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第二章 机械振动
4.单摆
教学目标
CONTENT
01
02
03
掌握单摆振动的周期公式
知道什么是单摆
利用实验探究单摆周期与摆长的关系
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动。
新课引入
摆动的钟摆、荡起的秋千、晃动的枝条它们在平衡位置附近的往复运动是不是简谐运动呢？
1．单摆：用不可伸缩的细线悬挂小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略。这样的装置叫做单摆。
2．理想化：
研究条件：与小球受到的重力及绳子的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略.
单摆
一
知能提升
3.单摆的结构
θ
摆角
摆长:摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
偏角:摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角。

摆线的长L0
摆长为L=L0+R
用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
1.位移与时间的关系是否满足正弦关系（x–t 图像法）
2.回复力与位移是否成正比且方向相反（F=-kx）
思考与讨论
B
A
O
方向：
沿切线指向平衡位置
P
θ
T
G
G2
G1
向心力大小：
与该点速度方向一致，不断改变速度大小
与该点速度方向垂直，只改变速度方向
方向：
沿半径指向悬点
单摆的回复力
二
知能提升
摆球在任一点P点时，摆角为θ，摆球对O点的位移x，从O指向P
重力沿切线方向的分力提供回复力
P
O
θ




T
G
G2
G1
θ
Mgsin θ
F
回

=
角度
弧度值θ
sin θ
5°
0.08727
0.08716
4°
0.06981
0.06976
3°
0.05236
0.05234
2°
0.03491
0.03490
1°
0.01754
0.01754
当θ较小时，sinθ ? θ
?
F
回

=
位移方向与回复力方向相反F = ????????????? x
可以写成：F = ?k x
?
结论：在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆做简谐运动。
一般偏角?????＜?5° F = ?k x (k = ????????????)
?
如图 ，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。
t
x
o
通过图像，可看出注射器的摆动是简谐运动
做一做
单摆的周期与哪些因素有关呢？
单摆的周期
三
知能提升
猜想：
1．单摆的周期与振幅有关
2．单摆的周期与摆球的质量有关
3．单摆的周期与摆长有关
思考与讨论
探究一：探究周期与振幅的关系
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}次数
1
2
3
4
5
6
20次全振动时间/s
37.72
37.78
37.82
37.65
37.83
37.84
周期/s
1.886
1.889
1.891
1.883
1.892
1.892
实验表明：单摆周期与振幅无关，这是摆的等时性。
做一做
探究二：探究周期与摆球质量的关系
实验思想：相同摆长，相同尺寸、不同质量的摆球。
实验表明：单摆周期与摆球质量无关
探究三：探究周期与摆长的关系
实验思想：改变摆长，重复多次实验，记录20个周期
数据记录如下表
{22838BEF-8BB2-4498-84A7-C5851F593DF1}实验次数
线长cm
半径cm
摆长cm
周期T（s)
20次周期（s)
1
30.00
0.95
30.95
1.12
22.32
5
48.95
0.95
49.90
1.42
28.34
9
76.00
0.95
76.95
1.76
35.15
10
81.80
0.95
82.75
1.82
36.44
13
93.00
0.95
93.95
1.95
38.98
16
108.50
0.95
109.45
2.10
41.98
19
135.00
0.95
135.95
2.34
46.78
1．单摆的周期与振幅无关——单摆的等时性。
2．单摆的周期与摆球的质量无关。
3．单摆的周期与摆长有关——摆长越长，周期越大。
【实验表明】
荷兰物理学家惠更斯（1629---1695）通过实验进一步找到：
单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关．
该式是个近似公式，由它算出的周期与精确值之间的差别随着偏角的增加而增加。当偏角为5?两者相差0.01%
例．一个摆长为2 m的单摆,在地球上某地振动时,测得完成100次全振动所用的时间为284 s。
(1)求当地的重力加速度g的大小。
(2)把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,则该单摆振动周期是多少?
典例精析
解析: (1)周期T=????????=284100 s=2.84 s
由周期公式T=2π????????得
g=4π2????????2=4×3.142×22.842 m/s2=9.78 m/s2。
(2)T'=2π????????月=2×3.14×21.60 s=7.02 s。
?
一、单摆
二、单摆的回复力
三、单摆的周期
课堂小结
1.关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是(　　)
A.摆球受重力、摆线的拉力作用
B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用
C.摆球的回复力为零时,向心力最大
D.摆球的回复力最大时,摆线中的拉力大小比摆球的重力大
解析:单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力,重力沿圆弧切线的分力提供回复力,故A对、B错;在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力F向= 最大,选项C正确;当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则拉力等于重力沿半径方向的分力,即拉力小于重力,选项D错误。
跟踪练习
AC
2.下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的是(　　)
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
解析:单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力,即单摆的合外力提供向心力,故选项A错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,而不是摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;单摆经过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所以选项C错误。
B
3.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( 　　)
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析:单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,选项A、B、C正确。但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动,选项D错误。
ABC
4.下列关于单摆的说法正确的是(　　)
A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-A
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C.单摆摆球的回复力等于摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
解析:简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零。摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,线的拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供向心力,摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以合外力不为零;摆球到最高点时,向心力为零,回复力最大,合外力也不为零。
C
5.将秒摆(周期为2 s的单摆)的周期变为4 s,下面哪些措施是正确的(　　)
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
C　
解析:单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,选项A、B错误;对秒摆,T0=2π????0????=2 s,对周期为4 s的单摆,T=2π????????=4 s,故l=4l0,故选项C正确,D错误。
?
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