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江西省“三新”协同教研共同体2022-2023学年高二下学期5月联考
数学试卷
本试题卷共22小题，考试时间120分钟，满分150分.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.121 B.143 C.154 D.165
2.设，且，则（ ）
A. B.9 C.5 D.10
3.设函数，则（ ）
A. B.-2 C. D.-1
4.已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（ ）
附：.
A. B.
C. D.
7.已知点分别为双曲线的左 右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（ ）
A. B. C.1 D.
8.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成的变形技巧.已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前项和为，公差为，若，则下列命题正确的是（ ）
A.数列是递减数列 B.是数列中的最大项
C.是中的最大项 D.满足的的最大值为14
10.已知拋物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，则（ ）
A.
B.
C.以线段为直径的圆一定与直线相切
D.的面积的最小值为4
11.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的极大值点为
B.的极小值为
C.在上单调递增
D.的极小值大于的极大值
12.历史上著名的“伯努利错排问题”指的是：一个人有封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如2封信都投错有种方法，3封信都投错有种方法，通过推理可得.假设每个信箱只投入一封信，则下列说法正确的是（ ）
A.投4封信且4封全部投错的概率为
B.投5封信有且仅有2封信投对的概率为
C.投6封信有且只有1封投对的概率为
D.投6封信至少2封投对的概率为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13.函数的单调递增区间为__________.
14.为了提高学生的数学应用能力和创造力，某学校组织了“数学建模”知识竞赛活动，学生的竞赛成绩服从正态分布，且.现有参加了竞赛活动的3名学生，则恰有1名学生的竞赛成绩超过90分的概率为__________.
15.已知椭圆与双曲线，过椭圆上一点作椭圆的切线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，且为的中点，则双曲线的离心率为__________.
16.若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则__________，设，数列的前项和为，则__________.（本题第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
从①成等比数列，②是9与的等差中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：已知公差不为0的等差数列的前项和为，且__________.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
18.（12分）
甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）.
（1）若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望.
（2）若从甲罐中随机取出一球放人乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和.
19.（12分）
已知函数.
（1）证明：.
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.（12分）
已知数列满足，且.
（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式.
（2）设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
22.（12分）
已知椭圆的左 右顶点分别为，左 右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若的周长为8，且点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知点为椭圆上任一点，直线与直线分别交于两点，试问在椭圆外是否存在定点，使得恒为直角？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解.
【详解】，又154，故选C.
2.【答案】C
【分析】考查二项分布概率的计算，并求二项分布的数学期望.
【详解】由，得，所以，由二项分布期望公式，故选C.
3.【答案】A
【分析】考查初等函数和简单复合函数求导.
【详解】由，求导得，所以，故选A.
4.【答案】D
【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.
【详解】连接（图略），则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形，又，所以点到直线的距离必须小于或等于，即，所以，故选D.
5.【答案】D
【分析】利用求数列的通项公式，但要注意首项是否满足，然后利用等比数列的前项和公式求解.
【详解】当时，，两式相减，得，又不满足上式，当时，，当时，，又也满足上式，的最小值为，故选D.
6【答案】A
【分析】利用最小二乘法公式求解线性回归方程.
【详解】由，故选A.
7.【答案】B
【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形求解.
【详解】设的内切圆的圆心为，双曲线的右顶点为，直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，所以在Rt中，，所以，故选B.
8.【答案】B
【分析】利用朗博同构变形转化求得，进而求解函数的最值.
【详解】由，得，即，单调递增，所以，令，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，，故选B.
9.【答案】AD
【分析】由，得出，代入与，对选项依次判断即可.
【详解】由等差数列的性质，可得，又已知，所以，即，所以，所以，数列是递减数列，所以选项A正确；因为数列是递减数列，所以最大项是首项，所以选项B错误；又，所以当或时，取最大值，所以选项C错误；由不等式，可得，又，所以满足的的最大值为14，所以选项D正确.故选AD.
10.【答案】BCD
【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断选项错误.设直线的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，表示出，由可判断选项B正确.由抛物线的性质及梯形的中位线的性质 直线与圆的位置关系，可判断选项C正确.由三角形的面积公式可判断选项D的正误.
【详解】对于选项，因为抛物线的准线为，所以，则，故选项错误.对于选项B，抛物线，过点的直线方程为，则整理可得，设，可得，
，
所以，故选项B正确.对于选项，设的中点为，则点到轴的距离，所以以线段为直径的圆一定与直线相切，所以选项C正确.对于D，，
所以当时，，故选项D正确.故选BCD.
11.【答案】BD
【分析】研究函数的单调性 极值等性质.
【详解】由，得，所以在上递增，在上递减，所以的极大值点为0，选项错误，的极小值为，选项正确，在上递减，选项错误，的极大值为1，选项正确，故选BD.
12.【答案】AC
【分析】利用数学典型错排问题，考查排列组合 概率的计算.
【详解】投4封信且4封全部投错的概率为，选项A正确，投5封信有且仅有2封信投对的概率为，选项B错误，投6封信有且只有1封投对的概率为，选项C正确，投6封信至少2封投对的概率为，所以选项D错误，故选AC.
13.【答案】（或填也正确）
【分析】利用导数研究函数的单调区间.
【详解】由，得，函数的单调递增区间为.
14.【答案】
【分析】借助正态分布的性质，求解恰有一名学生的竞赛成绩超过90分的概率.【详解】由学生的竞赛成绩服从正态分布，得，
所以，记“恰有一名学生的竞赛成绩超过90分”，则.
15.【答案】
【分析】先通过联立方程组，求出切线方程，再赋值求出相关的点的坐标，从而由中点坐标公式求出与的关系式，最后求出离心率.
【详解】设切线方程为，联立，得，由，得，解得，所以切线方程为，令，得，所以，渐近线方程为，联立与，解得，联立与，解得，因为为的中点，所以，解得，所以离心率为.故填.
16.【答案】3；-2530（第一空2分，第二空3分）
【分析】新定义问题，紧扣新定义，进行分析，先特殊后一般，然后进行归纳总结，从而得出规律.
【详解】由已知可知，数列是以4为周期的周期数列，即，又，，又是以4为周期的周期数列，.
17.【答案】（1）；（2）见详解.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和进行求解；（2）利用裂项相消法进行求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
若选①，则，即
化简，整理得，又.
，
，
故数列的通项公式为.
若选②，则，即，即，
又.
，
故数列的通项公式为.
若选③，则
即，，
，
故数列的通项公式为.
（2）由（1），可得，
，
即.
18.【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）考查超几何分布模型；（2）考查学生对条件概率和全概率公式的掌握.
【详解】（1）由题可知服从参数的超几何分布.
的取值可以为.
.
的分布列为：
0 1 2 3
的期望为.
（2）由题意得，
根据全概率公式得.
19.【答案】（1）见详解（2）.
【分析】（1）考查利用导数证明不等式；（2）研究函数的恒成立问题，考查学生转化问题和研究函数的能力.
【详解】（1）由，令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，得证.
（2）由，问题转化为，即.
设，令，易知函数在上单调递减，且，
在上单调递增，在上单调递减，
，故实数的取值范围为.
20.【答案】.
【分析】（1）利用进行变形转化得到数列是等比数列，求出的通项，再用累加法求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1），
，
数列是首项为，公比为3的等比数列，
，
当时，
即，
又也满足上式，数列的通项公式为.
（2）由（1），可得
①
，②
由①-②，得，
.
不等式可化为，
即对任意的恒成立，令且为递增数列，即转化为.
当时，，所以.
综上可得实数的取值范围是.
21.【答案】（1）略；（2）.
【分析】（1）导数的单调性，借助导数考查学生含参不等式的讨论；（2）研究函数的过某点切线方程问题，考查导数的几何意义以及学生转化问题和研究问题的能力.
【详解】（1）由题知，
所以.
（）当时，，所以函数在上单调递增.
（ii）当时，，所以且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（iii）当时，，所以且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）设切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为.
将点代入切线方程得，
即，整理得，
由过点可以作曲线的三条切线，
即方程有三个不同实根，
设，则.
令，得或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由，且当时，，
所以实数的取值范围为.
22.【答案】（1；（2）存在，.
【分析】（1）先利用解三角形，求出半焦距，再利用椭圆的定义求出，进而求出椭圆的方程；（2）先用点的坐标，分别表示出点的坐标，从而找到两点纵坐标的特点，积为定值，再由对称性得出定点一定在轴上.
【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，点到直线的距离，
又的周长为8，即，
，
椭圆的方程为.
（2）由（1），可得，设，
.令，得.①
.令，得.②
①②，得，
点在椭圆上，，
，
点在轴两侧，设直线与轴交于点，
要使恒为直角，则点在以为直径的圆上，
任取两个关于轴对称的点，则由图形的对称性可知，
以为直径的两个圆的交点在轴上，
则点在轴上，即，
由直角三角形的射影定理，可得，即，或，而在椭圆内部，应舍去，所以点的坐标为
此时，，所以，即为直角.
所以在椭圆外存在定点，使得恒为直角，定点的坐标为.

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