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第四十一讲 随机抽样
【考纲解读】
理解总体，个体，样本和样本容量的定义，能够分辨总体，个体，样本和样本容量之间的关系；
理解简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的定义，掌握简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的基本方法。
【知识精讲】
一、简单随机抽样：
1、基本概念：
（1）总体：研究对象的全体构成的集合，称为总体；
（2）个体：总体集合中的元素，称为个体；
（3）样本：从总体中抽出一部分元素构成的集合，称为样本；
（4）样本容量：样本中个体的数目，称为样本容量；
2、简单随机抽样：
（1）简单随机抽样的定义：设一个总体含有N个个体，如果通过逐个随机抽取的方法从中抽取n个个体作为一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的可能性相同，这样的抽样叫做简单随机抽样；
（2）简单随机抽样的基本方法：①抽签法：先将总体中的所有个体进行编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就可以得到一个容量为n的样本；②随机数法：第一步，现将总体中的个体进行编号，编号时每一个号码都由两个数字组成（这是因为随机数表中的每一个号码都是由两个数字组成的）；第二步，在随机数表中任选一个数作为开始（例如从第八行第九列的数5开始）；第三步，从选定的数码开始向右读下去得到第一个两位数字号码，看是否是第一步中的号码，若是，则取出该号码；若不是，则将它去掉，继续向右读，直到取出所有的样本号码为止；
（3）简单随机抽样的特点：①总体N的个体是有限的；②从含有N个个体的总体中逐个 随机地抽取n个个体作为样本；③每次抽取时，总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的。
二、系统抽样：
1、系统抽样的定义：首先把总体中的个体进行编号，其次是把总体分成几个部分，再在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x，然后按照事先确定k，用x+k，x+2k，-----，x+（n-2）k,x+（n-1）k抽取样本，这种抽样方法叫做系统抽样法；
2、系统抽样的基本方法是：①将总体中的个体进行统一编号；②把总体平均分成若干个部分（一般是n个部分）；③在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x；④按照每一组的个体数确定个体之间相隔的距离抽取样本；
3、系统抽样的特点：①总体的个体数N较大；②样本容量n也较大；③总体中各个个体之间没有明显的差异；④每个个体被抽到的可能性相等；
4、系统抽样与简单随机抽样的联系是：①从含有N个个体的总体中逐个随机地抽取n个个体作为样本；②每次抽取时，总体中的各个个体被抽到的可能性相同。
三、分层抽样：
1、分层抽样的定义：先把总体分成几个部分，再按照各个部分所占的比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样法；
2、分层抽样的基本方法是：①把总体按照某一特征分成若干部分；②求出样本与总体的比例；③确定各个部分应该抽取的个数；④在各个部分中运用简单随机抽样的方法进行抽取；
3、分层抽样的特点：①总体的个体之间具有明显的差异；②将总体按照差异分成几个部分；③各个部分抽取的个体数按抽取的样本与总体的比例来确定；④各个部分抽取的个体按简单随机抽样的方法进行；
4、分层抽样中各层抽取样本单位数的确定：在分层抽样中各层抽取样本数的计算可按如下公式进行：某层抽取的样本数=样本数
【探导考点】
考点1简单随机抽样：热点①简单随机抽样定义及运用；热点②简单随机抽样的基本方法；
考点2系统抽样：热点①系统抽样定义及运用；热点②系统抽样的基本方法；
考点3分层抽样：热点①分层抽样定义及运用；热点②分层抽样的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列抽样方法是简单随机抽样方法的是（ ）
A在某年明信片的销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2700的为三等奖；B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽取一包产品，称其重量是否合格；C某学校分别从行政人员，教师，后勤人员抽取2人，14人，4人了解对学校机构改革的意见；D用抽签的方法从10件从产品中抽取3件进行质量检验；
2、总体由编号为01，02，----19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）（2013全国高考江西卷）
A 08 B 07 C 02 D 01
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
『思考问题1』
（1）【典例1】是简单随机抽样的问题，解答这类问题需要理解简单随机抽样的定义，了解简单随机抽样的特征，掌握简单随机抽样的基本方法；
（2）运用抽签法必须注意两个基本条件：①抽签是否方便，②号签是否容易搅匀，一般地当总体容量和样本容量较小时可以采用抽签法；
（3）运用随机数时，若遇到三位数或四位数，可以选择随机数表中某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或重复号码舍去。
〔练习1〕解答下列问题：
（1）从全班30名女学生中抽出8名女学生对看足球比赛的喜爱程度进行调查，用抽签法抽出这个样本；
（2）考生在一次英语考试中要回答的10道题是这样产生的：从15道听力题中随机抽出3道题，从20道解答题中随机抽出5道题，从10道口试题中随机抽出2道题，用抽签法确定某考生所要回答的考题的序号；
（3）从全班50名学生中随机抽选8名学生去参加一项活动，试用随机数表法把这8名学生抽选出来。
【典例2】解答下列问题：
1、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，------，840随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间［481，720］的人数为（ ）
A 11 B 12 C 13 D 14
2、将参加夏令营的600名学生编号为001，002，-------，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A 26，16，8 B 25，17，8 C 25，16，9 D 24，17，9
『思考问题2』
（1）【典例2】是系统抽样问题，解答这类问题需要理解系统抽样的定义，了解系统抽样的特征，掌握系统抽样的方法；
（2）系统抽样的特征是：①总体容量较大，②样本容量较大，③总体中各个个体之间没有明显的差异，④每个个体被抽到的可能性相等；
（3）系统抽样的基本方法是：①将总体中的个体进行统一编号，②把总体平均分成若干个部分（若总体容量不能被样本容量整除时，可以将总体随机剔除几个个体来确定分段间隔），③在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x，④按照每一组的个体数确定个体之间相隔的距离抽取样本；
〔练习2〕解答下列问题：
（1）某工厂平均每天生产某种机器零件大约10，000件，要求产品检验员每天抽取50个零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码是0010，则第三组抽取的号码为 ；
（2）在一次游戏中，获胜者可得到5件不同的奖品，这些奖品要从已编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样方法确定某获胜者所得到的5件奖品的编号；
（3）一个总体中的100个个体的号码为0,1,2，------，98,99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，------，8,9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在0组（号码为0,1,2，------8,9）随机抽取的号码为x,那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码个位数为x+k或x+k-10(如果x+k≥10)，写出x分别为2与5时，所抽取样本的10个号码。
【典例3】解答下列问题：
（1）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n等于（ ）（2016东北三校联考）
A 54 B 90 C 45 D 126
（2）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽出一个容量为28人的样本，求男、女运动员应各抽多少人？
（3）一个电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2435 4567 3926 1072
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选60人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，在具体抽样时，各类人中分别应抽选多少人？
『思考问题3』
（1）【典例3】是分层抽样问题，解答这类问题需要理解分层抽样的定义，了解分层抽样的特征，掌握分层抽样的方法；
（2）分层抽样的特征是：①总体容量较大，②总体由几个个体差异明显的部分构成；
（3）各层样本单位数的确定可按公式：某层抽取的样本数=样本数，通过计算来确定。
〔练习3〕解答下列问题：
（1）某市的三个区共有高中学生20000人，且三个区的高中学生的人数之比为2:3:5，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200人的样本，求这三个区分别应抽取多少人？
（2）一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？
【考题演练】
【典例4】解答下列问题：
1、某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为 （成都市2019级高三二诊）
2、为了加强全民爱眼意识，提高民簇健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”，某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，线采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动，已知随机数表中第六行至第七行的各数如下：
若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（ ）（成都市2021高三零诊）
A 17 B 23 C 35 D 37
3、某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本，若样本中高中生恰有30人，则n的值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 20 B 50 C 40 D 60
4、某学校有教师100人，学生900人，用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为 （2018—2019成都市高二上期调研考试）
5、某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为 （2019成都市高三三诊（文））
6、某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，------，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体能测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）（2019全国高考新课标I（文））
A 8号学生 B 200号学生 C 616号学生 D 815号学生
7、在“一带一路”知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测。甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高；丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）（2019全国高考新课标II（文））
A 甲，乙，丙 B 乙，甲，丙 C 丙，乙，甲 D 甲，丙，乙
8、某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 （2018全国高考新课标III卷）
某学校共有师生2400，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为 （2017—2018成都市高二上期质量检测）
9、如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表
示喜欢该项运动的频率，已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 （201
8成都市高三二诊）
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高诊断考试或高二期末考试）试卷中关于随机抽样的问题，归结起来主要包括：①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样等几种类型；
解答随机抽样问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某校高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ）（2017马鞍山月考）
A 8 B 13 C 15 D 18
2、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,，2，------，960，分组后在第一组采用简单随机抽样方法抽到的号码为9号，抽到的32人中，编号落入区间［1，450］的人做问卷A，编号落入区间［451，750］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）（2016烟台摸拟）
A 7 B 9 C 10 D 15
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）（2015全国高考四川卷）
A 抽签法 B 系统抽样法 C 分层抽样法 D 随机数法
4、某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 （2015全国高考福建卷）5、某班有男生30人，女生20人，若用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为10的样本，则抽取的女生人数为 （2015四川成都质量监测）
6、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
（单位：分钟）的茎叶图如图所示 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
若将运动员按成绩由好到差编为1—35号，再 15 0 1 2 2 3 3 3
用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是（ ）（2015全国高考湖南卷）
A 3 B 4 C 5 D 6
7、为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学生段的学生视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（2013全国高考新课标I卷）
A 简单随机抽样 B 按性别分层抽样 C 按学段分层抽样 D 系统抽样
第四十一讲 随机抽样
【考纲解读】
1.理解总体，个体，样本和样本容量的定义，能够分辨总体，个体，样本和样本容量之间的关系；
2.理解简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的定义，掌握简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的基本方法。
【知识精讲】
一、简单随机抽样：
1、基本概念：
（1）总体：研究对象的全体构成的集合，称为总体；
（2）个体：总体集合中的元素，称为个体；
（3）样本：从总体中抽出一部分元素构成的集合，称为样本；
（4）样本容量：样本中个体的数目，称为样本容量；
2、简单随机抽样：
（1）简单随机抽样的定义：设一个总体含有N个个体，如果通过逐个随机抽取的方法从中抽取n个个体作为一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的可能性相同，这样的抽样叫做简单随机抽样；
（2）简单随机抽样的基本方法：①抽签法：先将总体中的所有个体进行编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就可以得到一个容量为n的样本；②随机数法：第一步，现将总体中的个体进行编号，编号时每一个号码都由两个数字组成（这是因为随机数表中的每一个号码都是由两个数字组成的）；第二步，在随机数表中任选一个数作为开始（例如从第八行第九列的数5开始）；第三步，从选定的数码开始向右读下去得到第一个两位数字号码，看是否是第一步中的号码，若是，则取出该号码；若不是，则将它去掉，继续向右读，直到取出所有的样本号码为止；
（3）简单随机抽样的特点：①总体N的个体是有限的；②从含有N个个体的总体中逐个 随机地抽取n个个体作为样本；③每次抽取时，总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的。
二、系统抽样：
1、系统抽样的定义：首先把总体中的个体进行编号，其次是把总体分成几个部分，再在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x，然后按照事先确定k，用x+k，x+2k，-----，x+（n-2）k,x+（n-1）k抽取样本，这种抽样方法叫做系统抽样法；
2、系统抽样的基本方法是：①将总体中的个体进行统一编号；②把总体平均分成若干个部分（一般是n个部分）；③在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x；④按照每一组的个体数确定个体之间相隔的距离抽取样本；
3、系统抽样的特点：①总体的个体数N较大；②样本容量n也较大；③总体中各个个体之间没有明显的差异；④每个个体被抽到的可能性相等；
4、系统抽样与简单随机抽样的联系是：①从含有N个个体的总体中逐个随机地抽取n个个体作为样本；②每次抽取时，总体中的各个个体被抽到的可能性相同。
三、分层抽样：
1、分层抽样的定义：先把总体分成几个部分，再按照各个部分所占的比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样法；
2、分层抽样的基本方法是：①把总体按照某一特征分成若干部分；②求出样本与总体的比例；③确定各个部分应该抽取的个数；④在各个部分中运用简单随机抽样的方法进行抽取；
3、分层抽样的特点：①总体的个体之间具有明显的差异；②将总体按照差异分成几个部分；③各个部分抽取的个体数按抽取的样本与总体的比例来确定；④各个部分抽取的个体按简单随机抽样的方法进行；
4、分层抽样中各层抽取样本单位数的确定：在分层抽样中各层抽取样本数的计算可按如下公式进行：某层抽取的样本数=样本数
【探导考点】
考点1简单随机抽样：热点①简单随机抽样定义及运用；热点②简单随机抽样的基本方法；
考点2系统抽样：热点①系统抽样定义及运用；热点②系统抽样的基本方法；
考点3分层抽样：热点①分层抽样定义及运用；热点②分层抽样的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列抽样方法是简单随机抽样方法的是（ ）
A在某年明信片的销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2700的为三等奖；B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽取一包产品，称其重量是否合格；C某学校分别从行政人员，教师，后勤人员抽取2人，14人，4人了解对学校机构改革的意见；D用抽签的方法从10件从产品中抽取3件进行质量检验；
【解析】
【知识点】①简单随机抽样的定义与性质；②简单随机抽样的基本方法。
【解题思路】运用简单随机抽样的性质和简单随机抽样的基本方法，对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，在100万张明信片中，后四位为2700的明信片每一万张中就有一张，属于系统抽样，A不正确；对B，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽取一包产品，属于等距抽样， B不正确；对C，分别从行政人员，教师，后勤人员抽取2人，14人，4人属于分层抽样， C不正确；对D，用抽签的方法从10件从产品中抽取3件符合简单随机抽样的特征， D正确，选D。
2、总体由编号为01，02，----19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A 08 B 07 C 02 D 01
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
【解析】
【知识点】①简单随机抽样的定义与性质；②简单随机抽样的基本方法；③随机数表的结构与运用。
【解题思路】运用简单随机抽样的性质，简单随机抽样的基本方法和随机数表运用的基本方法，确定出第5个个体的编号就可得出选项。
【详细解答】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，由左向右依次选取两个数字，得到符合编号为01，02，----19，20的5个号码是：08，02，14，07，02，第5个个体的编号为02，C正确，选C。
『思考问题1』
（1）【典例1】是简单随机抽样的问题，解答这类问题需要理解简单随机抽样的定义，了解简单随机抽样的特征，掌握简单随机抽样的基本方法；
（2）运用抽签法必须注意两个基本条件：①抽签是否方便，②号签是否容易搅匀，一般地当总体容量和样本容量较小时可以采用抽签法；
（3）运用随机数时，若遇到三位数或四位数，可以选择随机数表中某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或重复号码舍去。
〔练习1〕解答下列问题：
（1）从全班30名女学生中抽出8名女学生对看足球比赛的喜爱程度进行调查，用抽签法抽出这个样本；（答案：{1，5，7，11，16，20，23，29}（答案不唯一））
（2）考生在一次英语考试中要回答的10道题是这样产生的：从15道听力题中随机抽出3道题，从20道解答题中随机抽出5道题，从10道口试题中随机抽出2道题，用抽签法确定某考生所要回答的考题的序号；（答案：{1，7，13，16，19，23，30，34，37，44}（答案不唯一））
（3）从全班50名学生中随机抽选8名学生去参加一项活动，试用随机数表法把这8名学生抽选出来。（答案：{16，08，02，14，07，43，28，01}（答案不唯一））
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
【典例2】解答下列问题：
1、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，------，840随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间［481，720］的人数为（ ）
A 11 B 12 C 13 D 14
【解析】
【知识点】①系统抽样的定义与性质；②系统抽样的基本方法。
【解题思路】运用系统抽样的性质和系统抽样的基本方法，确定出k的值，再确定［481，720］含k的个数就可得出选项。
【详细解答】k==20，=36-23=13，编号落在区间［481，720］的人数为13人，C正确，选C。
2、将参加夏令营的600名学生编号为001，002，-------，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A 26，16，8 B 25，17，8 C 25，16，9 D 24，17，9
【解析】
【知识点】①系统抽样的定义与性质；②系统抽样的基本方法。
【解题思路】运用系统抽样的性质和系统抽样的基本方法，确定出k的值，再确定区间［001，300］，［301，485］，［496，600］，分别含k的个数就可得出选项。
【详细解答】=12，=25，=16+，=8+，三个营区被抽取的人数分别为25人，17人，8人，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是系统抽样问题，解答这类问题需要理解系统抽样的定义，了解系统抽样的特征，掌握系统抽样的方法；
（2）系统抽样的特征是：①总体容量较大，②样本容量较大，③总体中各个个体之间没有明显的差异，④每个个体被抽到的可能性相等；
（3）系统抽样的基本方法是：①将总体中的个体进行统一编号，②把总体平均分成若干个部分（若总体容量不能被样本容量整除时，可以将总体随机剔除几个个体来确定分段间隔），③在第一个部分用简单随机抽样的方法确定开始的个体编号x，④按照每一组的个体数确定个体之间相隔的距离抽取样本；
〔练习2〕解答下列问题：
（1）某工厂平均每天生产某种机器零件大约10，000件，要求产品检验员每天抽取50个零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码是0010，则第三组抽取的号码为 ；（答案：4010）
（2）在一次游戏中，获胜者可得到5件不同的奖品，这些奖品要从已编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样方法确定某获胜者所得到的5件奖品的编号；（答案:{2，12，22，32，42}（答案不唯一））
（3）一个总体中的100个个体的号码为0,1,2，------，98,99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，------，8,9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在0组（号码为0,1,2，------8,9）随机抽取的号码为x,那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码个位数为x+k或x+k-10(如果x+k≥10)，写出x分别为2与5时，所抽取样本的10个号码。（答案:{2，12，22，32，42，52，62，72，82，92}，{5，15，25，35，45，55，65，75，85，95}）
【典例3】解答下列问题：
（1）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n等于（ ）
A 54 B 90 C 45 D 126
【解析】
【知识点】①分层抽样的定义与性质；②分层抽样的基本方法；③分层抽样中各层抽取数的计算公式及运用。
【解题思路】运用分层抽样的性质和分层抽样的基本方法，结合分层抽样中各层抽取数的计算公式通过运算求出甲种型号产品的抽取数得到关于n的方程，求解方程求出n的值就可得出选项。
【详细解答】甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，用分层抽样的方法甲种型号产品的抽取数为：==18，n=90，即B正确，选B。
（2）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽出一个容量为28人的样本，求男，女运动员应各抽多少人？
【解析】
【知识点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③分层抽样中各层抽取数的计算公式及运用。
【解题思路】根据分层抽样的性质和分层抽样的基本方法，运用分层抽样中各层抽取数的计算公式通过运算就可求出男，女运动员各抽取的人数。
【详细解答】=，男运动员应抽取的人数=56=16（人），女运动员应抽取的人数=42=12（人）。
（3）一个电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2435 4567 3926 1072
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选60人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，在具体抽样时，各类人中分别应抽选多少人？
【解析】
【知识点】①分层抽样的定义与性质；②分层抽样的基本方法；③分层抽样中各层抽取数的计算公式及运用。
【解题思路】运用分层抽样的性质和分层抽样的基本方法，结合分层抽样中各层抽取数的计算公式通过运算分别求出各类人中应抽选的人数。
【详细解答】6012（人），6023（人），6020（人），
605（人），各类人中应抽选的人数分别为12人，23人，20人，5人。
『思考问题3』
（1）【典例3】是分层抽样问题，解答这类问题需要理解分层抽样的定义，了解分层抽样的特征，掌握分层抽样的方法；
（2）分层抽样的特征是：①总体容量较大，②总体由几个个体差异明显的部分构成；
（3）各层样本单位数的确定可按公式：某层抽取的样本数=样本数，通过计算来确定。
〔练习3〕解答下列问题：
（1）某市的三个区共有高中学生20000人，且三个区的高中学生的人数之比为2:3:5，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200人的样本，求这三个区分别应抽取多少人？（答案：这三个区分别应抽取学生分别为40人，60人，100人）
（2）一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？（答案：大型商店抽取2家，中型商店抽取4家，小型商店抽取15家）
【考题演练】
【典例4】解答下列问题：
某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①分层抽样方法定义与性质；②求分层抽样方法中每层抽取数的基本方法。
【解题思路】根据分层抽样的性质，运用求分层抽样方法中每层抽取数的基本方法就可求出应抽取的大型城市的个数。
【详细解答】该区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个，用分层抽样的方法抽取6个城市， 应抽取的大型城市的个数为6=6=3（个 ）。
2、为了加强全民爱眼意识，提高民簇健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”，某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，线采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动，已知随机数表中第六行至第七行的各数如下：
若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（ ）（成都市2021高三零诊）
A 17 B 23 C 35 D 37
解析】
【考点】①随机数表法抽样的定义与性质；②随机数表法抽样的基本方法。
【解题思路】根据随机数表法抽样的性质和随机数表法抽样的基本方法，结合问题条件确定出第5名学生的学号就可得出选项。
【详细解答】抽样是从随机数表第6行第9列的数开始向右读， 第1名学生的学号为39，第2名学生的学号为17，第3名学生的学号为37，第4名学生的学号为23，第5名学生的学号为35，C错误，选C。
3、某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本，若样本中高中生恰有30人，则n的值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 20 B 50 C 40 D 60
【解析】
【考点】①样本容量定义与性质；②分层抽样定义与性质；③分层抽样各层抽样数的计算公式及运用；④计算分层抽样各层抽样数的基本方法。
【解题思路】根据分层抽样的性质，运用分层抽样各层抽样数的计算公式，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程求出样本容量n的值就可得出选项。
【详细解答】n=30, n=30=50, B正确，选B。
4、某学校有教师100人，学生900人，用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为 （2018—2019成都市高二上期调研考试）
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②求分层抽样中各层抽样数的基本方法。
【解题思路】根据分层抽样的性质和求分层抽样中各层抽样数的基本方法，就可求出应抽取的教师人数。
【详细解答】从教师100人，学生900人中按分层抽样方法抽取样本20人，应该抽取的教师人数=20=2（人）。
某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为 （2019成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①分层抽样的定义与性质；②分层抽样确定各层抽样数的基本方法。
【解题思路】运用分层抽样的性质和确定各层抽样数的基本方法，结合问题条件就可求出女职工的人数。
【详细解答】设该单位女职工人数为n，50=15，n=15=180（人）。
6、某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，------，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体能测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）（2019全国高考新课标I）
A 8号学生 B 200号学生 C 616号学生 D 815号学生
【解析】
【知识点】①系统抽样的定义与性质；②系统抽样的基本方法。
【解题思路】根据系统抽样的性质和系统抽样的基本方法，确定出k的值，再确定［481，720］含k的个数就可得出选项。
【详细解答】k==10，46号学生被抽到，第一组中编号为6的 新生被抽到，即 616号学生被抽到，C正确，选C。
7、某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 （2018全国高考新课标III卷）
【解析】
【考点】①简单随机抽样的定义与性质；②分层抽样的定义与性质；③系统抽样的定义与性质；④根据对象特征确定抽样方法的基本方法。
【解题思路】根据简单随机抽样，分层抽样和系统抽样的性质，结合问题条件就可确定分层抽样是最合适的抽样方法。
【详细解答】不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，最合适的抽样方法一个是按年龄段进行分层抽样。
某学校共有师生2400，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为 （2017—2018成都市高二上期质量检测）
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样确定各层抽样数的基本方法。
【解题思路】根据分层抽样的性质，运用确定各层抽样数的基本方法，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程就可求出教师的人数。
【详细解答】=，(160-150）=n，n=1015=150（人）。
9、如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表
示喜欢该项运动的频率，已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 （201
8成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②频率定义与性质；③确定各层抽样数的基本方法。
【解题思路】根据分层抽样和频率的性质，运用确定各层抽样数的基本方法，结合问题条件就可求出抽取的男生人数。
【详细解答】5000.2=100（人），5000.6=300（人），=，抽取的男生人数为
300=24（人）。
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高诊断考试或高二期末考试）试卷中关于随机抽样的问题，归结起来主要包括：①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样等几种类型；
解答随机抽样问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某校高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ）（2017马鞍山月考）（答案：D）
A 8 B 13 C 15 D 18
2、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,，2，------，960，分组后在第一组采用简单随机抽样方法抽到的号码为9号，抽到的32人中，编号落入区间［1，450］的人做问卷A，编号落入区间［451，750］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）（2016烟台摸拟）（答案：C）
A 7 B 9 C 10 D 15
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）（2015全国高考四川卷）（答案：C）
A 抽签法 B 系统抽样法 C 分层抽样法 D 随机数法
某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 （2015全国高考福建卷）（答案：应抽取的男生人数为25人）
5、某班有男生30人，女生20人，若用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为10的样本，则抽取的女生人数为 （2015四川成都质量监测）（答案：抽取的女生人数为4人）
6、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
（单位：分钟）的茎叶图如图所示 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
若将运动员按成绩由好到差编为1—35号，再 15 0 1 2 2 3 3 3
用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是（ ）（2015全国高考湖南卷）（答案：B）
A 3 B 4 C 5 D 6
7、为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学生段的学生视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（2013全国高考新课标I卷）（答案：C）
A 简单随机抽样 B 按性别分层抽样 C 按学段分层抽样 D 系统抽样
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