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6.3 向心加速度
问题：天宫二号空间实验室在轨运行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
一、匀速圆周运动的加速度方向
做匀速圆周运动的物体所受的合力指向圆心。由牛顿第二定律可知，物体的加速度也指向圆心。
1、向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
2、方向：时刻变化，始终指向圆心
二. 匀速圆周运动的向心加速度大小
1、表达式：
牛顿第二定律
F=ma
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用“向心加速度与半径成反比”？做出解释。
从公式 看，向心加速度与圆周半径成反比；从公式 看，向心加速度与半径成正比.
思考与讨论
2.向心加速度表达式的理解
从公式 看，an与r成反比；
从公式 看，an与r成正比；
an =
v2
r
an = rω2
v不变时，an与r 成反比
ω不变时，an与r 成正比
3、物理意义：描述速度方向变化的快慢和方向
4、说明：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动.
【例题】如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 时，小球运动的相信加速度an的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角 ，应该增大小球运动的角速度
分析：由于小球在水平面内做圆周，相信加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 与夹角 之间的关系。
解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力
根据牛顿第二定律可得小球运动可得小球运动的向心加速度
（1）
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径 （2）
把向心加速度公式 和（2）式带入（1）式，可得
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大，因此，要增大夹角 ，应该增大小球运动的角速度
加速度的定义式是什么？
a =
Δt
Δv
a 的方向与Δv 的方向相同
如何确定Δv的大小和方向
速度的变化量Δv
拓展学习
①在同一条直线上： v=v2-v1
　
准备知识：速度变化量的求解方法　
v1
v2
v＝？
v1
v2
v＝？
v1
v2
v＝？
②不在同一条直线上
探究：设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间 t 后位于B点，速度为vB 。
vA
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δv
vB
vA
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δv
vB
当 t 很小很小时, v 垂直于v，指向圆心
向心加速度方向
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、 v 组成的三角形与 ABO相似
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
∴ an = = ·
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
当 t 很小很小时，AB=AB=Δl
∴ = = = v
AB
Δl
Δt
Δt
AB
Δt
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= rω2 = vω
θ
θ
向心加速度的大小
练习：关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是 （ ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD
O
R
θ
R'
O'
O
R
R'
θ
O'
课堂小结
an =
v2
r
an = rω2
1.定义:匀速圆周运动的加速度
3.大小:
4.方向:始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
2.意义:描述速度方向变化的快慢
向心加速度

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