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第一讲 条件概率与全概率公式专题讲义
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：＝＝.
答案：B
2.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
【答案】C
【解析】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，又，
故选：C.
3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设事件A表示某地四月份吹东风，事件表示四月份下雨．
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率．
故选：A
【知识点一:条件概率】
许多情况下，我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题，我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作：P(B|A)
定义1：设A、B是样本空间S中的两个事件，且P(A)>0，称
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
【典型例题】
例1.已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设事件A表示 “第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，
P（A），P（AB），
则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：
P（B|A）.
故选：C.
练1.一夜之间，“地摊经济”火遍整个社交媒体，也成为了口罩、呼吸机、直播带货、头盔之后的又一个经济领域的热词，某地摊集中点在销告旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是_________ .
【答案】
【解析】
设事件A：该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次.
设事件B：随后一天的接纳顾客量超过1万人次.
根据条件有：，所以
故答案为：
练2.在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：C
练3.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：方法一：设A＝{第一次摸到红球}，B＝{第二次摸到红球}，AB＝{两次摸出都是红球}，则由古典概型知P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
方法二：第一次摸出红球后，9个球中有5个红球，此时第二次也摸出红球的概率为.
答案：D
例2. （多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．、、两两互斥
【答案】BD
【解析】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，
所以，故B正确；
同理，
所以，故AC错误；
故选：BD
练1.一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：记A:取的球不是红球，B:取的球是绿球．则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
答案：C
练2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)
A．0.72 B．0.8
C. D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
练3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：B
【小试牛刀】
1．用“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[答案]　B
[解析]　解法1：∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝，故选B．
解法2：在B发生的条件下，问题转化为：用“0”、“1”、“2”组成三位数码，其中第二位数字为0，则P(A|B)为在上述条件下，第一位数字为0的概率，∴P(A|B)＝＝.
2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D[解析]　设第一次摸到的是红球为事件A，则P(A)＝＝，设第二次摸得红球为事件B，则P(AB)＝＝，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P(B|A)＝＝，选D．
8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________.
[答案]　[解析]　设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
【巩固练习——基础篇】
1.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于________．
解析：∵P(B|A)＝，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，∴P(B)＝＝＝.
答案：
2.盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
解：由题意得球的分布如下：
玻璃 木质 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
【巩固练习——提高篇】
1.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
甲独自选修一门，则有门选修课可选，则乙、丙只能从剩下的门选修课中选择，可能性为，
所以甲独自选修一门的可能性为，因为三个人选修的课程都不同的可能性为.
.
故选：B
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求：
(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；
(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．
解：设第i次接通电话为事件Ai(i＝1,2,3)，则A＝A1∪(A2)∪( A3)表示不超过3次就接通电话．
(1)因为事件A1与事件A2， A3彼此互斥，
所以P(A)＝＋×＋××＝.
(2)用B表示最后一位是奇数的事件，则
P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＋P( A3|B)
＝＋＋＝.
3.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，
(1)求白球的个数．
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球数为x个．
则P(A)＝1－＝，
故x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则
P(BC)＝·＝＝，P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.
【知识点一：乘法公式与全概率】
1.乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.
2.乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，
则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率．
3.全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(2)定理　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝＝.
【典型例题】
考点一： 全概率
例1.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08
C．0.07 D．0.125
【答案】A
例2.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
例3.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
例4. 例4．某厂产品的废品率为4%，而合格品当中有75%是一等品，一等品率为________..
【答案】0.72
【小试牛刀】
1.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
【答案】0.087
2.一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
【答案】
3．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
【答案】
4．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时，打破的概率为0.5，若第一次落下时未打破，第二次落下打破的概率为0.7，若前两次未打破，第三次落下打破的概率为0.9，试求透镜落下三次未打破的概率________.
【答案】
【巩固练习】
1．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
【答案】
(1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝.
(2)P(A1|B)＝
2.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
【答案】(1)P＝0.7.
P＝0.8.
3．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)
【答案】0.998第一讲 条件概率与全概率公式专题讲义
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
2.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【知识点一:条件概率】
许多情况下，我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题，我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作：P(B|A)
定义1：设A、B是样本空间S中的两个事件，且P(A)>0，称
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
【典型例题】
例1.已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
练1.一夜之间，“地摊经济”火遍整个社交媒体，也成为了口罩、呼吸机、直播带货、头盔之后的又一个经济领域的热词，某地摊集中点在销告旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是_________ .
练2.在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是(　　)
A. B.
C. D.
练3.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
例2. （多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．、、两两互斥
练1.一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
练2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)
A．0.72 B．0.8
C. D．0.9
练3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
【小试牛刀】
1．用“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________.
【巩固练习——基础篇】
1.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于________．
2.盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【巩固练习——提高篇】
1.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A． B． C． D．
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求：
(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；
(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．
3.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，
(1)求白球的个数．
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
【知识点一：乘法公式与全概率】
1.乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.
2.乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，
则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率．
3.全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(2)定理　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝＝.
【典型例题】
考点一： 全概率
例1.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08
C．0.07 D．0.125
例2.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A. B.
C. D.
例3.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B.
C. D.
例4. 例4．某厂产品的废品率为4%，而合格品当中有75%是一等品，一等品率为________..
【小试牛刀】
1.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
2.一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
3．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
4．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时，打破的概率为0.5，若第一次落下时未打破，第二次落下打破的概率为0.7，若前两次未打破，第三次落下打破的概率为0.9，试求透镜落下三次未打破的概率________.
【巩固练习】
1．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
2.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
3．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)

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