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(共22张PPT)
微元法
在高中物理解题中应用
1.如图，在质量为M＝0.99kg的小车上固定着一个质量为m＝10g、电阻R＝1 的矩形单匝线圈MNPQ，其中MN边水平，NP边竖直，高度l＝0.05m。小车载着线圈在光滑水平面上一起以v0＝10m/s的速度做匀速运动，随后进入一水平有界匀强磁场（磁场宽度大于小车长度），完全穿出磁场时小车速度v1＝2m/s。磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B＝1.0T。已知线圈与小车之间绝缘，小车长度与线圈MN边长度相同。求： （1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向；
（2）小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q；
（3）小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W。
解：(1)线圈切割磁感线的速度v0＝10m/s，
感应电动势 E=Blv0=1×0.05×10=0.5V
线圈中电流
由楞次定律知线圈中感应电流方向为 M→Q→P→N→M
l
B
M
N
Q
P
v0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
（2）线圈进出减小的动能转化为电热
？
一、微元法：
它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解
二、挖掘教材中微元素材，认知微元思想
（1）瞬时速度概念的引入？
（2）推导匀变速直线运动的位移公式？
从t到t+△t这段时间内，△t→0时运动快慢的差异也就越小，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度
我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，将每一份按匀速直线运动来处理，再累加即可
1、取“时间元”
1.如图，在质量为M＝0.99kg的小车上固定着一个质量为m＝10g、电阻R＝1 的矩形单匝线圈MNPQ，其中MN边水平，NP边竖直，高度l＝0.05m。小车载着线圈在光滑水平面上一起以v0＝10m/s的速度做匀速运动，随后进入一水平有界匀强磁场（磁场宽度大于小车长度），完全穿出磁场时小车速度v1＝2m/s。磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B＝1.0T。已知线圈与小车之间绝缘，小车长度与线圈MN边长度相同。求： （1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向；
（2）小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q；
（3）小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W。
解：(1)线圈切割磁感线的速度v0＝10m/s，
感应电动势 E=Blv0=1×0.05×10=0.5V
线圈中电流
由楞次定律知线圈中感应电流方向为 M→Q→P→N→M
l
B
M
N
Q
P
v0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
（2）线圈进出减小的动能转化为电热
？
（3）设小车完全进入磁场后速度为v，在小车进入磁场从t 时刻到
t＋⊿t 时刻（⊿t→0）过程中,牛二定律：
即：
再对进场的整个进场过程求和得
同理
而
又线圈进、出磁场过程中磁通量的变化量相同，故 q入＝ q出
故得 v－ v0= v 1－v
即：
所以小车进入磁场过程中线圈克服安培力做功
l
B
M
N
Q
P
v0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
v
v1
——微元思想：
（1）必修2第五章第四节《重力势能》中，求重力所做的功？
二、挖掘教材中微元素材，认知微元思想
2、取“位移元”
（2）《弹性势能》求弹簧弹力所做的功时，
0
F
0
F
0
F
例2、如图水平细杆MN、CD长度均为L，两杆间距为h，M、C两端与半圆形细杆相连，半圆形细杆与MN、CD在同一竖直平面内，且MN、CD恰为半圆弧在M、C两点处的切线。质量为m的带正电的小球P，电荷量为q，穿在细杆上，已知小球P与两水平细杆间的动摩擦因数为μ，小球P与半圆形细杆之间绝缘且摩擦不计，（1）若整个装置处在方向与之垂直、磁感应强度为B的匀强磁场中，如图（甲）所示。小球P以一定的初速度v0从D端出发，沿杆滑到M点以后恰好在细杆MN上匀速运动。求：
①小球P在细杆MN上滑行的速度；
②小球P滑过DC杆的过程中克服摩擦力所做的功；
解（1）加B：
①从D→M后匀速
即: mg＝Bqv
②在D→C阶段Wf：即D→M的Wf
故从D→M由动能定理：
G
fB
（2）撤去磁场，在MD、NC连线的交点Ｏ处固定一电荷量为Q的负电荷，如图（乙）所示，使小球P从D端出发沿杆滑动，滑到N点时速度恰好为零。(已知小球所受库仑力始终小于重力)求：
①小球P在水平细杆MN或CD上滑动时所受摩擦力的最大值和最小值；②小球P从D端出发时的初速度。
解（2）加E ① ：
mg＋F
N
f
F
mg
N
f
(2)②小球从D→N点时速度恰为零，由动能定理
整段由对称性及微元法有：
？
－Q
D
C
M
N
mg
F
mg
F
取微元有：
再对微元求和：
由对称性有 ：
①选取微元用以量化元事物或元过程；
②视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；
③在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量。
三、微元法解题基本步骤：
练习1 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动。求：
⑴导体棒在整个运动过程中的位移x
⑵导体棒整个运动过程中通过闭合回路的电量
fA
解：由牛二定律得
取微元，极短时间有：
求和有：
⑵导体棒整个运动过程中通过闭合回路的电量
即：
取微元，极短时间有：
求和有：
总结：
对棒受安培力微元求和，可以求全过程位移或电量
或直接由推导式求
2.随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术，它的原理是，飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止。为研究问题的方便，我们将其简化为如图所示的模型。在磁感应强度为B、方向如图所示的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN、PQ 固定在水平面内，相距为L，电阻不计。轨道端点MP间接有阻值为R的电阻。一个长为L、质量为m、阻值r为 的金属导体棒 ab垂直于MN、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。飞机着舰时质量为M 的飞机迅速钩住导体棒 ，钩住之后关闭动力系统并立即获得共同的速度v，忽略摩擦等次要因素，飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来。求
（1）飞机在阻拦减速过程中获得的加速度a的最大值；
（2）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中 上产生的焦耳热 Q；
（3）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中运动的距离 x
m
M
fA
解（1）刚开始共同v时，安培阻力提供的加速度最大
（2）从v→停下整个过程产生的总电热为
（3）从共速v开始变减速运动→停下过程中
取一极短微元时间，由牛二定律有
对整个过程求和：
x
0-v
3、如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。在t =0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动。已知d =1m，m = 0.5kg，R =0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s2，不计两导棒间的相互作用力。
⑴为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？
⑵若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v1=2m/s的速度沿导轨向上运动，试导出F与b的速率v2的函数关系式并求出v2的最大值； ⑶在⑵中，当t =2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（结果保留三位有效数字）。
b
B
F
a
θ
θ
解：⑴设a的速度为v1，由于b初速度为零，则
对b：
FA＜mgsinθ
联立解得：v1＜10m/s
b
B
F
a
θ
θ
⑵设a的速度为v1，b的速度为v2，回路电流为I，
对a：mgsinθ + FA = F
代入数据得:
设b的最大速度为vm，则有：
代入数据得: vm= 8m/s
⑶对b：mgsinθ－FA= ma
取任意无限小△t时间：
代入数据并求和得：
8t－x2 = 2v2
将t=2s，v2=5.06m/s代入得：x2=5.88m
a位移：x1=v1t = 2×2 = 4m
a、b由功能关系知：
代入数据得：WF=14.9J
4、如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L，电阻忽略不计且足够长，导轨平面的倾角为α，斜面上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向与导轨平面垂直。另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d （1）在装置第一次下滑的过程中，线框中产生的热量Q；
（2）画出整个装置在第一次下滑过程中
的速度-时间（v-t）图像；
（3）装置最终在斜面上做往复运动
的最大速率vm ；
（4）装置最终在斜面上做往复运动
的周期T 。
(1)从开始释放到棒到达MN速度减为0
v
t
O
(2)
t1
t2
t3
0－t1:导线框进磁场－－出磁场
t1－t2:导线框出磁场－－棒进磁场
t2－t3:棒进磁场－－棒出磁场
(3)“最终”线框不能进磁场（消耗能量）
故最终最高点——恰线圈进不了磁场，1处
1
2
vm
最终最低点——棒处在MN、PQ之间某处，且v=0时，（3处，到不了MN处了 ）
3
故从1→2处：机械能守恒有
(4)
1→2：
2→3：
补充：（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离
1
2
3
解（2）图中位置1处第一次到此处速度≠0，设为v1
则接着向下运动2d，v＝0，由动能定理
线圈第一次穿磁场时受到的合力
由牛顿第二定律，在t到t+ Δt时间内
（3）经过足够长时间后，线框在磁场下
边界与最大距离xm之间往复运动
xm
由动能定理:
xm
Xm-d
5如图所示，两根相距为d的足够长的、光滑的平行金属导轨位于水平的xoy平面内，左端接有阻值为R的电阻，其他部分的电阻均可忽略不计。在x>0的一侧存在方向竖直向下的磁场，质量为m的金属杆电阻为r，与金属导轨垂直且接触良好。在x＜0的某位置，金属杆受到一瞬时冲量，获得速度大小为v0，方向沿x轴正方向。求：
（1）金属杆运动过程中安培力对杆做的功及电阻R上产生焦耳热；
（2）若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为B，导体杆最终静止时的坐标x1;
(3)若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足B2=kx，导体杆最终静止时的坐标x2;
（2）导轨间的磁场是匀强磁场，切割产生
安培力
（3）导轨间的磁场B2=kx ，
或动量定理微元

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