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第14讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一.知识梳理
知识点一： 同角三角函数的基本关系
1.平方关系：
2.商数关系：，
三角函数中的几个重要技巧
①由可以表示,,之间的关系.即： .
②“1”的几种变形：，.
知识点二： 三角函数的诱导公式
函数
诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．
二．经典例题
题型一：公式基本运用（求参数）
【例1】已知，求，．
【变式1】已知,求.
【变式2】若是方程的两根，则的值为(　　)．
A． B． C． D．
题型二：诱导公式的化简（求值，求角）
【例2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知是三角形的内角，，是方程的两根．
(1)求角.
(2)若，求.
【变式2】已知为锐角，且有，
，则的值是(　 　)
A. B. C. D. .
题型三： 和、差、积互化
【例3】已知，且．
（1）求、的值；
（2）求的值．
【变式1】已知在中，．
（1）求的值；
（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求的值．
【变式2】已知是关于的方程的两个根．
(1)求的值；
(2)求的值．
题型四：齐次式的运用
【例4】已知,求下列各式的值:
(1)
(2)
(3).
【变式1】已知，求（1）；（2）；
（3）的值．
【变式2】已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
题型五：综合（化简、求值、证明）
【例5】设.
求的值
【变式】= ．
【例6】 已知关于的方程两根为和，． 求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）方程的两根及此时的值．
【例7】已知是关于的方程的两实根，且,求的值.
【变式】设为整数，化简：
【例8】定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
课后作业
1.已知，则等于(　 　).
A． B. C． D.
2. 记，若，求的值．
．
3. 已知，则的值为(　　)．
A． B． C． D.
4. 已知，则的值为________．
5. 若，则等于 (　　)
A. B． C． D．
6. 已知，
求的值．
7. 记，那么(　　)．
A． B． C． D．
8. 已知函数，计算：．第14讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一.知识梳理
知识点一： 同角三角函数的基本关系
1.平方关系：
2.商数关系：，
三角函数中的几个重要技巧
①由可以表示,,之间的关系.即： .
②“1”的几种变形：，.
知识点二： 三角函数的诱导公式
函数
诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．
二．经典例题
题型一：公式基本运用（求参数）
【例1】已知，求，．
【解析】：，
若时，则cosα＝，
tanα＝＝＝；
若时，则cosα＝－，
tanα＝．
【变式1】已知,求.
【解析】：由，得或
当时，
当 时（舍）
【变式2】若是方程的两根，则的值为(　　)．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：由题意知：，，
又，，
解得：，又，
∴或，．
题型二：诱导公式的化简（求值，求角）
【例2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】：
，选B
【变式1】已知是三角形的内角，，是方程的两根．
(1)求角.
(2)若，求.
【解析】：(1)由已知可得，①
又，
，
即，
得舍去)或，或，
将或代入①知时不成立，
(2)由，
得，
，，
或.
使，舍去，
故
【变式2】已知为锐角，且有，
，则的值是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】：(1)化简为
，①
化简为
.②
由①②消去，
解得又为锐角，根据，
解得.
题型三： 和、差、积互化
【例3】已知，且．
（1）求、的值；
（2）求的值．
【解析】：（1）由可得：
；
于是：，；
且，，．
于是：．
（2）；；．
【变式1】已知在中，．
（1）求的值；
（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求的值．
【解析】（1）, ∴两边平方得,
（2）由，且，可知，
为钝角，∴是钝角三角形
（3）由，
所以.
【变式2】已知是关于的方程的两个根．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】：由已知原方程的判别式，
即，或.
又，，则，
从而或舍去)，
因此
(1)
.
(2)
题型四：齐次式的运用
【例4】已知,求下列各式的值:
(1)
(2)
(3).
【解析】(1)原式==
(2)原式===
(3)原式====
【变式1】已知，求（1）；（2）；
（3）的值．
【解析】：（1）
（2）
.
(3)
【变式2】已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】:（1）方法一 联立方程：
由①得，将其代入②，整理得．
，，所以．
方法二，，
即， ．
又，，，
由①②可知：．
(2)由已知条件及（1）可知
，解得， ．
又．
题型五：综合（化简、求值、证明）
【例5】设.
求的值
【解析】：
原式
【变式】= ．
【解析】：令
则
，
【例6】 已知关于的方程两根为和，． 求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）方程的两根及此时的值．
【解析】（1）由韦达定理可知，
原式
．
（2）由①式平方得，，
由②得．
（3）当时，原方程变为，解得．
或，又，或．
【例7】已知是关于的方程的两实根，且,求的值.
【解析】：是关于方程
即
即,
=
【变式】设为整数，化简：
【解析】：法一：由，
原式
法二：分类讨论
①当为奇数时
原式=
②当为偶数时
原式=
【例8】定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】：由题得，，函数的周期为2.在上是减函数，所以在上减,故在上增.,,
课后作业
1.已知，则等于(　 　).
A． B. C． D.
【解析】：由于，则
=
2. 记，若，求的值．
【解析】：，
．．
3. 已知，则的值为(　　)．
A． B． C． D.
【解析】：，.
答案　C
4. 已知，则的值为________．
答案　－
【解析】：　
5. 若，则等于 (　　)
A. B． C． D．
答案　B
【解析】：由可知，，
两边同时除以得，
平方得，
，解得.
6. 已知，
求的值．
【解析】：，
∴原式
7. 记，那么(　　)．
A． B． C． D．
【答案】　B
【解析】：　由 ，得
8. 已知函数，计算：．
【解析】由诱导公式可知：， ．
，；
．
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