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第四讲 导数与不等式
入门测
1.已知函数
（1）求的单调区间
（2）求在区间上的最小值
2.已知函数
（1）若，求函数的单调递减区间
（2）若，求函数在区间上的最大值
题型一： 单函数恒成立问题
知识清单
一、导数的恒成立问题
，恒成立
，恒成立
，恒成立
典型例题
【例1】已知函数，.求证:;
【例2】已知函数,其中实数.
若在区间恒成立,求的取值范围.
【例3】设不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
【例4】已知函数,.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若对恒成立,求的最大值与的最小值.
【练1】已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）对任意,都有,求的取值范围.
【练2】已知函数,,是曲线上两个不同的点.
（Ⅰ）求的单调区间,并写出实数的取值范围;
（Ⅱ）证明:.
【练3】已知函数.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）判断曲线是否位于轴下方,并说明理由.
【练4】已知函数.
（Ⅰ）若在上为单调递减,求的取值范围;
（Ⅱ）设,求证:.
方法总结：
题型二： 单函数存在性问题
知识清单
二、导数的存在性问题
，成立
，成立
，成立
，成立
，成立
，成立
典型例题：
【例1】已知函数.若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;
【例2】已知函数
若关于的不等式在上有解,求的取值范围;
【例3】已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求函数的最小值;
（Ⅲ）求证:存在,当时,.
方法总结：
题型三： 双函数的恒成立问题
知识清单
双函数的恒成立问题
1.，恒成立
3.，恒成立
典型例题：
【例1】已知
（Ⅰ）当时,求证:对于恒成立;
（Ⅱ）若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
【例2】已知函数.
（Ⅰ）求证:当时,;
（Ⅱ）设实数使得对恒成立,求的最大值.
【例3】设函数,
（Ⅰ）求证:时,.
（Ⅱ）证明:当时,
【练1】已知函数,
（Ⅰ）若在处取得极值,求的值;
（Ⅱ）在（1）的条件下,若,求证:当时,恒有成立.
【练2】已知函数,.
若恒成立,求的最大值.
方法总结：
题型四： 双函数的存在与恒成立问题
知识清单
恒成立与存在性综合问题
1.，恒成立
2.，恒成立
3.，，成立
4.，，成立
5.，，成立
典型例题：
【例1】已知函数,,.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）若对于任意,存在,都有,求的取值范围.
【例2】已知函数,.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）若对任意,恒成立,求的取值范围.
【例3】设函数,,若对任意的,存在使得成立,求的取值范围.
方法总结：
出门测
1.设函数,
当时,恒成立,求的取值范围.
2.已知函数,且.
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）若对于任意,都有,求的最小值;
（Ⅲ）证明:函数的图象在直线的下方.
3.已知函数.
（Ⅰ）若恒成立,求的取值范围
（Ⅱ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
4.已知函数.
（Ⅰ）若恒成立,求的取值范围;
（Ⅱ）证明:总存在,使得当,恒有.
课后练习
1.设,函数.若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
2.已知函数.
当时,若在区间上恒成立,求的取值范围.
3.已知函数.求证:当时,;
.
4.设函数
若对任意的,均有成立,求的取值范围.第四讲 导数与不等式
入门测
1.已知函数
（1）求的单调区间
（2）求在区间上的最小值
【答案】（1）单调递增区间为，单调递增区间为；
（2）①当时，最小值为；
②当时，最小值为；
③当时，最小值为.
2.已知函数
（1）若，求函数的单调递减区间
（2）若，求函数在区间上的最大值
【答案】（1）函数的单调递减区间是.
（2）①当时，最大值为;
②当时，最大值为.
题型一： 单函数恒成立问题
知识清单
一、导数的恒成立问题
，恒成立
，恒成立
，恒成立
典型例题
【例1】已知函数，.求证:;
【解析】由得
.
因为在区间上,
所以f(x)在区间上单调递减.从而
【例2】已知函数,其中实数.
若在区间恒成立,求的取值范围.
【解析】由可得:
函数定义域为,
易知,因为,
又因为,所以,
所以当时,在区间上,所以函数单调递减,
所以有恒成立;
当时,在区间上,所以函数单调递增,
所以,所以不等式不能恒成立;
所以时有在区间上恒成立.
【例3】设不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
【解析】解:由
设
令,得.
1
↘ 极小值 ↗
所以.
【例4】已知函数,.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若对恒成立,求的最大值与的最小值.
【解析】（Ⅰ）由得
.
因为在区间上,
所以在区间上单调递减.
从而.
（Ⅱ）当时,“”等价于“”;“”等价于“”.
令,则.
当时,对任意恒成立.
当时,因为对任意,,
所以在区间上单调递减.
从而对任意恒成立.
当时,存在唯一的使得.
与在区间上的情况如下:
＋ 0 －
因为在区间上是增函数,
所以
进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即.
综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;
当且仅当时,对任意恒成立.
所以,若对任意恒成立,则的最大值为,的最小值为1
【练1】已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）对任意,都有,求的取值范围.
【解析】由已知得,的定义域为.
（Ⅰ）.
令,得,令,得.
所以函数的单调减区间是,单调增区间是
（Ⅱ）由,
得,即.
由（Ⅰ）知,
（1）当时,在上单调递减,所以,所以;.
（2）当时,在上单调递增,所以,
所以;
（3）当时,在上单调递减,在上单调递增,
所以.
又,,
若,即,所以,此时,
所以.
若,即,所以,此时,所以
综上所述,当时,;
当时,
【练2】已知函数,,是曲线上两个不同的点.
（Ⅰ）求的单调区间,并写出实数的取值范围;
（Ⅱ）证明:.
【解析】
解:的定义域为.
(Ⅰ),
由得,,
由得,,
由得,,
所以的单调增区间为（-∞,0）,单调减区间为（0,+∞）.
的取值范围是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,要证,只需证
因为,所以只需证,
只需证,只需证()
令,则,
因为,
所以在上单调递减,所以,
所以在上单调递增,所以,
所以,故
【练3】已知函数.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）判断曲线是否位于轴下方,并说明理由.
【解析】函数的定义域为,
（Ⅰ）“要证明”等价于“”.
设函数.
令,解得.
因此,函数的最小值为.故.
即.
（Ⅱ）曲线位于轴下方.理由如下:
由（Ⅰ）可知,所以.
设,则.
令得;令得.
所以在上为增函数,上为减函数.
所以当时,恒成立,当且仅当时,.
又因为,所以恒成立.
故曲线位于轴下方.
【练4】已知函数.
（Ⅰ）若在上为单调递减,求的取值范围;
（Ⅱ）设,求证:.
【解析】
（Ⅰ）若函数在上为单调递减,
则在上恒成立.
即在上恒成立.
即在上恒成立.
设,
则.
因为,
所以当时,有最大值.
所以的取值范围为
（Ⅱ）因为,不等式等价于.
即,令,原不等式转化为.
令,
由（Ⅰ）知在上单调递减,
所以在上单调递减.
所以,当时,.
即当时,成立.
所以,当时,不等式成立
方法总结：
题型二： 单函数存在性问题
知识清单
二、导数的存在性问题
，成立
，成立
，成立
，成立
，成立
，成立
典型例题：
【例1】已知函数.若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;
【解析】在有解,在有解,
令,则在有解,即,
且,
,
当即时
在上递增,在上递减,在上递增,
Ⅰ.若,则,则,
则在上递减,在上递增,
则恒成立,
满足条件.
Ⅱ.若,则,则,则在上递增,
则,
,,又,,
当即时,,在上递增,
在上递增,,由Ⅱ知与矛盾,
当即时,在上递增,,
由Ⅱ知与矛盾,
综上所述:.
【例2】已知函数
若关于的不等式在上有解,求的取值范围;
【解析】要使在上有解,只要在上的最小值小于等于.
因为,
令,得到.
当时,即时,在区间上单调递增,为上最小值
所以有,即,解得或,
所以有;
当时,即时,在区间上单调递减,在上单调递增,
所以为上最小值,
所以有,即,
解得,所以.
综上,得.
法二:要使在上有解,只要在上的最小值小于等于.
因为,
所以当,即时满足题意,
当时,
因为,
令,得到,
因为,所以在区间上的单调递增,
所以在区间上的最小值为,
所以,根据上面得到,矛盾.
综上,.
【例3】已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求函数的最小值;
（Ⅲ）求证:存在,当时,.
【解析】
（Ⅰ）,由已知可得,所以,得.
（Ⅱ）,令,得,
所以,,的变化情况如下表所示:
所以的最小值为.
（Ⅲ）证明:显然且,
由（Ⅱ）知,在上单调递减,在上单调递增.
又,,
由零点存在定理,存在唯一实数,满足,
即,,
综上,存在两个零点,分别为0,.
所以
时,,即,在上单调递增;
时,,即,在上单调递减;
时,,即,在上单调递增,
所以是极大值,是极小值,
,
因为,
所以,所以,
因此时,.
因为且在上单调递增,
所以一定存在满足,
所以存在,当时,.
方法总结：
题型三： 双函数的恒成立问题
知识清单
双函数的恒成立问题
1.，恒成立
3.，恒成立
典型例题：
【例1】已知
（Ⅰ）当时,求证:对于恒成立;
（Ⅱ）若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）设,由题意只需证明:即可.
,
可得,在上,,且在单调递减,
所以对于恒成立,得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得:
当时,,所以,,
又因为当时,,所以,
则此时没有满足条件的
当时,令
则,
令,,
因为,又因为,所以,存在满足题意.
综上,的取值范围是.
【例2】已知函数.
（Ⅰ）求证:当时,;
（Ⅱ）设实数使得对恒成立,求的最大值.
【解析】（Ⅰ）令，则,
因为,所以在区间上单调递增.
所以，
即当时,.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当时,对恒成立.
当,令,则
.
所以当时,,因此在区间上单调递减.
当时,,即.
所以当时,并非对恒成立.
综上可知,的最大值为.
【例3】设函数,
（Ⅰ）求证:时,.
（Ⅱ）证明:当时,
【解析】
（Ⅰ）∵
令
∴
∴当时,恒成立
∴在上单调递增
又∵
∴
（Ⅱ）要证,只需要证,即证,即证
令,只需要证恒成立.
∵
又（Ⅰ）可知,当时,恒成立,所以恒成立
所以
∴在上恒增
易知,
∴当时,
∴
∴
【练1】已知函数,
（Ⅰ）若在处取得极值,求的值;
（Ⅱ）在（1）的条件下,若,求证:当时,恒有成立.
【解析】
（1）定义域为
,因为函数在处取得极值,所以有,
解得
（2）由已知得,,所以在时,恒有
若要证明当时,恒有成立,只需证明,
即证明恒成立.
令
令,有
当时,恒有,所以当时,
所以,,所以在时,单调递增,
因此恒成立,所以,当时,恒有成立.
【练2】已知函数,.
若恒成立,求的最大值.
【解析】
设,则恒成立.
易得
（1）当时,
因为,所以此时在上单调递增.
①若,则当时满足条件,此时;
②若,取且
此时,所以不恒成立.
不满足条件;
（2）当时,
令,得由,得;
由,得
所以在上单调递减,在上单调递增.
要使得“恒成立”,必须有
“当时,”成立.
所以.则
令则
令,得由,得;
由,得所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,当时,
从而,当时,的最大值为.
综上,的最大值为
方法总结：
题型四： 双函数的存在与恒成立问题
知识清单
恒成立与存在性综合问题
1.，恒成立
2.，恒成立
3.，，成立
4.，，成立
5.，，成立
典型例题：
【例1】已知函数,,.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）若对于任意,存在,都有,求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）.
因为,所以.
由得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,,,的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.
（Ⅱ）设.
因为,当时,有最小值为.
因为对于任意,存在,都有,
所以,即.
所以,即的取值范围是.
【例2】已知函数,.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）若对任意,恒成立,求的取值范围.
【解析】本题考查函数导数
解:（Ⅰ）函数的定义域为,
当变化时,,的变化情况如下表:
- 0 + 0 -
极小值 极大值
所以,函数的单调递增区间是,
单调递减区间是,.
（Ⅱ）依题意,“对于任意,恒成立”等价于“对于任意,成立”.
由（Ⅰ）知,函数在上单调递增,在上单调递减,
因为,,所以函数的最小值为.
所以应满足
因为,所以
因为,令得,,.
（ⅰ）当,即时,
在上,所以函数在上单调递增,
所以函数.
由得,,所以
（ⅱ）当,即时,
在上,在上,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以.
由得,,所以
综上所述,的取值范围是
【例3】设函数,,若对任意的,存在使得成立,求的取值范围.
【解析】
“对任意的,存在使得成立”等价于“在区间
上,的最大值大于或等于的最大值”.
因为,
所以在上的最大值为.
令,得或.
①当,即时,
在上恒成立,在上为单调递增函数,
的最大值为,
由,得.
②当,即时,
当时,,为单调递减函数;
当时,,为单调递增函数.
所以的最大值为或
由,得;由,得.
又因为,所以.
③当,即时,
在上恒成立,在上为单调递减函数,
所以的最大值为.
由,得,
又因为,所以.
综上所述,实数的值范围是或.
方法总结：
出门测
1.设函数,
当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】∵
∴在上恒成立
令,,
∴
∴在单调递减
∴
∴∴
2.已知函数,且.
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）若对于任意,都有,求的最小值;
（Ⅲ）证明:函数的图象在直线的下方.
【解析】
（Ⅰ）解:对求导,得,
所以,解得,
所以
（Ⅱ）解:由,得,
因为,
所以对于任意,都有
设,则.
令,解得
当x变化时,与的变化情况如下表:
极大值
所以当时,
因为对于任意,都有成立,
所以.
所以的最小值为
（Ⅲ）证明:“函数的图象在直线的下方”等价于“”,
即要证,
所以只要证.
由（Ⅱ）,得,即（当且仅当时等号成立）.
所以只要证明当时,即可
设,
所以,
令,解得.
由,得,所以在上为增函数.
所以,即.
所以.
故函数的图象在直线的下方
3.已知函数.
（Ⅰ）若恒成立,求的取值范围
（Ⅱ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
【解析】
（Ⅰ）
①当时,恒成立,符合题意.
②当时,恒成立,则在上单调递增,当时,,不符合题意,舍去;
③当时,令,解得
当变化时,和变化情况如下
极小值
,由题意可,即,
解得.
综上所述,的取值范围为
（Ⅱ）由题可知要证的图像总在曲线上方,即证恒成立,即要证明恒成立,构造函数
,令,故,则在单调递增,则单调递增.
因为,,由零点存在性定理可知,
在存在唯一零点,设该零点为,
令,即,且
当变化时,和变化情况如下
极小值
则,因为,所以,所以,当且仅当时取等,因为,故,即恒成立,曲线总在曲线的上方.
4.已知函数.
（Ⅰ）若恒成立,求的取值范围;
（Ⅱ）证明:总存在,使得当,恒有.
【解析】
解:的定义域为．
（Ⅰ）因为,所以..,
令,则,
由得,,
所以,,,,,
所以的单调增区间是,单调减区间是,
所以,所以
（Ⅱ）,
令,,
所以,,,,,
所以的单调增区间是,单调减区间是,
因为,所以,
当时,存在,使得当,恒有,即,
当时,由（Ⅱ）知,,即,
所以,
由得,,所以.
,存在,使得当,恒有,即.
综合上所述,总存在,使得当,恒有．
课后练习
1.设,函数.若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
【解析】解:“对于定义域内的任意,总存在使得”等价于“不存在最小值”.
①当时,
由,得无最小值,符合题意.
②当时,
令,得或.
随着x的变化时,与的变化情况如下:
不存在 0
↘ 不存在 ↗ 极大 ↘
所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.
因为当时,,当时,,
所以只要考虑,且即可.
当时,
由在上单调递减,且,
得,
所以存在,使得,符合题意;
同理,当时,令,
得,也符合题意;
故当时,对于定义域内的任意,总存在使得成立.
③当时,
随着x的变化时,与的变化情况如下表:
0 不存在
↘ 极小 ↗ 不存在 ↘
所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.
因为当时,,当时,,
所以.
所以当时,不存在使得.
综上所述,a的取值范围为.
2.已知函数.
当时,若在区间上恒成立,求的取值范围.
【解析】
解:依题意,在区间上.
,.
令得,或.
若,则由得,,函数在（）上单调递增.
由得,,函数在（）上单调递减.
所以,满足条件;
若,则由得,或;
由得,.
函数在（）,上单调递增,在上单调递减.
,
依题意,即,所以;
若,则.
所以在区间上单调递增,,不满足条件;
综上,
3.已知函数.求证:当时,;
【解析】令,则.
因为,所以在区间上单调递增.
所以,,
即当时, .
4.设函数
若对任意的,均有成立,求的取值范围.
【解析】易知当时,满足条件
当时,
1）当时,满足条件
2）当时,有,整理得到
因此有,因为,所以,所以
3）当时,有
令,有
设,有,当时,
因此当时,,所以当时,单调递增,最小值为,因此
综上所述,的取值范围为

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