资源简介

第四讲 三角恒等变换
课前检测
1． 化简：
（1）；
（2）
【答案】（1）（2）
2． 求值：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）0
3． 已知，且，求的值．
【答案】
4． 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则．
【答案】
5． 已知，则．
答案：
6． 已知，则
【答案】
教学目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算
3．熟练掌握倍角公式和半角公式
4．可以利用半角公式和倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式
知识框架
知识要点
引入
利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的，这就是三角恒等变换．不难发现，诱导公式是任意角与特殊角的和差恒等关系，那么将特殊角换成任意角，还能得到恒等关系吗？
知识点一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的余弦公式
;
．
不妨令
如图5．5-1，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点
．
连接,．若把扇形绕点旋转角，则点分别与点，重合，根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以
根据两点间的距离公式，得：
化简得：
当时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角有：
2．两角和差的正弦公式
;
．
证明：由诱导公式可以得到：
再把换成可以得到：
3．两角和与差的正切公式
(1);
(2)．
【思考1】如何得到利用已知的正弦与余弦公式得到正切公式？
根据正余弦与正切的关系：
【思考2】可以利用两角和差公式证明诱导公式吗？
4．两角和与差的正切公式的变形
(1)的变形：
;
;
．
(2)的变形：
;
;
．
经典例题
考点一：公式的应用、化简
【例1】求和的值
答案：，
【例2】（1）的值是( )
（A）0 （B） （C） （D）
（2）的值等于．
【答案】（1）C；（2）
【例3】求下列各式的值（1）（2）课本例题
（1）
（2）
（3）
【答案】（1），（2）,（3）-1
【练1】的值是（ ）
（A) （B） （C） （D）
【答案】Ｃ
【练2】（1）的值是( )
（A） （B） （C） （D）
（2）( )
（A） （B） （C） （D）
（3）的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）化简求值：
①
②
（5），则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（1）Ｃ；（2）C；（3）C；（4）；（5）B
【练3】（1）( )
（A） （B） （C） （D）
（2）与相等的是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，求的值.
【答案】（1）A；（2）B；（3）
【练4】求（1），（2）
【答案】（1）；（2）
【练5】求下列各式的值：
（1）；（2）
【答案】1，
【练6】满足的一组的值是( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】Ｂ
考点二：给定角的范围，利用公式求目标角度值
【例1】求下列各式的值．
（1）已知都是锐角，，求
（2）已知求．
（3）已知，求的值．
（4）已知，，求的值
【答案】，，，
【例2】已知，是第二象限角，求的值．
【答案】
【练1】（1）已知，是第三象限角，求的值．
（2）已知是第一象限角，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【练2】（1）已知，，则的值是
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，又，则( )
（A） （B）或 （C） （D）或
【答案】（1）C；（2）C
【练3】．
【答案】
【练4】（1）已知，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，则．
（3）已知，
则．
（4）已知是方程的根，且，
则．
【答案】（1）C；（2）；（3）；（4）
【练5】若，则．
【答案】
【练6】，为锐角，求
【答案】
【练7】已知函数
（Ⅰ）若点在角的终边上，求：和的值；
（Ⅱ）若，求的值域．
【答案】(1)，-(2)[-1，2]
试题解析:（1）因为点P（1，-）在角的终边上，所以sin=，cos=．
所以f（-）=2 sin（-+）=2 sin=2×（-）=-．
（2）令t=x+，则原函数化为g（t）=2 sint．
因为x[，]，所以≤t≤，
注意到y=sin t在[，]单增，在[，]单减，且ymax=g（）=2 sin=2，
而g（）=2 sin（）=-1，g（）=2 sin（）=2×=>-1，
即f（x）的值域为[-1，2]．
考点三：利用公式，判断三角形形状
【例1】在中，若，则的形状是
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）等腰三角形
【答案】B
【例2】在中，若,则的形状是
（A）钝角三角形 （B）锐角三角形
（C）直角三角形 （D）不确定
【答案】Ａ
【练1】在锐角三角形ABC中，若，则的值是
（A）大于1 （B）小于1
（C）可能等于1 （D）与1的关系不能确定
【答案】Ａ
【练2】是的三个内角，且是方程的两个实数根，则的形状是
（A）钝角三角形 （B）锐角三角形
（C）直角三角形 （D）无法确定
【答案】Ａ
知识点二：倍角公式与半角公式
1．倍角公式：
【思考】二倍角公式本质上是哪个公式的特殊形式？
两角和公式
2．半角公式：
经典例题：
【例1】（1）已知：，且，求．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）0；（2）
【例2】求下列各式的值．
（1）已知，求
（2）已知，为第三象限角，求．
（3）已知，求．
（4）已知，则．
【答案】（1）；（2）；(3)；（4）
【例3】设，化简
【答案】
【例4】若满足条件，则在(　　)
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】D
【例5】已知，，求的值．
【答案】
【例6】已知，(1)求的值；(2)求的值．
【答案】（1）；（2）==
【练1】已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【练2】已知第三象限角且则等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【练3】若，求的值．
【答案】
【练4】设，，求的值
【答案】=
【练5】，则．
【答案】
【练6】若，则的最终结果是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【练7】函数的最小正周期为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练8】已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
知识点3：同角辅助角公式
（其中（）为坐标系中的点）
证明：
令
我们可得到：
考点1：辅助角为特殊角，求函数的单调区间、对称中心、对称轴等．
【例1】若，且为锐角，求．
【答案】
【例2】函数的单调递增区间是
【答案】
【练1】若，求满足条件的的集合．
【答案】
【练2】分别求函数的最值和单调增区间
【答案】
（1）最大值为，最小值为，单增区间为：；
（2）最大值为2，最小值为-2，单调增区间为
【练3】求函数的对称轴与对称中心．
【答案】，，
【练习4】函数是(　　)
（A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的偶函数
（C）最小正周期为的奇函数 （D）最小正周期为的偶函数
【答案】A
考点2：辅助角为非特殊角时，求函数的最值．
【例1】求函数的最大值与最小值
【答案】5，-5
【练】求函数的最大值与最小值．
【答案】，
拓展提升
1． 已知，且为相邻象限的角，求和的值．
【答案】，
2． 设为第二象限角，若，则．
【答案】
3． 已知均为锐角，且，则．
【答案】１
4． 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求：(1)的值；(2)的大小．
【答案】（１）－３；（２）
5．求值．
【答案】
6．在斜三角形中，求证：．
【答案】在斜三角形中，，可得
即
7． 是否存在锐角和，使(1)；(2)同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在　存在
8．观察以下各等式：
，
，
．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【课本拓广探索】
你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
；
.
小试牛刀
1．的值为__________．
【答案】１
2．化简，其中为第二象限角．
【答案】
3．已知，则值为
【答案】
4．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】（１）；（２）
5．在△ABC中，，，则等于(　　)
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
巩固练习
1．已知，则__________．
【答案】
2．求函数的对称轴与对称中心．
【答案】，，．
3．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】（1）4；（2）-1；（3）-1；（4）1
4．已知函数
（1）求它的递减区间；
（2）求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值是和最小值．
5．已知，，求的值．
【答案】或
6．已知，求的值．
【答案】
7．已知，求的值．
【答案】
8．已知，，求证：．
【答案】证明：，两边平方得
又，
两边同时平方得第四讲 三角恒等变换
课前检测
1． 化简：
（1）；
（2）
2． 求值：
（1）
（2）
3． 已知，且，求的值．
4． 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则．
5． 已知，则．
6． 已知，则
教学目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算
3．熟练掌握倍角公式和半角公式
4．可以利用半角公式和倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式
知识框架
知识要点
引入
利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的，这就是三角恒等变换．不难发现，诱导公式是任意角与特殊角的和差恒等关系，那么将特殊角换成任意角，还能得到恒等关系吗？
知识点一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的余弦公式
;
．
不妨令
如图5．5-1，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点
．
连接,．若把扇形绕点旋转角，则点分别与点，重合，根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以
根据两点间的距离公式，得：
化简得：
当时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角有：
2．两角和差的正弦公式
;
．
证明：由诱导公式可以得到：
再把换成可以得到：
3．两角和与差的正切公式
(1);
(2)．
【思考1】如何得到利用已知的正弦与余弦公式得到正切公式？
【思考2】可以利用两角和差公式证明诱导公式吗？
4．两角和与差的正切公式的变形
(1)的变形：
;
;
．
(2)的变形：
;
;
．
经典例题
考点一：公式的应用、化简
【例1】求和的值
【例2】（1）的值是( )
（A）0 （B） （C） （D）
（2）的值等于．
【例3】求下列各式的值（1）
（2）
（3）
【练1】的值是（ ）
（A) （B） （C） （D）
【练2】（1）的值是( )
（A） （B） （C） （D）
（2）( )
（A） （B） （C） （D）
（3）的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）化简求值：
①
②
（5），则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练3】（1）( )
（A） （B） （C） （D）
（2）与相等的是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，求的值.
【练4】求（1），（2）
【练5】求下列各式的值：
（1）；（2）
【练6】满足的一组的值是( )
（A） （B）
（C） （D）
考点二：给定角的范围，利用公式求目标角度值
【例1】求下列各式的值．
（1）已知都是锐角，，求
（2）已知求．
（3）已知，求的值．
（4）已知，，求的值
【例2】已知，是第二象限角，求的值．
【练1】（1）已知，是第三象限角，求的值．
（2）已知是第一象限角，，求的值．
【练2】（1）已知，，则的值是
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，又，则( )
（A） （B）或 （C） （D）或
【练3】．
【练4】（1）已知，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，则．
（3）已知，
则．
（4）已知是方程的根，且，
则．
【练5】若，则．
【练6】，为锐角，求
【练7】已知函数
（Ⅰ）若点在角的终边上，求：和的值；
（Ⅱ）若，求的值域．
考点三：利用公式，判断三角形形状
【例1】在中，若，则的形状是
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）等腰三角形
【例2】在中，若,则的形状是
（A）钝角三角形 （B）锐角三角形
（C）直角三角形 （D）不确定
【练1】在锐角三角形ABC中，若，则的值是
（A）大于1 （B）小于1
（C）可能等于1 （D）与1的关系不能确定
【练2】是的三个内角，且是方程的两个实数根，则的形状是
（A）钝角三角形 （B）锐角三角形
（C）直角三角形 （D）无法确定
知识点二：倍角公式与半角公式
1．倍角公式：
【思考】二倍角公式本质上是哪个公式的特殊形式？
2．半角公式：
经典例题：
【例1】（1）已知：，且，求．
（2）已知，，求的值．
【例2】求下列各式的值．
（1）已知，求
（2）已知，为第三象限角，求．
（3）已知，求．
（4）已知，则．
【例3】设，化简
【例4】若满足条件，则在(　　)
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【例5】已知，，求的值．
【例6】已知，(1)求的值；(2)求的值．
【练1】已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练2】已知第三象限角且则等于( )
（A） （B） （C） （D）
【练3】若，求的值．
【练4】设，，求的值
【练5】，则．
【练6】若，则的最终结果是( )
（A） （B） （C） （D）
【练7】函数的最小正周期为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练8】已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
知识点3：同角辅助角公式
（其中（）为坐标系中的点）
证明：
令
我们可得到：
考点1：辅助角为特殊角，求函数的单调区间、对称中心、对称轴等．
【例1】若，且为锐角，求．
【例2】函数的单调递增区间是
【练1】若，求满足条件的的集合．
【练2】分别求函数的最值和单调增区间
【练3】求函数的对称轴与对称中心．
【练习4】函数是(　　)
（A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的偶函数
（C）最小正周期为的奇函数 （D）最小正周期为的偶函数
考点2：辅助角为非特殊角时，求函数的最值．
【例1】求函数的最大值与最小值
【练】求函数的最大值与最小值．
拓展提升
1． 已知，且为相邻象限的角，求和的值．
2． 设为第二象限角，若，则．
3． 已知均为锐角，且，则．
4． 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求：(1)的值；(2)的大小．
5．求值．
6．在斜三角形中，求证：．
7． 是否存在锐角和，使(1)；(2)同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
8．观察以下各等式：
，
，
．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
；
.
小试牛刀
1．的值为__________．
2．化简，其中为第二象限角．
3．已知，则值为
4．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
5．在△ABC中，，，则等于(　　)
（A） （B）
（C） （D）
巩固练习
1．已知，则__________．
2．求函数的对称轴与对称中心．
3．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）
4．已知函数
（1）求它的递减区间；
（2）求函数的最大值和最小值．
5．已知，，求的值．
6．已知，求的值．
7．已知，求的值．
8．已知，，求证：．

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