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第一讲 导数的概念及其意义
【课前诊断】
成绩： 完成情况： 优/中/差
1.求函数在区间的平均变化率.
2.求函数在区间的平均变化率.
3.求函数在处的导数.
4.已知函数在处可导，则
5. 求函数在点处的切线方程.
【教学目标】
（1）变化率与导数
①通过分析函数图象，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义
③利用导数的几何意义求简单函数的切线方程
【知识框架】
【知识要点】
考点一：函数的平均变化率
如图所示的函数上有两个不同的点，我们看现在从点到的过程中，假定这段是一条线段，自变量的该变量为，记作，函数值的该变量为，记作，即
于是，我们从变到的过程中，假定直线的斜率为，很明显可以看到
对于直线段倾斜程度我们可以很清晰的利用函数的斜率表示出来，那么对于曲线部分的倾斜程度我们应该怎么刻画呢？一个很自然的想法是将曲线段分解成许多小段，当小段分的足够多时，每小段可以近似视为平直的，这个时候我们可以利用对直线段分析的方法，得到曲线某部分的倾斜程度可以用比值近似刻画.注意各小段是不尽相同的.但不管是哪一个小段，函数值的变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度量.由此，我们引出函数平均变化率的概念.
一般地，已知函数在区间，是其定义域内不同的两点，记：
则当时，商
称作函数在区间（或）的平均变化率
注意：这里的可为正值，也可为负值，但，可以为.
【例1】 函数在区间的平均变化率.
解：函数在区间的平均变化率为
由上式我们可以很容易看出，这个函数的平均变化率与和取值都有关系，例如当取正值并且不断变大时，该函数的平均变化率也不断增大，从上看这条曲线变得越来越“陡峭”.
【例2】 求函数在区间的平均变化率.
解：函数的平均变化率为
【例3】求函数在区间的平均变化率.
解：函数的平均变化率为
【例4】求函数在区间的平均变化率.
解：该函数的平均变化率为
【例5】求函数在到之间的平均变化率．
解：该函数的平均变化率为
通过以上五个例题，你明确了求函数平均变化率的方法了吗？请试着总结下来
【练习1】求函数在区间的平均变化率
【练习2】求函数在区间的平均变化率。
【练习3】求函数在区间的平均变化率。
【练习4】求函数在区间的平均变化率。
【练习5】函数在闭区间内的平均变化率为
A. B. C. D.
【练习6】求函数在区间的平均变化率.其中，哪一个最大？哪一个最小？
【练习7】试指出正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？
考点二：瞬时变化率与导数
设函数，函数图象如图所示.我们可以从图上看到，从到的过程中，函数的平均变化率为
当取一系列越来越小的值时，平均变化率会有什么样的变化呢？下面我们来看从变化到的过程中平均变化率的变化情况
①当时，
②当时，
③当时，
④当时，
以上计算表明，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率
趋近于常数2，我们把这个常数称为在处的瞬时变化率.
在这里我们需要说明两点：
（1）在上面的例子中，我们研究的是平均变化率到某一个自变量值的变化过程中，自变量的间隔越来越小，能超过任意小的时间间隔，但始终不能为0.
（2）当趋近于0时，存在着一个数与商无限接近.
应当注意，我们这里研究的问题与以前学过的数学有质的不同，这里研究的是两个变量与比值变化的性质与状态.尽管，在变化中都趋于，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数.
由以上分析，我们给出函数瞬时变化率的概念.
设函数在及其附近有定义，当自变量附近改变量为时，函数值相应地改变
如果当趋近于时，平均变化率
趋近于一个常数,那么常数称为函数在点的瞬时变化率.（“趋近于”可以用箭头 表示，读作，趋近于）记作：
当时，
上述过程，通常也记作
函数在点的瞬时变化率，通常称为在点处的导数，并记作.
这时又称在点处是可导的.于是整个变化过程，可以记作
当时，
或
如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导.这样，对内每个值,都对应一个确定的导数.于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数.记为或.
我们需要强调几点：
（1）函数的连续与不连续可以通过函数图象是否有分段点确定
（2）函数可导和函数连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导.例如等
（3）导函数简称为导数、导数值指函数在某个点的导数
【例1】火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到.试问熄火后多长时间火箭向上速度为 已知：火箭的运行方程为：
解：火箭的运动方程为：
火箭向上位移是初速度引起的位移与重力引起的位移的合成.
在附近的平均变化率为
当时，上式趋近于.可见时刻的瞬时速度
令 =0，
解得
所以火箭熄火后约向上速度变为0.
思考一下：
火箭向上速度变为0，意味着什么？你能计算出此火箭熄火后上升的最大高度吗？
【例2】一正方形铁板在时，边长为，加热后铁板会膨胀，当温度为时，边长变为，为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.
解：设温度的增量为，则铁板面积的增量：
因此
令，得
所以铁板对温度的膨胀率为.
【例3】我们知道，圆面积是半径的函数，；圆周长也是圆半径的函数，.利用导数定义，写出对半径的导数，说出每一步的几何意义，以及它与圆周长之间的关系.
解：设圆半径的增量为，则圆面积的增量：
因此
令，得
所以对半径的导数为，它与圆的周长相等.
思考：
类似的，讨论球的体积与球面积公式的关系.由此，你发现了什么？
【例4】求函数在的瞬时变化率
解：函数在处的瞬时变化率就是函数在处的导数.
所以
【练习1】设一物体的运动方程是
，
其中为初速度，为加速度，时间单位为求的瞬时速度.
【练习2】求函数的导数
【练习3】如果一个函数的导数处处为，这个函数是什么函数？
【练习4】一同学在投掷场以向上斜掷标枪，投掷方向与水平成角，问标枪能投掷多远？
【练习5】求函数在的导数.
【练习6】已知函数在处可导，
则 .
考点三：导数的几何意义
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．
由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．
考点四：曲线的切线方程
一般地，与曲线有交点并且在某个交点处的斜率等于该点导数值的直线叫做曲线的切线.
从定义可以看出，切线和曲线可以有多个交点.
切线的割线定义：若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.
当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.
【例1】求抛物线在点的切线斜率.
【例2】求双曲线在点的切线方程.
【例3】求抛物线过点的切线方程.
思考：通过以上几个例题，你总结出了几种切线的条件和求法？记录下来吧！
【练习1】已知曲线和其上一点，这点的横坐标为，求曲线在这点的切线方程.
【练习2】已知求
【练习3】已知曲线上一点，用斜率定义求：
（Ⅰ）在点A的切线的斜率；
（Ⅱ）在点A的切线方程．
【练习4】求函数的图象上过点的切线方程．
【练习5】求曲线在点处的切线方程。
【练习6】曲线在点处的切线方程为，则______.
【练习7】⑴曲线在点处的切线方程是____．
⑵曲线过点的切线方程是_________.
【拓展提升】
【练习1】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．
【练习2】已知直线与曲线有公共点，则的最大值为________．
【练习3】设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点在第一象限．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点的坐标．
【小试牛刀】
1. 求函数在区间的平均变化率.
2. 求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．
3.求下列函数的导数：
4. 已知曲线：，求曲线上横坐标为的点的切线方程．
5.求抛物线过点的切线方程.
6.商与有关吗？令，是否应保持不变？
【巩固练习】
求函数在区间的平均变化率.
求函数在区间的平均变化率.
3. 若,则 .
4. 若函数，则当时，函数的瞬时变化率为
A. 1 B. C. 2 D.
5 求函数在处的导数
6 已知直线与曲线切于点，则的值为
A.3 B.－3 C.5 D.－5
7 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8 若函数，则曲线在点处的切线的方程为________．
9. 求下列曲线在给定点的切线方程
10. 求曲线在点处的切线方程.
11.已知曲线上一点，用斜率定义求：
（Ⅰ）在点的切线的斜率；
（Ⅱ）在点的切线方程．
12.已知函数,.
若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;第一讲 导数的概念及其意义
【课前诊断】
成绩： 完成情况： 优/中/差
1.求函数在区间的平均变化率.
【答案】
2.求函数在区间的平均变化率.
【答案】
3.求函数在处的导数.
【答案】
4.已知函数在处可导，则
【答案】
5. 求函数在点处的切线方程.
【答案】
【教学目标】
（1）变化率与导数
①通过分析函数图象，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义
③利用导数的几何意义求简单函数的切线方程
【知识框架】
【知识要点】
考点一：函数的平均变化率
如图所示的函数上有两个不同的点，我们看现在从点到的过程中，假定这段是一条线段，自变量的该变量为，记作，函数值的该变量为，记作，即
于是，我们从变到的过程中，假定直线的斜率为，很明显可以看到
对于直线段倾斜程度我们可以很清晰的利用函数的斜率表示出来，那么对于曲线部分的倾斜程度我们应该怎么刻画呢？一个很自然的想法是将曲线段分解成许多小段，当小段分的足够多时，每小段可以近似视为平直的，这个时候我们可以利用对直线段分析的方法，得到曲线某部分的倾斜程度可以用比值近似刻画.注意各小段是不尽相同的.但不管是哪一个小段，函数值的变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度量.由此，我们引出函数平均变化率的概念.
一般地，已知函数在区间，是其定义域内不同的两点，记：
则当时，商
称作函数在区间（或）的平均变化率
注意：这里的可为正值，也可为负值，但，可以为.
【例1】 函数在区间的平均变化率.
解：函数在区间的平均变化率为
由上式我们可以很容易看出，这个函数的平均变化率与和取值都有关系，例如当取正值并且不断变大时，该函数的平均变化率也不断增大，从上看这条曲线变得越来越“陡峭”.
【例2】 求函数在区间的平均变化率.
解：函数的平均变化率为
【例3】求函数在区间的平均变化率.
解：函数的平均变化率为
【例4】求函数在区间的平均变化率.
解：该函数的平均变化率为
【例5】求函数在到之间的平均变化率．
解：该函数的平均变化率为
通过以上五个例题，你明确了求函数平均变化率的方法了吗？请试着总结下来
【练习1】求函数在区间的平均变化率
【答案】
【练习2】求函数在区间的平均变化率。
【答案】
【练习3】求函数在区间的平均变化率。
【答案】
【练习4】求函数在区间的平均变化率。
【答案】
【练习5】函数在闭区间内的平均变化率为
A. B. C. D.
【答案】 D.
【练习6】求函数在区间的平均变化率.其中，哪一个最大？哪一个最小？
【答案】
在区间上的平均变化率分别为，
在区间上变化最小，在区间上的变化最大
【练习7】试指出正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？
【答案】在上平均变化率比较大.
考点二：瞬时变化率与导数
设函数，函数图象如图所示.我们可以从图上看到，从到的过程中，函数的平均变化率为
当取一系列越来越小的值时，平均变化率会有什么样的变化呢？下面我们来看从变化到的过程中平均变化率的变化情况
①当时，
②当时，
③当时，
④当时，
以上计算表明，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率
趋近于常数2，我们把这个常数称为在处的瞬时变化率.
在这里我们需要说明两点：
（1）在上面的例子中，我们研究的是平均变化率到某一个自变量值的变化过程中，自变量的间隔越来越小，能超过任意小的时间间隔，但始终不能为0.
（2）当趋近于0时，存在着一个数与商无限接近.
应当注意，我们这里研究的问题与以前学过的数学有质的不同，这里研究的是两个变量与比值变化的性质与状态.尽管，在变化中都趋于，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数.
由以上分析，我们给出函数瞬时变化率的概念.
设函数在及其附近有定义，当自变量附近改变量为时，函数值相应地改变
如果当趋近于时，平均变化率
趋近于一个常数,那么常数称为函数在点的瞬时变化率.（“趋近于”可以用箭头 表示，读作，趋近于）记作：
当时，
上述过程，通常也记作
函数在点的瞬时变化率，通常称为在点处的导数，并记作.
这时又称在点处是可导的.于是整个变化过程，可以记作
当时，
或
如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导.这样，对内每个值,都对应一个确定的导数.于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数.记为或.
我们需要强调几点：
（1）函数的连续与不连续可以通过函数图象是否有分段点确定
（2）函数可导和函数连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导.例如等
（3）导函数简称为导数、导数值指函数在某个点的导数
【例1】火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到.试问熄火后多长时间火箭向上速度为 已知：火箭的运行方程为：
解：火箭的运动方程为：
火箭向上位移是初速度引起的位移与重力引起的位移的合成.
在附近的平均变化率为
当时，上式趋近于.可见时刻的瞬时速度
令 =0，
解得
所以火箭熄火后约向上速度变为0.
思考一下：
火箭向上速度变为0，意味着什么？你能计算出此火箭熄火后上升的最大高度吗？
【例2】一正方形铁板在时，边长为，加热后铁板会膨胀，当温度为时，边长变为，为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.
解：设温度的增量为，则铁板面积的增量：
因此
令，得
所以铁板对温度的膨胀率为.
【例3】我们知道，圆面积是半径的函数，；圆周长也是圆半径的函数，.利用导数定义，写出对半径的导数，说出每一步的几何意义，以及它与圆周长之间的关系.
解：设圆半径的增量为，则圆面积的增量：
因此
令，得
所以对半径的导数为，它与圆的周长相等.
思考：
类似的，讨论球的体积与球面积公式的关系.由此，你发现了什么？
【例4】求函数在的瞬时变化率
解：函数在处的瞬时变化率就是函数在处的导数.
所以
【练习1】设一物体的运动方程是
，
其中为初速度，为加速度，时间单位为求的瞬时速度.
【答案】
【练习2】求函数的导数
【答案】
【练习3】如果一个函数的导数处处为，这个函数是什么函数？
【答案】常函数
【练习4】一同学在投掷场以向上斜掷标枪，投掷方向与水平成角，问标枪能投掷多远？
【答案】竖直方向利用导数求出标枪竖直方向速度为时所用时间为
利用水平方向上求出投掷距离：
【练习5】求函数在的导数.
【答案】12
【练习6】已知函数在处可导，
则 .
【答案】
考点三：导数的几何意义
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．
由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．
考点四：曲线的切线方程
一般地，与曲线有交点并且在某个交点处的斜率等于该点导数值的直线叫做曲线的切线.
从定义可以看出，切线和曲线可以有多个交点.
切线的割线定义：若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.
当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.
【例1】求抛物线在点的切线斜率.
解：在点的切线斜率是
因此，抛物线在点的切线的斜率为.
【例2】求双曲线在点的切线方程.
解：因为
所以这条双曲线在点的切线斜率为
由直线方程的点斜式，得切线方程为
即
【例3】求抛物线过点的切线方程.
解：点不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点.因为
所以此切线的斜率为又因为此切线过点和点，所以
即
解得：
因此，过切点的切线方程分别为
即所求切线方程为
思考：通过以上几个例题，你总结出了几种切线的条件和求法？记录下来吧！
【练习1】已知曲线和其上一点，这点的横坐标为，求曲线在这点的切线方程.
【答案】
【练习2】已知求
【答案】
【练习3】已知曲线上一点，用斜率定义求：
（Ⅰ）在点A的切线的斜率；
（Ⅱ）在点A的切线方程．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【练习4】求函数的图象上过点的切线方程．
【答案】
【练习5】求曲线在点处的切线方程。
【答案】
【练习6】曲线在点处的切线方程为，则______.
【答案】4
【练习7】⑴曲线在点处的切线方程是____．
⑵曲线过点的切线方程是_________.
【答案】⑴；⑵或．
【拓展提升】
【练习1】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．
【答案】
【练习2】已知直线与曲线有公共点，则的最大值为________．
【答案】　
【练习3】设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点在第一象限．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点的坐标．
【答案】(1) ；(2)
【小试牛刀】
1. 求函数在区间的平均变化率.
【答案】 ．
2. 求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．
【答案】，，
3.求下列函数的导数：
【答案】
4. 已知曲线：，求曲线上横坐标为的点的切线方程．
【答案】
5.求抛物线过点的切线方程.
【答案】切点为或
切线方程为或
6.商与有关吗？令，是否应保持不变？
【答案】与有关，可以变化
【巩固练习】
求函数在区间的平均变化率.
【答案】
求函数在区间的平均变化率.
【答案】
3. 若,则 .
【答案 】
4. 若函数，则当时，函数的瞬时变化率为
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
5 求函数在处的导数
【答案】
6 已知直线与曲线切于点，则的值为
A.3 B.－3 C.5 D.－5
【答案】A
7 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
8 若函数，则曲线在点处的切线的方程为________．
【答案】
9. 求下列曲线在给定点的切线方程
【答案】
10. 求曲线在点处的切线方程.
【答案】
11.已知曲线上一点，用斜率定义求：
（Ⅰ）在点的切线的斜率；
（Ⅱ）在点的切线方程．
【答案】（1），（2）.
12.已知函数,.
若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
【答案】

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