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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第7讲 不等式
基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.
不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.
1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是_______．
4．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为____________．
5．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为_________．
1．（吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期第三次调研测试数学试题）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（江西省2023届高三教学质量监测数学（文）试题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（山西省三重教育2023届高三下学期3月联考数学试题）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）文科数学试题）设，若，则的最小值是___________.
5．（安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题）已知实数，且，则的最小值为___________.
6．（必修第一册模块测试-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．（安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
8．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）设，，若，则取最小值时a的值为______．
9．（四川省平昌中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题）设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________.
10．（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）2023届高三二模数学试题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试题）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第7讲 不等式
基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.
不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.
1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A， ，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
3．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
4．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】 ，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
1．（吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期第三次调研测试数学试题）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.
故选：D
2．（江西省2023届高三教学质量监测数学（文）试题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
3．（山西省三重教育2023届高三下学期3月联考数学试题）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，解得，
于是，而，
当且仅当，即时等号，因此，
所以当时，取得最大值.
故选：C
4．（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）文科数学试题）设，若，则的最小值是___________.
【答案】##
【详解】∵，若，∴，
∴ ，
当且仅当，又，即，时等号成立，
故答案为：．
5．（安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题）已知实数，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】，
，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
6．（必修第一册模块测试-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【详解】因为，又，都是正数，且，
所以，
当且仅当，即 时等号成立．
故选：C．
7．（安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C
8．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）设，，若，则取最小值时a的值为______．
【答案】
【详解】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
9．（四川省平昌中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题）设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________.
【答案】3
【详解】a，b，c且，
即，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以，
根据二次函数的性质可知，当时，
取得最大值为.
故答案为：
10．（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）2023届高三二模数学试题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
11．（东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试题）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由，
可得，
对A：∵，则，
故，A正确；
对B：由选项A可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，B正确；
对C：，
令，则，C错误；
对D：，等价于，
构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，
由选项A可知：，则，
故，D正确；
故选：ABD.

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