：，.的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
【例6】求数列，，，…，，…的前n项和.
【练1】已知，求它的前项和．
【练2】数列的通项公式是，若它的前项和为，则项数___
考点四：错位相减法求和
【例7】求数列的前项和.
【练1】设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【练2】已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知，求的值．
【练3】等差数列中，，，是数列的前项和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
考点五：倒序相加法求和
【例4】已知函数
(1)证明：与的和为定值；
(2)求的值.
【练1】设，求和：
【小试牛刀】
1在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．
2. 设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
3.等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【巩固练习】
1.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33 C．31 D．29
2 设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
3. 数列的前项和为,公差,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和公式.
4 已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和是否存在最小值？若存在，求出的最小值及此时的值；若不存在，请说明理由．
5 已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和．第四讲 数列前n项和的求解
【课前诊断】
1.数列的前项和为，若，则等于_________.
【答案】
2. 设等差数列的前项和为,,则等于
（A）10 （B）12 （C）15 （D）30
【答案】C
3
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
4. 若为等差数列，为其前项和，且，则的值是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【教学目标】
进一步理解数列的定义，充分掌握等差、等比数列的公式及性质，能求出简单数列的前项和；
会使用直接法、公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解求和及并项求和法求解较复杂数列的前项和。
【知识框架】
【知识要点】
数列求和的方法
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组
合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别
进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
3．倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两
项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；
.
5．错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
考点一：直接求和
【例1】设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( )
A．128 B．80 C．64 D．56
【答案】C
【练1】如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等
于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【答案】C
【练2】等比数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【练3】已知{an}为等差数列，若a3＋a5＋a7＝9，则S9等于( )
A．24 B．27 C．15 D．54
【答案】B
【练4】已知为等差数列，且，．
（1） 求 的通项公式；
（2）若等差数列 满足，，求的前项和公式
【答案】(1)
(2)
【练5】求等比数列的前项和
【答案】
【例2】设数列的通项为则=___________
【答案】153
练习题
考点二：分组求和
【例3】求和，
【答案】
【练1】求和.
【答案】
【练2】已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【练习3】已知是等比数列,,.数列满足,,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,由题意得
,解得.
所以.
设等差数列的公差为,由题意得
.
所以.
从而.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
数列的前项和为;数列的前项和为.
所以,数列的前项和为.
【练习4】设是首项为,公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．记 ，．
（Ⅰ）若是等差数列，求的值；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）因为 是首项为，公差为的等差数列，
所以 ． [ 2分]
因为 是首项为，公比为的等比数列，
所以 ． [ 4分]
所以 ． [ 5分]
因为 是等差数列，
所以 ， [ 6分]
即 ，解得 ． [ 7分]
经检验，时，，所以是等差数列． [ 8分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
所以 ． [10分]
当 时，． [11分]
当 时，． [13分]
考点三：裂项相消法求和
【例5】求数列的前n项的和.
【答案】
【练1】数列的通项公式是，若前项的和为，则项数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】C
【练2】已知数列求它的前项和.
【答案】
【练3】已知等差数列满足：，.的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2 )
【例6】求数列，，，…，，…的前n项和.
【答案】
【练1】已知，求它的前项和．
【答案】
【练2】数列的通项公式是，若它的前项和为，则项数___
【答案】
考点四：错位相减法求和
【例7】求数列的前项和.
【答案】
【练1】设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)
(2)
【练2】已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【练3】等差数列中，，，是数列的前项和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
考点五：倒序相加法求和
【例4】已知函数
(1)证明：与的和为定值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【练1】设，求和：
【答案】
【小试牛刀】
1（2012年西城二模 文15）在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．
【答案】(1)
(2)当
当
2. 设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
3.等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【巩固练习】
1.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33 C．31 D．29
【答案】C
2 设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
3. 数列的前项和为,公差,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和公式.
【答案】(1)
(2)
4 已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和是否存在最小值？若存在，求出的最小值及此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
5 已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)略
(3)

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