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第11讲 对数与对数函数
一、知识点回顾
知识点一：对数的定义
1、一般地，如果的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数．记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
即若，且，则
．
2、常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lg_N，
以e=2．71828…为底的对数称为自然对数， loge N简记为ln_N．
3、对数的性质
①负数和零没有对数；②；③；
④； *⑤
知识点二：对数的运算
加法：
2、减法：
3、乘法：
知识点三：换底公式
1、．换底公式：==
2、换底公式的推论：
①=
②
③
④
知识点四：对数函数
定义： 形如函数的函数叫做对数函数.
2、对数函数的图象和性质：
(
(1,0)
O
) (
(1,0)
O
)0图 象
性 质 定义域
值域
过点，即时，
在上是增函数 在上是减函数
在轴上侧，图象从左到右相应的底数由大变小；在轴的下侧，图象从左到右相应的底数由小变大。
函数与函数互为反函数，图象关于直线对称。
题型一、对数运算
【例1】 计算：
【解析】原式＝＝
＝＝＝＝＝1.
【变式1】 ___________.
【解析】：，
【拓展】
【解析】：
题型二、对数图像
【例2】（1）函数的大致图象是(　　)
【答案】: B
【解析】：由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．
（2） 已知，则函数与函数的图象可能是(　　)
【解析】：∵，∴，
∵的定义域是(0，＋∞)，故排除A.
若，则，此时是增函数，是增函数．故选B.
【变式2】 已知，则的图像是下列选项中的（ ）
【解析】：A 方法一：排除法；方法二：图像的伸缩平移；题型三：比较大小
【例3】（1）设则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：，，，，所以，故:,故选A.
（2）已知,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】:B
【解析】：因为,且,而,所以,即,应选B．
【变式】（1）设,,,则（ ）
B． C． D．
【答案】:B
【解析】：因为,,,又,所以,选B．
（2）已知，，则（ ）
A． 　 B．　　　　　C． 　　　　D．
【答案】B
【解析】：由...可得.故选B.
题型四、利用对数函数的单调性解题
【例4】函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
【答案】：C
【解析】：由题意得由，两者复合而成，若，函数在其定义域内为减函数，而开口向上，在方向一定递减，故在区间上为增不符合题意；∴，即等价于在单调递减，且在恒成立，，，即的取值围是，故选C．
【变式】已知函数,若在上为减函数,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】：令，对称轴为.另一方面，，综上所述，.
【拓展】设函数则使得成立的的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：由函数可知函数为偶函数，且在上单调递增，所以不等式转化为，不等式解集为
题型五、对数函数的值域与最值
【例5】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解析】：，
∴函数在区间上单调递增
∴，，
∴ ， 解得，故选D
【变式】已知函数的最小值为，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设，则函数，且在[2，4]是减函数．
当时，函数在[2，4]是减函数，故当时，有最小值为，故．
当时，函数在[2，4]是增函数，故当时，有最小值为，故（舍去）．
故选 B．
【例6】已知函数
（1）定义域是，求的取值范围.
（2）值域是，求的取值范围。
解：（1）因为函数的定义域是R，故而对任意有 恒成立。
、时，左边=恒成立；
、时，由二次函数的性质可得：
（2）因为函数的值域是R，故而有
。
题型六、对数函数综合
【例7】已知是奇函数（其中，
（1）求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当定义域区间为时，的值域为，求的值.
解：（1）是奇函数，
即，
得；
（2）由（1）得
定义域为
令，则
为和上的减函数
当，由复合函数的单调性可得
为和上的减函数
（3） 由（2）知：函数在上是单调减函数
又 ，，即，解得
【变式】已知, ，
（1）求的表达式，并判断其单调性；
（2）当的定义域为时，解关于的不等式;
（3）若恰在 上取负值，求的取值范围.
⑴令
则，.
.
①当时，指数函数是增函数，是减函数，是增函数. 为增函数.
又因为， 是增函数.
②时，指数函数是减函数.
是增函数，是减函数.
为减函数
又因为
是增函数.
综上可知，在或者时，都是增函数.
⑵易判断函数是奇函数由
得，又为增函数，所以有，解得
，故不等式的解集
⑶当时，的值为负数，即恒成立，因为
为上的单调增函数，则，
整理得，所以，
又且，所以实数的取值范围是
课后作业
1、 已知为正数，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】：故选
2、=____________.
【解析】：
3、函数的递减区间为（ ）
A．（1，＋∞） B. C．（－∞，1） D.
【答案】：A
【解析】：令，则函数，．
令，求得，或，故函数的定义域为．
函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，
本题即求在区间（-∞，）∪（1，+∞）上的增区间．
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：当时，，，，原不等式不成立，当时，原不等式可转化为：，解得：，综上，的取值范围是：，故答案为：C.
5. 函数的图象大致是(　　)
【解析】:函数的定义域为，排除A、B；又函数在定义域内单调递减，排除D.选C.
6、 若函数是定义域为R的增函数。则函数的图像大致是（ ）
A B C D
【解析】：函数是定义域为的增函数，故，
那么的图像过定点且单调递减，故选D。
7、函数在区间上的最大值是最小值的倍，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解析】：∵，
∴是增函数．
∴， ∴， ∴．
故选D．
8、设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】：令则原不等式化为,此不等式恒成立，故
由得.
即所求的取值范围为.第11讲 对数与对数函数
一、知识点回顾
知识点一：对数的定义
1、一般地，如果的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数．记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
即若，且，则
．
2、常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lg_N，
以e=2．71828…为底的对数称为自然对数， loge N简记为ln_N．
3、对数的性质
①负数和零没有对数；②；③；
④； *⑤
知识点二：对数的运算
加法：
2、减法：
3、乘法：
知识点三：换底公式
1、．换底公式：==
2、换底公式的推论：
①=
②
③
④
知识点四：对数函数
定义： 形如函数的函数叫做对数函数.
2、对数函数的图象和性质：
(
(1,0)
O
) (
(1,0)
O
)0图 象
性 质 定义域
值域
过点，即时，
在上是增函数 在上是减函数
在轴上侧，图象从左到右相应的底数由大变小；在轴的下侧，图象从左到右相应的底数由小变大。
函数与函数互为反函数，图象关于直线对称。
题型一、对数运算
【例1】 计算：
【变式1】 ___________.
【拓展】
题型二、对数图像
【例2】（1）函数的大致图象是(　　)
（2） 已知，则函数与函数的图象可能是(　　)
【变式2】 已知，则的图像是下列选项中的（ ）
【例3】（1）设则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（1）设,,,则（ ）
B． C． D．
（2）已知，，则（ ）
A． 　 B．　　　　　C． 　　　　D．
题型四、利用对数函数的单调性解题
【例4】函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
【变式】已知函数,若在上为减函数,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【拓展】设函数则使得成立的的范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五、对数函数的值域与最值
【例5】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【变式】已知函数的最小值为，则（　　）
A． B． C． D．
【例6】已知函数
（1）定义域是，求的取值范围.
（2）值域是，求的取值范围。
题型六、对数函数综合
【例7】已知是奇函数（其中，
（1）求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当定义域区间为时，的值域为，求的值.
【变式】已知, ，
（1）求的表达式，并判断其单调性；
（2）当的定义域为时，解关于的不等式;
（3）若恰在 上取负值，求的取值范围.
课后作业
1、 已知为正数，则（ ）
A. B.
C. D.
2、=____________.
3、函数的递减区间为（ ）
A．（1，＋∞） B. C．（－∞，1） D.
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5. 函数的图象大致是(　　)
6、 若函数是定义域为R的增函数。则函数的图像大致是（ ）
A B C D
7、函数在区间上的最大值是最小值的倍，则等于（　　）
A． B． C． D．
8、设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．

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