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第五讲 正态分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. .若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P －p p
则E(ξ)的最大值为 ( )．
A．1 B. C. D．2
【答案】B
2.已知随机变量X的分布列，求：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)；(2)若，求．
解析：由分布列的性质得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝.
(1)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(2)法一：因为Y＝2X－3，所以Y的分布列为
X －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
法二：利用离散型随机变量的性质求解．
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－.
【知识点一：正态曲线】
一、正态曲线定义
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
二、正态曲线的性质
（1）曲线在轴的上方，与轴不相交
（2）曲线关于直线对称
（3）当时，曲线带到峰值
（4）曲线与轴之间的面积为1
（5）当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移.当时，曲线上升（增函数）；当时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
（6）当一定时，曲线的形状由确定.
越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
【典型例题】
例1. 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【答案】：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
例2.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误．又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误．对任意正数，，，C正确，D错误．
练1.如图是正态分布，（）相应的曲线，那么的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：A
练2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有
（Ａ） （Ｂ）
（C） （Ｄ）
【答案】A
【知识点二：正态分布】
一、正态分布定义
一般地，如果对于任何实数，随机变量满足
则称的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为.
二、原则
对于正态总体取值的概率：
在区间 内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74%因此我们时常只在区间内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则。
【典型例题】
例1．已知随机变量 ξ 服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ < 4）= 0.8，则P（0 < ξ < 2）=
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
【答案】 ∵P（ξ < 4）= 0.8，
∴P（ξ > 4）= 0.2.
如图，题意知图象的对称轴为直线x = 2，
P（ξ < 0）=P（ξ > 4）=0.2，
∴P（0< ξ < 4）=1-P（ξ < 0）-P（ξ > 4）=0.6.
∴P（0< ξ < 2）=.
答案 C
练1.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为
（A）1 （B） （C）2 （D）4
【答案】A
练2．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X【答案】：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X∴＝2，解得c＝2.
答案：2
例2. 若X～N(5,1)，求P(5【答案】∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x＝5对称，
所以P(5练1.设X~N（50，100），求P（60【答案】 由已知得μ =50，σ =10.
∴P（40≤X≤60）=0.682 6，
P（30∴P（30如图，由正态曲线的对称性可得P（30∴P（60练2.在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
【答案】：由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1例3. 在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从正态分布N（90，100）.
（1）试求考试成绩 ξ 位于区间（70，110）内的概率；
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）内的考生大约有多少人.
【答案】：（1）∵ξ ~N（90，100），∴μ=90，.
由于 ξ 在区间（μ -2σ，μ +2σ）内取值的概率是0.954 4，又该正态分布中，μ -2σ=90-2×10=70，μ +2σ=90+2×10=110，于是考试成绩 ξ 位于区间（70，110）内的概率是0.954 4.
（2）由（1）得 μ -σ = 80，μ +σ = 100.
由于 ξ 在区间（μ - σ，μ + σ）内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩 ξ 位于区间（80，100）内的概率是0.682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100）内的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365人.
练1.据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
【答案】：因为身高X～N(174,9)，
所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等，均为0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是
3 000×0.477 2≈1 432(人)．
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ练2．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．
【答案】：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30答案：0.954 4
练3．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
【答案】：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)，
故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，
即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，
故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上.
方法总结：(1)在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ＞0。
(2)因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想。
【知识点三：标准正态分布】
当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
其相应的曲线称为标准正态曲线.
标准正态总体在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.
【典型例题】
例1．已知随机变量Z～N（0，1），且P（Z＜2）＝a，则P（﹣2＜Z＜2）＝
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2（1﹣a）
【解答】解：∵随机变量Z～N（0，1），且P（Z＜2）＝a，
∴P（Z≥2或Z≤﹣2）＝2﹣2a，
∴P（﹣2＜Z＜2）＝1﹣（2﹣2a）＝2a﹣1，
故选：B．
例2．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（﹣1＜ξ＜0）＝
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【解答】解：因为ξ服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），
所以对称轴为x＝0．
故P（﹣1＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1）＝0.4．
故选：C．
练1．已知随机变量ξ～N（0，σ2），且P（ξ≥1）＝0.3，则P（﹣1≤ξ≤0）＝
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解答】解：∵随机变量ξ～N（0，σ2），∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝0，
又P（ξ≥1）＝0.3，∴P（0≤ξ≤1）＝0.5﹣P（ξ≥1）＝0.2；
则P（﹣1≤ξ≤0）＝P（0≤ξ≤1）＝0.2．
故选：A．
练2．函数f（x）＝e（e为自然对数的底数），则不等式f（x）≤f（2x﹣1）解集为
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[，1]
【解答】解：函数f（x）＝e是偶函数，
由复合函数的单调性可知，该函数在[0，+∞）上为增函数，
则f（x）≤f（2x﹣1） f（|x|）≤f（|2x﹣1|） |x|≤|2x﹣1| x2≤（2x﹣1）2，
由x2≤（2x﹣1）2，得3x2﹣4x+1≥0，解得x或x≥1．
∴不等式f（x）≤f（2x﹣1）解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）．
故选：C．
【小试牛刀】
1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误．又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误．对任意正数，，，C正确，D错误．
2．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
3.已知随机变量服从正态分布，且，则
A． B． C． D．
【答案】C如图，正态分布的密度函数示意图所示，
函数关于直线对称，所以，并且
则
所以选C.
【巩固练习——基础篇】
1. 正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
【答案】：均值即为其对称轴，∴μ＝0.
答案：C
2.已知随机变量．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
【答案】：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，
所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：C
3.设随机变量X服从正态分布，若，则等于( )
A． B. C. D.
【答案】：因为X服从正态分布N(2，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝2对称，
所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a.
答案：B
4.己知正态分布落在区间内的概率为0.5，那么相应的正态曲线在x＝________时达到最高点．
【答案】：由正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
【巩固练习——提高篇】
1.设随机变量，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．
【答案】：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9DX＝36.
∴Y～N(2,36)．
答案：Y～N(2,36)
2.已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
【答案】：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0，
由＝，解得σ＝4，
所以该函数的解析式为
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＝P(μ－σ3.某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
【答案】：(1)由正态分布N(100,1.22)，
知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.
所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024包．
(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496包．
4．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04
10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
【答案】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．因此
．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为
，
因此的估计值为10．02．
，
剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为
，
因此的估计值为．第五讲 正态分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. .若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P －p p
则E(ξ)的最大值为 ( )．
A．1 B. C. D．2
2.已知随机变量X的分布列，求：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)；(2)若，求．
【知识点一：正态曲线】
一、正态曲线定义
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
二、正态曲线的性质
（1）曲线在轴的上方，与轴不相交
（2）曲线关于直线对称
（3）当时，曲线带到峰值
（4）曲线与轴之间的面积为1
（5）当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移.当时，曲线上升（增函数）；当时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
（6）当一定时，曲线的形状由确定.
越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
【典型例题】
例1. 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
例2.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
练1.如图是正态分布，（）相应的曲线，那么的大小关系是( )
A． B．
C． D．
练2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有
（Ａ） （Ｂ）
（C） （Ｄ）
【知识点二：正态分布】
一、正态分布定义
一般地，如果对于任何实数，随机变量满足
则称的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为.
二、原则
对于正态总体取值的概率：
在区间 内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74%因此我们时常只在区间内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则。
【典型例题】
例1．已知随机变量 ξ 服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ < 4）= 0.8，则P（0 < ξ < 2）=
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
练1.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为
（A）1 （B） （C）2 （D）4
练2．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X例2. 若X～N(5,1)，求P(5练1.设X~N（50，100），求P（60练2.在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
例3. 在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从正态分布N（90，100）.
（1）试求考试成绩 ξ 位于区间（70，110）内的概率；
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）内的考生大约有多少人.
练1.据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ练2．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．
练3．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
方法总结：(1)在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ＞0。
(2)因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想。
【知识点三：标准正态分布】
当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
其相应的曲线称为标准正态曲线.
标准正态总体在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.
【典型例题】
例1．已知随机变量Z～N（0，1），且P（Z＜2）＝a，则P（﹣2＜Z＜2）＝
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2（1﹣a）
例2．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（﹣1＜ξ＜0）＝
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
练1．已知随机变量ξ～N（0，σ2），且P（ξ≥1）＝0.3，则P（﹣1≤ξ≤0）＝
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
练2．函数f（x）＝e（e为自然对数的底数），则不等式f（x）≤f（2x﹣1）解集为
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[，1]
【小试牛刀】
1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
2．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
3.已知随机变量服从正态分布，且，则
A． B． C． D．
【巩固练习——基础篇】
1. 正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
2.已知随机变量．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
3.设随机变量X服从正态分布，若，则等于( )
A． B. C. D.
4.己知正态分布落在区间内的概率为0.5，那么相应的正态曲线在x＝________时达到最高点．
【巩固练习——提高篇】
1.设随机变量，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．
2.已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
3、某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
4．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04
10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．

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