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第一讲 直线的倾斜角与斜率 2
入门测 2
题型一：倾斜角与斜率 3
知识清单 3
典型例题 5
方法总结： 9
题型二：两条直线平行与垂直的判定 10
知识清单 10
典型例题 11
方法总结： 14
出门测 15
课后练习 17
第一讲 直线的倾斜角与斜率
入门测
1.下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
题型一：倾斜角与斜率
知识清单
知识1：直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.
2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
直线
【理解】
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
知识2：直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即.
2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
【理解】
1．倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度．
当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；
当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
典型例题
1.下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
4.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
5．若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6.如图所示，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
7.过两点的直线的倾斜角为，求的值.
8.（1）已知直线的倾斜角是，且，求直线的斜率的范围.
（2）已知直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的范围.
9.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
10.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．
11.已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
12.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
13．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
14. 点在函数的图象上，当时，求的取值范围
方法总结：
直线的倾斜角
对于直线的倾斜角，应紧扣倾斜角的定义和取值范围，明确倾斜与斜率的关系，注意二者之间的转化.
2.直线的斜率
确定直线的斜率一般有两种情况：已知直线的倾斜角，由求斜率；已知两点，由斜率公式求斜率.在实际问题中，应结合图形分析，准确求解并注意斜率不存在的情况.
3.直线倾斜角的应用
（1）三点共线的证明
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意不同两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率证明三点共线的依据.
三点共线的判定方法：
已知三点,,，则判定三点在一条直线上的常用方法是：
①；
②写出过两点的直线方程，再检验B点坐标是否适合直线AC的方程.
利用斜率公式，且构造斜率，灵活解决形如之类的问题
题型二：两条直线平行与垂直的判定
知识清单
知识1：两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
【理解】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
知识2：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即.
【理解】
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
典型例题
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
2.已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
3．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
4.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状，并给出证明.
5.已知，是判断直线和的位置关系.
6．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
7.已知三点，试判断的形状.
8．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|0
9．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________.
10.已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
11.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
12．已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
方法总结：
直线平行的判定
直线垂直的判定
出门测
1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8
C. D．7
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
5.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
课后练习
1．下列说法正确的有( )
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
3．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．
4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
5.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______________
6.直线的倾斜角是
（A） （B） （C） （D）
7．若直线与直线分别交于点，且线段 的中点坐标为 ，则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
8．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[0，]∪[，π)
C．[0，] D．[0，]∪(，π)
9.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标.
10．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；
(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．
11．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
12．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
13.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
14.已知直线过，且与以， 为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．目录
第一讲 直线的倾斜角与斜率 2
入门测 2
题型一：倾斜角与斜率 3
知识清单 3
典型例题 5
方法总结： 9
题型二：两条直线平行与垂直的判定 10
知识清单 10
典型例题 11
方法总结： 14
出门测 15
课后练习 17
第一讲 直线的倾斜角与斜率
入门测
1.下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；
对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D.
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
解析：选D
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.
当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，
故应选D.
题型一：倾斜角与斜率
知识清单
知识1：直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.
2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
直线
【理解】
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
知识2：直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即.
2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
【理解】
1．倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度．
当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；
当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
典型例题
1.下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；
对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D.
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
解析：选D
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.
当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，
故应选D.
4.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
解析：(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
5．若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A
设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝＝，∴tan α＝.
又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.
6.如图所示，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解析：直线的斜率；
直线的斜率；
直线的斜率；
由知，直线和的倾斜角均为锐角，由知，直线的倾斜角均为钝角.
7.过两点的直线的倾斜角为，求的值.
解析：直线的斜率
由
解得或
当时，点的坐标是，点的坐标是，是同一个点，不符合条件.
当时，点的坐标是，点的坐标是，符合条件.
所以
8.（1）已知直线的倾斜角是，且，求直线的斜率的范围.
（2）已知直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的范围.
解析：（1）当时，直线的斜率不存在.
当时，是正数，且；
当时，是负数，且；
所以直线的斜率的范围是或.
（2）
9.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：
直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示), 该直线倾斜角的取值范围为∪.故选C.
10.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．
解析：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；
要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
11.已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解析：∵直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，
∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．
12.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
解析：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，
可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，
所以可求得的最大值为2，最小值为.
13．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
解析：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤.
∴的取值范围为[－，]．
14. 点在函数的图象上，当时，求的取值范围
【答案】
方法总结：
直线的倾斜角
对于直线的倾斜角，应紧扣倾斜角的定义和取值范围，明确倾斜与斜率的关系，注意二者之间的转化.
2.直线的斜率
确定直线的斜率一般有两种情况：已知直线的倾斜角，由求斜率；已知两点，由斜率公式求斜率.在实际问题中，应结合图形分析，准确求解并注意斜率不存在的情况.
3.直线倾斜角的应用
（1）三点共线的证明
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意不同两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率证明三点共线的依据.
三点共线的判定方法：
已知三点,,，则判定三点在一条直线上的常用方法是：
①；
②写出过两点的直线方程，再检验B点坐标是否适合直线AC的方程.
利用斜率公式，且构造斜率，灵活解决形如之类的问题
题型二：两条直线平行与垂直的判定
知识清单
知识1：两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
【理解】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
知识2：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即.
【理解】
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
典型例题
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
答：B
解析：当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．
2.已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
解析：如图所示，判断：直线与平行
证明：易求.所以，与平行
3．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．
kAB＝＝，kCD＝＝，
由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.
经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
4.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状，并给出证明.
解析：如图所示，易求
，所以
，所以.
所以此四边形为平行四边形
5.已知，是判断直线和的位置关系.
解析：由题目易求：由于，所以直线.
6．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．
7.已知三点，试判断的形状.
解析：如图所示，先分析猜想，即.
由题目易求：由于，
得到，即.
所以为直角三角形.
8．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|0
答案：C
分析：△OAB为直角三角形，没有指明哪个角度为直角，所以要对A，B，O角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义，两条直线相互垂直的条件找出参数，a，b的关系．
解析：显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．
若A为直角，则根据A，B纵坐标相等，所以b－a3＝0.
若B为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0.
9．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________.
答案：2，－
解析：当l1⊥l2时，k1k2＝－1，∴－＝－1.∴b＝2.
当l1∥l2时，k1＝k2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－.
10.已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)
所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.(12分)
11.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解析：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，
而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
12．已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
解析：(1)a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴，解得，
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.∴ ABCD为菱形．
方法总结：
直线平行的判定
直线垂直的判定
出门测
1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
解析：选D　任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．
2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8
C. D．7
解析：选C　由斜率公式可得＝1，解之得m＝.
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
解析：kl＝＝－1，
因此倾斜角为135°.
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
解析：∵A、B、C三点共线，
∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.
5.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
解析：(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，
kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，
所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
课后练习
1．下列说法正确的有( )
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
解析：选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
3．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．
解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF∥AB.
∴kEF＝kAB＝＝－2.
4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以＝，解得m＝.
5.已知两点，经过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______________
【答案】
6.直线的倾斜角是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
7．若直线与直线分别交于点，且线段 的中点坐标为 ，则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
8．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[0，]∪[，π)
C．[0，] D．[0，]∪(，π)
解析：直线xsin α＋y＋2＝0的斜率为k＝－sin α，
又|sin α|≤1，∴|k|≤1，∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π)．故选B.
【答案】B
9.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标.
答案：
10．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；
(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．
解：(1)k1＝－10，k2＝＝.
∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，
则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2.
又kAM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2.
(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.
11．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
解：设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，
所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以
解得即D(10，－6)．
12．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
13.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，
kCD＝＝，kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
14.已知直线过，且与以， 为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．
解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，
又可得直线PA的斜率kPA＝－，
直线PB的斜率kPB＝，
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.
综上可知，直线l的斜率的取值范围是
∪.

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