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2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题
本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150
分。
一、填空题（每小题8分，共计96分）
1.已知集合S={x∈Rx2+2x+a=0},若-1eS,则实数a=
2.函数f=si血x+1cosx+D在0，上的最小值为
sinxcosx
3.已知四面体了-ABC,点A为三角形SBC的重心，G在线段A4上，
4G-3
连接SG交三角形4C所在的平面于M,则H
4.已知关于x的方程x2+V12-3x2+x2+2x-V12-3x=a存在四个不同的实根，
则实数a的取值范围为
5.设函数f(z(z为复数)满足ff(z》=(zz-z-2)。若f(四)=0，则f②-1=一。
6.己知m,%,k为正整数，苕存在正整数对(a,b)满足
(1+a)n2-4(m+a)n+4m2+4a+b(k-1)2<3,
则m+n+k可能值的个数为
7.已知a,b,c∈℃，且a+b+c=a2+b2+c2=3,a3+b3+c3=6则
(a-1)202+(6-1)223+(c-10223=
8.已知数列{}满足4=3“-2-2m+1)2m-5)a,n=1,2,,则∑a,=
9.设a,b为两个垂直的平面向量，且4=2同=10。当0≤t≤1时，记向量ta+1-)b
与向量任-a+1-6最大夹角为0，则cos0=
10.设a,42,a3,a4,45是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在1≤ia,种。
11.设n个正数4，a2,,a。满足4+42+…+an=2023,M为
41
2023+4’2023+41+42
2023+4+a2++a
中的最大值，则M的最小可能值为
12.设不全相等的三个复数，2,2满足方程4z+52+5号=4z12+6z223+4z3名
记复平面上以名，z2,乙3为顶点的三角形三边的长从小到大依次为a,b,c,则a:b:c=
二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分)
8.已知椭圆三+片=@>b>0)的上顶点A与左顶点B的距离为√4红，离心率为
Pt0-4≤≤-)为x轴上一点。
3
(I)求椭圆方程：
(Ⅱ)连接AP交椭圆于点CG,过C点作x轴的垂线，交椭圆另一个点D,求SAD的
取值范围。
14.设整数n≥2，对于L,2,…,}任一排列σ=（σ(1），(2)，…，o(n》,记
S={oo()≠，i=1,2,…,},
求m曲∑σ()-的值，并计算取到最小值时排列。的数目。
15.设f(x)为整系数多项式，令P=pp为素数且对某个j∈N*,p|f(2023)》
已知P为有限集，求f(x)。2023 年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题
本卷共 15 道题目，12 道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分
150 分。
一、填空题（每小题 8 分，共计 96 分）
1. 已知集合 S {x R x2 2x a 0}，若 1 S，则实数a _______________。
答案：1.
解 将 1代入方程 x2 2x a 0，得a 1
f (x) (sin x 1)(cos x 1) 2. 函数 在(0, )上的最小值为___________________。
sin xcos x 2
答案：3 2 2 .
解 令 t sin x cos x, 1 t 2, 2则 则 f (x) 1 3 2 2。
t 1
AG
3.已知四面体 S ABC，点 A1为三角形 SBC的重心，G在线段 AA1上， 3GA ，1
A1M
连接 SG交三角形 ABC所在的平面于M ,则 AS ____________。
1
答案： .
3
A1MS A G M A M ABC 1解 由于 、 、 、 、 1共面，知 为三角形 的重心，由此得 。AS 3
4.已知关于 x的方程 x2 12 3x2 x2 2x 12 3x2 a存在四个不同的实根，
则实数 a的取值范围为______________。
答案： (4,8)
解 将原方程变形程为x
2 2x 12 3x2 x2 2x 12 3x2 2x a
1
(x2 2x 12 3x2 x2 2x 12 3x2 ) x a
2 2
max{x2 2x, 12 3x2} x a
2
考虑函数y max{x21 2x, 12 3x
2} a与y2 x 的交点个数2
a a
可知y2 x 于y x 4与y x 2时达到极值，所以2 4,即4 a 82 2
5.设函数 f (z)(z为复数）满足 f ( f (z)) (zz z z)2 。若 f (1) 0,则 f (i) 1 ____
答案：1 .
解 f ( f (i)) 1,于是f ( f ( f (i))) f (1) 0,另一方面
f ( f ( f (i)))=（f (i) f (i) f (i) f (i))2，所以
f (i) f (i) f (i) f (i) 0,即(f (i) 1)(f (i) 1) 1,即 f (i) 1 1
6. 已知m, n, k为正整数，若存在正整数对 (a,b)满足
(1 a)n2 4(m a)n 4m2 4a b(k 1)2 3 ，
则m n k可能值的个数为 ______________。
答案：4
解 配方得(2m n)2 a(n 2)2 b(k 1)2 3,得到以下情况：
2m n 0,n 2 0,k 1 0 (m,n,k) (1,2,1)
2m n 1,n 2 0,k 1 0,无整数解
2m n 0,n 2 1,k 1 0,无整数解
2m n 0,n 2 0,k 1 1 (m,n,k) (1,2,2)
2m n 1,n 2 0,k 1 1,无整数解
2m n 0,n 2 1,k 1 1,无整数解
2m n 1,n 2 1,k 1 0 (m,n,k) (2,3,1),(1,3,1),(1,1,1)
综上，m n k的可能值为3,4,5,6
7. 已知a,b,c C，且a b c a 2 b2 c2 3,a 3 b3 c3 6, 则
(a 1)2023 (b 1)2023 (c 1)2023 __________________________。
答案：0
解 由已知可以得到 (a 1)3 1， (b 1)3 1， (c 1)3 1，结合已知条件可得
(a 1)2023 (b 1)2023 (c 1)2023 0
1 a
8.已知数列{an} 满足a1 ,a nn 1 ,n 1,2, ，则3 2 (2n 1)(2n 5)an
2023
a i ____________。
i 1
2023
答案
4047
1
解 由已知得 (4(n 1 1 1）2 1)=2（ (4n2 1)）= = 2（n (4 1)）=0,所以
an 1 an a1
1 2023a 2023n 4n2
,n 1,2, , ai 1 i 1 4047

9.设a,b为两个垂直的平面向量，且 a 2 b 10 。当0 t 1时，记向量

ta (1 t)b 1与向量 (t )a (1 t)b最大夹角为 ，则cos 5 ________________。
2 5
答案：
5

解 设a (0,10),b (5,0)，则
1 ta (1 t)b (5(1 t)，10t) (t )a (1 t)b (5(1 t)，10t 2)，
5
10t 10t 2

tan 5(1 t) 5(1 t) 10 1 cos 2 5
1 10t(10t 2)
，于是

2 125(1 t
80
）+ 180 2 5
(5(1 t)) 1 t

另解 设a (10,0（) 记为A点）,b (0,5（) 记为B点），则 ta (1 t)b (10t,5(1 t))就是

OP 1（O为原点，P为线段AB上一点），(t )a (1 t)b (10(t 1 ),5(1 t))，就是
5 5
CP(C点坐标（2,0）),OP,CP的夹角最大，即以O、P、C为顶点的圆与AB相切。
2 5
由此求得cos 5
10. 设a1, a2 , a3,a4 , a5 是数字 1,2,3,4,5的排列。若不存在 1 i j k 5成立
ai a j ak ,，则所有这样的排列数有________________种。
答案：42 .
解 先考虑 1,2,3,4 四个数字满足条件的排列为 14 个
（4312,4321,4231,4213,4132,3412,3421,3214,3241,3142,2143,2413,2431,1432）
然后考虑数字 5插入每种类型的情形，共 42 种。
11. 设 n个正数 a1, a2 , , a
a
n 满足 a1 a a 2023，M 为 12 n ,2023 a1
a2 , , an 中的最大值，则M 的最小可能值为
2023 a1 a2 2023 a1 a2 an
________________________。
1 1答案： n .
2
解 设 x0 2023, xk 2023 a1 ak ,k 1,2, ak xk xk 1 ，所以
a a x x x1, a2 , , an M k k k 1 1 M k 1 (显然0 M 1)，因此2023 a1 ak xk xk
(1 M )n x 2023 1 0 M 1 等号取到条件验证略。
xn 2023 2023 n 2
12.设不全相等的三个复数 z1, z2 , z3 满足方程 4z
2
1 5z
2 2
2 5z3 4z1z2 6z 2 z3 4z 3 z1。
记复平面上以 z1, z2 , z3为顶点的三角形三边的长从小到大依次为a,b,c,则
a : b : c ____________________________。
2
答案： :1:1，或2 : 5 : 5 .
5
解 令 z 0 ，则 4z23 1 5z
2
2 4z1z2，解得
z1 1 zi 1 5 ,z 1 1与z2夹角余弦为 ，设z2 2 z2 2 5
z2 k,
5k 5k 2
则 z1 ,解得 z1 z2 则a : b : c :1:12 2 5
二、解答题（13 题满分 14 分，14、15 题满分各 20 分，合计 54）
x2 y2
13.已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的上顶点 A 与左顶点 B 的距离为 41，离心率a b
3
为 ,P(t,0)( 4 t 1)为 x轴上一点。
5
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）连接 AP交椭圆于点 C，过 C点作 x轴的垂线，交椭圆另一个点 D，求 S ABD
的取值范围。
2 2
解答 （Ⅰ）由已知a2 b2 41, a b 3 ,解得a 5,b 4，
a 5
x2 y2
所以，所求椭圆方程为 1
25 16 ………………………………（4 分）
（Ⅱ）连接 AD交 x轴于点 E。
2 2
AP 4 x y的直线方程为 y x 4，联立椭圆方程 1，解得C点坐标为
t 25 16
( 50t , 4t
2 100)
t2 25 t2 25
C D x ( 50t ,100 4t
2
由于 、 关于 轴对称，D点坐标为 2 )t 25 t2 25 。…………（8分）
因为 A、D、E 25共线，所以 E点坐标为 ( ,0)
t
S S S 1 20( t
2 5t)
ABD ABE BDE BE (yA y ) 2 D t2 25 ………………（12 分）
20( t2 5t)
因为 2 在[ 4,5(1 2)]单调递增，在（5(1 2)，-1]上单调递减，所以t 25
80
S
41 ABD
10( 2 1)
……………………………………………………………………………（14 分）
14.设整数n 2 ，对于{1,2, ,n}任一排列 ( (1), (2), , (n))，记
n
S { (i) i,i 1,2, ,n}，求min
S (i) i 的值，并计算取到最小值时排列
i 1
的数目。
n
解 因为 (i) i,所以 (i) i 1，即 (i) i n……………………（ ）（5 分）
i 1
（1）当n为偶数时，上面的不等式取到等号，即对任一 i, (i) i 1，
此时有且仅当 (1) 2, (2) 1, , (2k 1) 2k, (2k) 2k 1,k n
2
n
即min (i) i n,只有一种排列取到等号。 S
i 1 …………………………（10 分）
（2）当n为奇数时，不等式（※）不可能取到等号。事实上，若对所有 i =1,2,…，
n均有 (i) i 1,则 (1)=2， (2)=（1 若 (2)=3，可得 (3)=4， ， (n)=n 1, 矛盾）
类似地。 (3)=4， (4)=3， , (n 2)=n-1, (n 1)=n-2,而 (n)=n,不合题意。
n
因此至少有一个 i， (i) i 2, (i) i n 1
i 1 ……………………（15 分）
等号取到当且仅当
将1,2 n n 1， ， 分成 组，其中一组如(k,k+1,k+2),其余组均为(k,k+1)
2
对于(k,k+1,k+2)有
(k)=k 1， (k 1)=k+2, (k 2)=k，或 (k)=k 2， (k 1)=k , (k 2)=k 1 因此
n
因此min (i) i =n 1, n 1 等号取到的排列数目为 2 n 1
i 1 2 …………（20 分）
15. 设 ∈ ，令 = { | 为素数且对某个 ∈ ， ∣ 2023 }。已知 为有限
集，求 。
解 = ,其中 为非零整数。
对 的次数归纳证明，只需证明当 的次数非零时，其常数项为零：那么 =
, 满足同样的条件。……………………………………（5 分）
= { , . . . , }, 2023 = 1 2. . . 设 1 且 1 2 , ≥ 0.
= +1记 ≠7,17 ,令 1 = ,其中 ∈
,则对所有 ≠ 7,17 的素数 ,
2023 2023 = 2023 2023 1 1 ≡ 0 +1 .………………（10 分）
由2023 2023| 2023 2023 知
当 1 = 时， 2023 = ≠7,17 7 17 .……………………（15 分）
若 的常数项 非零，
则当 充分大时， 7 , 17 < 1 + ,
从而 = 7 2023 = 7 , = 17 2023 = 17 .
因此 2023 为常数，与 的次数非零矛盾。 ……………………（20 分）

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