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第13讲 三角函数概念
一、基础知识
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的_____，射线的端点O叫做角的_____，旋转终止位置的射线OB叫做角的____，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个___角．
(1)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为_________ ；
终边在y轴上的角表示为___________ ；
终边落在坐标轴上的角可表示为________ _．
(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合____ 或______ ，（要求前者用角度制表示，后者用弧度制表示）．
(4)弧度制：把长度等于__ 长的弧所对的___ 叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__ ，它的单位符号是__ ，读作___ ，通常略去不写．（半径、圆心角、弧度制、、弧度）
(5)度与弧度的换算关系
360°＝___ rad；180°＝__ rad；1°＝___ rad；1 rad＝________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝____ ．S扇＝________＝_______.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①__叫做的正弦，记作，即；②____叫做α的余弦，记作，即；③____叫做α的正切，记作tan α，即；④____叫做α的余切，记作，即． （、、、）
一般地，在角上的终边上任取一点（除端点外），设，则
， ， ， . （、、、）
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示角的 、角的____ 和角的___ ．
（3）三角函数的定义域：的定义域都是 ，的定义域为 .
（4）特殊角的三角函数值
的角度
的弧度
不存在
二、经典题型
题型一、三角函数的概念
（一）角所在象限的判断
【例1.1】 已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为________．
【解析】：在内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为 (k∈Z)．
【例1.2】 若角在第三象限，则在第________象限．
【解析】：．
当是第二象限角，
当是第四象限角，
综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角．
【变式】 设集合，，那么(　　)
A. B. C. D.
【答案】
利用角终边上的点计算三角函数值
【例2】 已知角的终边经过点且，，试判断角所在的象限，并求和的值．
【解析】：由题意得
，
，
综上可知，，
【变式2】 已知角的终边过点，且，则的值为(　　)
A. B. C． D.
【解析】：
【例3】 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】： 由三角函数定义可知Q点的坐标满足.
【变式】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【例4】已知的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于________．
【解析】：由条件可得。
【变式】角终边上的点与关于轴对称，角终边上的点与关于直线对称，求的值．
【解析】：由题意得，点的坐标为，点的坐标为，
所以，，，，
，，，
故有
题型二、扇形的弧长与面积
【例5】已知扇形的周长为.
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长.
【解析】：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
(1)由题意可得 ， 解得或
.
(2)，
当且仅当，即时，扇形面积取得最大值.
∴，∴弦长.
【变式】已知扇形的周长为，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
【答案】：　 　
【解析】：设扇形圆心角为，半径为，则.
∴，
∴当时，此时|.
题型三、利用三角函数线比较大小
【例6】（1）；（2）；（3）.
【解析】：
在单位圆中，正弦上大下小，比较的高低得。
在单位圆中，余弦右大左小，比较的左右得。
在单位圆中，正切上大下小，比较的高低得。
【变式1】，比较的大小.
【解析】：如图所示，，在单位圆中
作出的正弦线，余弦线和正切线，
显然有，
故有。
【变式2】设，则有(　　)
A． B． C． D．
解析　如图作出角 的正弦线、余弦线及正切线，显然，，即 .
题型四 利用三角函数线解三角不等式
【例7】利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合．
（1）； （2）； （3） ； （4）且．
【答案】：（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【变式】若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】：由，得，
在单位圆中标出所对的角。
这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，
因为，
在上面的部分取成立，
所以取的终边上面的部分，故不等式的解集为，
故选C。
课后作业
1. 已知角，在区间内与角有相同终边的角________.
【解析】由终边相同的角关系知，
∴取得或.
2. 已知角的终边经过点，且，则实数的取值范围是 (　 　)
A．(－2，3] B．(－2，3) C．[－2，3) D．[－2，3]
【解析】： 可知，角的终边落在第二象限或轴的正半轴上，所以有解得.故选A
3．利用三角函数线比较下列各组数的大小:
（1）和 （2）和
【解析】：（1）如下图所示，在单位圆中作出和的余弦线和，
　∵， 　
　
　（2）如下图所示，，，
　∵.
　
4．若，且，利用三角函数线，得到的取值范围是（ ）
【答案】：D
5．已知扇形周长为，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
【解析】：　设圆心角是，半径是，则，
.
当且仅当，即时，.
∴当时，扇形面积最大，即半径为，圆心角为弧度时，扇形面积最大．第13讲 三角函数概念
一、基础知识
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的_____，射线的端点O叫做角的_____，旋转终止位置的射线OB叫做角的____，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_ __时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个___角．
(1)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为_________ ；
终边在y轴上的角表示为___________ ；
终边落在坐标轴上的角可表示为________ _．
(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合____ 或______ ，（要求前者用角度制表示，后者用弧度制表示）．
(4)弧度制：把长度等于__ 长的弧所对的___ 叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__ ，它的单位符号是__ ，读作___ ，通常略去不写．（半径、圆心角、弧度制、、弧度）
(5)度与弧度的换算关系
360°＝___ rad；180°＝__ rad；1°＝___ rad；1 rad＝________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝____ ．S扇＝________＝_______.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①__叫做的正弦，记作，即；②____叫做α的余弦，记作，即；③____叫做α的正切，记作tan α，即；④____叫做α的余切，记作，即． （、、、）
一般地，在角上的终边上任取一点（除端点外），设，则
， ， ， . （、、、）
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示角的 、角的____ 和角的___ ．
（3）三角函数的定义域：的定义域都是 ，的定义域为 .
（4）特殊角的三角函数值
的角度
的弧度
不存在
二、经典题型
题型一、三角函数的概念
（一）角所在象限的判断
【例1.1】 已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为________．
【例1.2】 若角在第三象限，则在第________象限．
【变式】 设集合，，那么(　　)
A. B. C. D.
利用角终边上的点计算三角函数值
【例2】 已知角的终边经过点且，，试判断角所在的象限，并求和的值．
【变式2】 已知角的终边过点，且，则的值为(　　)
A. B. C． D.
【例3】 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 (　　)
A. B. C. D.
【变式】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【例4】已知的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于________．
【变式】角终边上的点与关于轴对称，角终边上的点与关于直线对称，求的值．
题型二、扇形的弧长与面积
【例5】已知扇形的周长为.
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长.
【变式】已知扇形的周长为，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
题型三、利用三角函数线比较大小
【例6】（1）；（2）；（3）.
【变式1】，比较的大小.
【变式2】设，则有(　　)
A． B． C． D．
题型四 利用三角函数线解三角不等式
【例7】利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合．
（1）； （2）； （3） ； （4）且．
【变式】若，则（ ）
A． B． C． D．
课后作业
1. 已知角，在区间内与角有相同终边的角________.
2. 已知角的终边经过点，且，则实数的取值范围是 (　 　)
A．(－2，3] B．(－2，3) C．[－2，3) D．[－2，3]
3．利用三角函数线比较下列各组数的大小:
（1）和 （2）和
4．若，且，利用三角函数线，得到的取值范围是（ ）
5．已知扇形周长为，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

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