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第十讲 指数函数
重难点一、指数图像综合
【例1】已知，，若对，， ，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】:根据题意，问题转化为，时，；求出对应的最小值，再解不等式即可．
【解答】：，，，
等价于，，
当时，；
当时，，
所以，
解得，
所以m的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．
【变式1】如图，面积为8的平行四边形，对角线， 与交于点 ，某指数函数，经过点，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】:首先设点，则点B坐标为，又因为，所以；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入，求出a的值即可．
【解答】：设点，则点B坐标为，
又因为，
所以；
因为平行四边形
所以，，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
重难点二、指数复合综合
【例2】函数的递增区间是________．
【答案】：
【解析】：令在上单调递增．又因为对恒成立，所以是增函数．
故的递增区间是．
【变式1】函数的单调递减区间为(　　)
A． B． C． D．
【答案】：B　解析：函数y＝u为R上的减函数，欲求函数 的单调递减区间，只需求函数的单调递增区间，而函数的单调递增区间为．
【变式2】已知函数满足，则函数的单调增区间是________．
【答案】： 　解析：∵ ，∴，
∴．
令，则．
∵是减函数，的减区间是，
∴的增区间是 ．
【例3】已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【解析】：由已知得，
∵原方程有两个不相等的实数根，∴，
∴，
∵2x＞0，∴，
∴，∴0＜a＋1＜1，∴．
即a的取值范围是．
【变式1】设函数则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】：当时，，所以，，即符合题意．
当时，，若，则，即，所以，综上所述， 的取值范围是，故选C
【例4】已知，求函数的值域．
【解析】：由，
解得．
又在x上是减函数，
∴，
故的值域为．
【变式1】若函数，则该函数在上(　　)
A．单调递减且无最小值 B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值 D．单调递增且有最大值
【解析】：　函数为减函数，，故，无最值．
【答案】：　A
重难点三、指数参数综合
【例5】若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
　　A． 　　B． 　　　　C． 　　　 D．
【答案】：D
【解析】：因为，所以由得，在坐标系中，作出函数，的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D．
【变式1】已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【解析】： 当时，
即
，
【例6】已知．
（1）求的值域；
（2）设，时，对任意总有成立，求的取值范围．
【解析】：（1）设，则
当时，，的值域为
当时，，的值域为
当时，，在上单调递减，在上单调递增
的值域为 ┄┄┄┄┄6分
综上，当时的值域为
当时的值域为； ┄┄┄┄┄7分
（2）由题对任意总有
在满足 ┄┄┄┄┄9分
设，则，
当即时在区间单调递增
（舍去）
当时，不合题意 ┄┄┄┄┄11分
当时，
若即时，在区间单调递增
若即时在递减，在递增
┄┄┄┄┄14分
若即时在区间单调递减
（舍去） ┄┄┄15分
综上所述： ┄┄┄┄┄16分
【变式1】定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，
即
又由
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设则
因为函数在R上是增函数且 ∴
又 ∴即
∴在上为减函数。
因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，
从而判别式
【例7】设函数是定义在的奇函数
（1）求的值
（2）若，试求不等式的解集
（3）若且在上的最小值为，求的值
【解析】：（1）
（2）由在上单调递增
（3）由
令
对称轴
当时
即
当时，
【变式1】已知函数
证明：（1）函数在上为增函数；
（2）用反证法证明方程没有负数根。
【答案】：（1）证明：任取，且，
。
在上为增函数。
（2）假设方程有负数根，则
当时，，，，矛盾；
当时，，而
矛盾。
无论或，都不可能使成立。
故方程无负数根。
作业
1．已知，求函数的值域．
【解析】：．
令，则．
∵，∴．
∴当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
即的最大值为，最小值为．
∴函数的值域为．
2．函数的值域为__________________．
【解析】:由题知函数的定义域为．
∵,
又为减函数,∴．
故函数的值域为．
【答案】：
3．设函数是偶函数，则实数的值为____________
【解析】：令
是奇函数，要使为偶函数
所以为奇函数，
又定义域为R，所以
解得
4．设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数
， 取函数。当时，函数的单调递增区间为（ ）
　　A ． 　　　B． 　　C ． 　D ．
【答案】：C
5．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【答案】：（Ⅰ）是；（Ⅱ）；（Ⅲ） ．
【解析】：（Ⅰ）当时，
方程即有解．
所以为“局部奇函数”。
（Ⅱ）当时，可化为，
因为的定义域为，所以方程在上有解，
令，则。
设，
则在上为减函数，在上为增函数
所以时，，
所以，即。
（Ⅲ）当时，可化为
设，，
从而在有解即可保证为“局部奇函数”。
令，
当在有解，
由，即，解得；
当时，在有解等价于
解得
综上，所求实数的取值范围为第十讲 指数函数
重难点一、指数图像综合
【例1】已知，，若对，， ，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，面积为8的平行四边形，对角线， 与交于点 ，某指数函数，经过点，则（　　）
A． B． C．2 D．3
重难点二、指数复合综合
【例2】函数的递增区间是________．
【变式1】函数的单调递减区间为(　　)
A． B． C． D．
【变式2】已知函数满足，则函数的单调增区间是________．
【例3】已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【变式1】设函数则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，求函数的值域．
【变式1】若函数，则该函数在上(　　)
A．单调递减且无最小值 B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值 D．单调递增且有最大值
重难点三、指数参数综合
【例5】若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
　　A． 　　B． 　　　　C． 　　　 D．
【变式1】已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【例6】已知．
（1）求的值域；
（2）设，时，对任意总有成立，求的取值范围．
【变式1】定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【例7】设函数是定义在的奇函数
（1）求的值
（2）若，试求不等式的解集
（3）若且在上的最小值为，求的值
【变式1】已知函数
证明：（1）函数在上为增函数；
（2）用反证法证明方程没有负数根。
作业
1．已知，求函数的值域．
2．函数的值域为__________________．
3．设函数是偶函数，则实数的值为____________
4．设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数
， 取函数。当时，函数的单调递增区间为（ ）
　　A ． 　　　B． 　　C ． 　D ．
5．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

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