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第一讲 分类与分步计数原理
入门测
例1.由数字0，1,2,3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
（3）无重复数字的三位偶数？
例2.如果，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
例3.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项：
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
题型一：分类加法计数原理
知识清单
知识1：分类加法计数原理
（1）分类加法计数原理的概念
做一件事，完成它有类办法，做第一类办法有种不同的方法，做第二类办法有种不同的方法……做第类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）分类加法计数原理的特点
分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用，，…，来表示分类加法计数原理，一共有种方法，强调每一类中的一种方法就可以完成这件事．
（3）分类的原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类：二是不同类的任何方法必须是不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏．
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．
②完成这件事的种方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法部可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
③确立恰当的分类标准，准确地对这件事进行分类，要求每一种方法必定属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既不重复也不遗漏．
④分类加法计数原理的集合表述形式
做一件事，完成它的办法用集合表示，被分成n类，分别用集合表示，即，且，中分别有种不同的方法，即集合中分别有个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合中的元素的个数为．
典型例题
例1.一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
例2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？
例3.某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生数 女生数 总数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班戈生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
方法总结：
根据已知条件确定好分类标准后，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”之间是相互独立的，是确定的．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，完成这件事有类方法，其中的每一种都可以独立完成这件事．
题型二：分步乘法计数原理
知识清单
知识1：分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理的慨念
做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）分步乘法计数原理的特点
分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情，可以利用图形→→…→来表示分步乘法计数原理，图中的“→”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共m1×m2×…mn种不同的方法可以完成这件事．
（3）分步的原则
应用分步乘法计数原理解题时要注意以下几点：
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事：
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成：
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤之中既不能重复也不能遗漏．
典型例题
例1.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书：
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英文书各一本，有多少种不同种的取法？
例2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？
例3.我们把壹元硬币有牡丹的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5,枚壹元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？
例4.乘积展开后，共有_______项；
方法总结：
应用分步乘法计数原理时，关键是确定分步的步骤，必须是连续做完几步，要不漏不重．
题型三：综合问题
知识清单
知识1:分类加法计算原理与分步乘法计数原理的关系
（1）分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，都是计数的方法，二者的区别在于：分类加法计数原理针对的是分类问题，其各种方法之间是相互独立的，其中的任何一种方法都可以单独完成这件事：分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成，才算完成这件事，单独的一步或几步不能完成这件事．
（2）两个计数原理的区别在于分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，可以用下表表示：
区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
① 完成一件事，共有类办法，关键词是分类 完成一件事．共分个步骤，关键同是分步
② 每类办法都能独立完成这件事，它们是独立的，一次性的，且每一次得到的部是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不可能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事
③ 各类办法之间是互斥的，并列的，独立的 各步之问是有关联的，不独立的，关键确保不遗漏、不重复
（3）计数原理的选择
如果完成一件事有类办法，这类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事情要分成个步骤，各个步骤都是不可或缺的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数，就用分步乘法计数原理．
从思想方法的角度看，分类加法计数原理是将问题进行“分类”思考；分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考，这两种方法贯穿本章的始终．
典型例题
例1.由数字0，1,2,3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
（3）无重复数字的三位偶数？
例2.如果，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
例3.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项：
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
例4.用十个数字，可以组成多少个：
（1）三位数？
（2）无重复数字的三位数？
（3）小于500的无重复的三位数字？
（4）小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位数？
（5）小于100的无重复数字的自然数？
方法总结：
在解决计数问题时，最重要的是在开始汁算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
①分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数．最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．第一讲 分类与分步计数原理
入门测
例1.由数字0，1,2,3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
（3）无重复数字的三位偶数？
【答案】18；48；10
例2.如果，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【答案】14
例3.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项：
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
【答案】6；64
题型一：分类加法计数原理
知识清单
知识1：分类加法计数原理
（1）分类加法计数原理的概念
做一件事，完成它有类办法，做第一类办法有种不同的方法，做第二类办法有种不同的方法……做第类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）分类加法计数原理的特点
分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用，，…，来表示分类加法计数原理，一共有种方法，强调每一类中的一种方法就可以完成这件事．
（3）分类的原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类：二是不同类的任何方法必须是不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏．
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．
②完成这件事的种方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法部可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
③确立恰当的分类标准，准确地对这件事进行分类，要求每一种方法必定属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既不重复也不遗漏．
④分类加法计数原理的集合表述形式
做一件事，完成它的办法用集合表示，被分成n类，分别用集合表示，即，且，中分别有种不同的方法，即集合中分别有个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合中的元素的个数为．
典型例题
例1.一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
【答案】24
例2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？
【答案】1+2+3=6（种）
例3.某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生数 女生数 总数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班戈生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：
第1类，从高三（1）班学生中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班学生中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班学生中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50+60+55=165（种）不同的选法．
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班，高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30+30+20=80（种）不同的选法．
方法总结：
根据已知条件确定好分类标准后，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”之间是相互独立的，是确定的．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，完成这件事有类方法，其中的每一种都可以独立完成这件事．
题型二：分步乘法计数原理
知识清单
知识1：分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理的慨念
做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）分步乘法计数原理的特点
分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情，可以利用图形→→…→来表示分步乘法计数原理，图中的“→”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共m1×m2×…mn种不同的方法可以完成这件事．
（3）分步的原则
应用分步乘法计数原理解题时要注意以下几点：
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事：
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成：
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤之中既不能重复也不能遗漏．
典型例题
例1.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书：
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英文书各一本，有多少种不同种的取法？
【答案】10种，30种
例2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？
【答案】120个；96个；36个.
例3.我们把壹元硬币有牡丹的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5,枚壹元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？
【答案】32个
例4.乘积展开后，共有_______项；
【答案】；
方法总结：
应用分步乘法计数原理时，关键是确定分步的步骤，必须是连续做完几步，要不漏不重．
题型三：综合问题
知识清单
知识1:分类加法计算原理与分步乘法计数原理的关系
（1）分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，都是计数的方法，二者的区别在于：分类加法计数原理针对的是分类问题，其各种方法之间是相互独立的，其中的任何一种方法都可以单独完成这件事：分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成，才算完成这件事，单独的一步或几步不能完成这件事．
（2）两个计数原理的区别在于分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，可以用下表表示：
区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
① 完成一件事，共有类办法，关键词是分类 完成一件事．共分个步骤，关键同是分步
② 每类办法都能独立完成这件事，它们是独立的，一次性的，且每一次得到的部是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不可能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事
③ 各类办法之间是互斥的，并列的，独立的 各步之问是有关联的，不独立的，关键确保不遗漏、不重复
（3）计数原理的选择
如果完成一件事有类办法，这类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事情要分成个步骤，各个步骤都是不可或缺的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数，就用分步乘法计数原理．
从思想方法的角度看，分类加法计数原理是将问题进行“分类”思考；分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考，这两种方法贯穿本章的始终．
典型例题
例1.由数字0，1,2,3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
（3）无重复数字的三位偶数？
【答案】18；48；10
例2.如果，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【答案】14
例3.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项：
（1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
（2）有4名学生参加这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
【答案】6；64
例4.用十个数字，可以组成多少个：
（1）三位数？
（2）无重复数字的三位数？
（3）小于500的无重复的三位数字？
（4）小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位数？
（5）小于100的无重复数字的自然数？
【答案】900；648；288；64；91
方法总结：
在解决计数问题时，最重要的是在开始汁算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
①分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数．最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

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