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第四讲 超几何分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A. B. C. D.
2. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量X的概率分布为：
0 1 2
则________，________，_______．
3 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，求这两次取出白球数X的分布列.
【知识点：超几何分布的定义】
一、价格变动对不同商品需求量的影响
在含有件次品的件产品中，任取n件，其中恰有件次品，， 其中 ，且,,.
称分布列
0 1 … m
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
温馨提示: (1)随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
(2)因为随机变量的各个取值之间彼此互斥，所以随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
【典型例题】
考点一： 集合的概念及集合中元素的特性
例1. 1. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用
后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为
(　　)
（A） （B） （C） （D）
练1.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A. B. C. D.
例2. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量X的概率分布为：
0 1 2
则________，________，_______．
练1 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，求这两次取出白球数X的分布列.
练2. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
考点二： 超几何分布应用
例1. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
练1.为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小.（只写出结果）
例2. 袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
练1.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了
对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：
A：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
B：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于的概率；
（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取个，记这两个数据中不低于的个数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．
【小试牛刀】
1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.
2.学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率.
3. 一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出废品不放回，求第一次取到合格品之前已取出的废品数的分布列．
【巩固练习——基础篇】
1. 某种彩票的开奖是从1，2，…,36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为：
含有基本号码数 4 5 6 7
中将等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖
2. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D．1
3. 把4个球随机地放入4个盒子中，设X表示空盒子的个数，求X的分布列．
4. 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
【巩固练习——提高篇】
1 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．
（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；
（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；
（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．第四讲 超几何分布
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A. B. C. D.
解析：P(X＝3)＝＝.
答案：D
2. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量X的概率分布为：
0 1 2
则________，________，_______．
【答案】
3 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，求这两次取出白球数X的分布列.
解析 X的所有可能取值为0，1，2.
，
，
【知识点：超几何分布的定义】
一、价格变动对不同商品需求量的影响
在含有件次品的件产品中，任取n件，其中恰有件次品，， 其中 ，且,,.
称分布列
0 1 … m
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
温馨提示: (1)随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
(2)因为随机变量的各个取值之间彼此互斥，所以随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
【典型例题】
考点一： 集合的概念及集合中元素的特性
例1. 1. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用
后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为
(　　)
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
练1.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A. B. C. D.
解析：P(X＝3)＝＝.
答案：D
例2. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量X的概率分布为：
0 1 2
则________，________，_______．
【答案】
练1 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，求这两次取出白球数X的分布列.
解析 X的所有可能取值为0，1，2.
，
，
.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
练2. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
解：(1)X的可能的取值为0,1,2，
X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)得，X的均值与方差为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(1－2)2×＝.
(3)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝.
考点二： 超几何分布应用
例1. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
解：(1)X的可能的取值为0,1,2，
X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)得，X的均值与方差为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(1－2)2×＝.
(3)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝.
练1.为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小.（只写出结果）
解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分
所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为. ……………3分
（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2. ……………4分
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
……………10分
（Ⅲ）S12=S22 ……………13分
例2. 袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
解析：由题意可知，X＝5,4,3.
故X的分布列为
X 5 4 3
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＝4.
D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝
练1.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了
对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：
A：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
B：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于的概率；
（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取个，记这两个数据中不低于的个数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．
解：（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，
从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，
设“所取两个数据都不低于55”为事件，则
（Ⅱ）的所有可能取值为
，
，
，
的分布列为
0 1 2
期望
（Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．
如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．
【小试牛刀】
1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.
解析：设摸出红球的个数为，则服从超几何分布，其中 于是中奖的概率 2.学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率.
解析：用表示该班被选中的人数，则服从超几何分布，其分布列为
该班恰有2名同学被选到的概率为
3. 一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出废品不放回，求第一次取到合格品之前已取出的废品数的分布列．
解：设在第一次取到合格品之前已取出的废品数为X，则X的可能取值为0,1,2,3.
所以所求的分布列为
X 0 1 2 3
P
【巩固练习——基础篇】
1. 某种彩票的开奖是从1，2，…,36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为：
含有基本号码数 4 5 6 7
中将等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖
解析： 用表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则服从超几何分布，其分布列为
至少中三等奖的概率为
2. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D．1
答案：A
3. 把4个球随机地放入4个盒子中，设X表示空盒子的个数，求X的分布列．
解：X的可能取值为0,1,2,3，
则随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
P
4. 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
解析 （1）由题意知X的可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以，考生甲正确完成题目个数X的分布列为
X 1 2 3
P
所以.
（2）设考生乙正确完成题目的个数为Y，
易知，
所以，
又因为，
所以.
又因为，
所以.
①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；
②从做对题数的方差来看，甲较稳定；
③从至少完成2道题的概率来看，甲获得通过的可能性较大.
综上，可以判定甲的实验操作能力强且甲通过的可能性大.
【巩固练习——提高篇】
1 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．
（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；
（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；
（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．
解：（Ⅰ）可能的取值为，，，. ……………1分
每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.
， ，
，，
……………5分
所以X的分布列为：
P
……………6分
（Ⅱ）设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则
. ……………8分
所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为
因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为. ……………10分
（Ⅲ）设每盘游戏得分为.
由（Ⅰ）知，的分布列为：
P
的数学期望为. ……12分
这表明，获得分数的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

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