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第四十四讲 随机事件的概率
【考纲解读】
理解必然事件，随机事件，不可能事件，确定事件，等可能事件和事件的定义，掌握事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件和对立事件分辨的基本方法；
理解频率，概率的定义，注意频率与概率之间的关系，掌握概率的性质和概率计算的基本方法。
【知识精讲】
一、随机事件概率的定义：
1、随机事件的定义：
（1）必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；
（2）不可能事件的定义：在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；
（3）随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；
（4）确定事件的定义：必然事件与不可能事件在一定条件下的发生与不发生是确定的，这样的事件叫做确定事件；
（5）等可能事件的定义：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且每一个结果出现的可能性是相等的，这样的事件，叫做等可能事件；
（6）事件：确定事件和随机事件，统称为事件，事件一般用大写字母A，B，C，------表示。
2、事件与事件的关系及其表示：
（1）包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），表示为BA（或AB）；
（2）并事件（或和事件）：事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称事件C是事件A与事件B的并事件（或和事件），表示为C=AB（或C=A+B）；
（3）相等关系：设事件M=A+B，若CM且MC，则称事件M与事件C相等，表示为M=C；
（4）交事件（也称积事件）：事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件C是事件A与事件B的交事件（或积事件），表示为C=A B（或C=A.B）；
（5）互斥事件：若C=A B为不可能事件（或A B=），则称事件A与事件B互斥，表示为A B=；
（6）对立事件：若AB为不可能事件，AB为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，表示为P（A）+P（B）=1；
（7）互斥事件与对立事件的关系：联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生，对立事件是互斥事件的特殊情况；区别：两个互斥事件不能同时发生，也可以都不发生；两个对立事件不能同时发生，但必须有一个发生。
3、随机试验：
（1）随机试验的定义：可以在同一条件下重复进行，每次试验出现的结果不一定相同，而且事先知道该试验各种可能的结果，在试验之前不知道究竟出现哪一种结果的试验，称为随机试验；
（2）随机实验的特征：①实验在同一条件想可以重复进行，每次试验出现的结果不一定相同；②实验之前知道该试验出现各种可能的结果；③在试验之前不知道究竟出现哪一种结果。
4、随机事件概率的定义：
（1）随机事件的频率的定义：在n次重复试验中，如果某事件A发生了m次，则称比值为事件A的频率，记作f（A）=；
（2）随机事件的概率的定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是无限地接近于某一个常数，这个常数叫做事件A件概率，记作p（A）；
（3）随机事件频率与概率的关系：①频率是概率的近似值，随着试验次数的变化而变化；②概率是一个确定的常数，它是频率的极限值，试验次数的变化，对概率没有影响 ；
（4）随机事件概率的实质：是在大量重复试验中，事件A发生的频率无限接近的一个常数值，且这个常数的取值在［0,1］范围内。
（5）随机事件概率的基本性质：
（1）随机事件A的概率P（A）的取值范围是［0,1］；
（2）当事件A是不可能事件时，P(A)=0；
（3）当事件A是必然事件时，P(A)=1。
二、随机事件概率的计算：
1、随机事件概率计算公式：
（1）设随机事件A在n次重复试验中发生了m次（0≤m≤n），则P（A）=；
（2）设一次试验中可能出现的结果有n个，事件A包含的结果有m个（0≤m≤n），则P（A）=。
2、随机事件概率计算的基本方法：
求随机事件概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现的结果总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=，求出某个事件发生的概率。
三、互斥事件有一个发生的概率：
（1）互斥事件有一个发生概率的和：设事件A，B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)；
推广：设事件，，--------，是互斥事件，则P（+,+-------+）=P（）+P
（）+-------+P（）；
对立事件的概率：设A、是两个对立事件，则P(A+)=P(A)+P()=1。.
四、相互独立事件同时发生的概率：
1、相互独立事件的定义：
（1）相互独立事件的定义：一个事件是否发生，对其余事件是否发生没有影响的事件，叫做相互独立事件；
（2）互斥事件与相互独立事件的关系：①联系：互斥事件与相互独立事件都是描述两个（或几个）事件之间的关系；互斥的事件可以是相互独立的事件，同时相互独立的事件也可以是互斥事件；②区别：互斥事件强调的是不能同时发生的两个（或几个）事件，相互独立事件强调的是一个事件的发生与否对其它事件是否发生没有影响。
2、相互独立事件同时发生的概率的乘法运算：
（1）两个相互独立事件同时发生的概率：设事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A).P(B)；
(2) 多个相互独立事件同时发生的概率： 设事件，，--------，是相互独立事件，则P（-------）=P（）.P（）.------.P（）。
五、n次重复试验恰好发生k次的概率：
（1）n次独立重复试验的定义：同一试验多次独立重复进行所发生的事件，叫做n次独立重复试验；
（2）n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率：
①公式：（k）=这里P是某事件在一次试验中发生的概率；
②n次重复试验恰好发生k次的概率计算的基本方法：
:n次重复试验某事件恰好发生k次的概率计算方法是：①确定某事件在一次试验中发生的概率P；②直接运用公式：（k）=计算结果。
六、条件概率：
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示；
（2）条件概率的计算公式:：P(B|A)=；
（3）条件概率的性质：①0（4）求条件概率的基本方法：①求出事件A的概率P(A)；②求出事件A，B积的概率P(AB)；③运用公式P(B|A)= 求出P(B|A)的概率。
【探导考点】
考点1事件关系的判断：热点①互斥事件的判断；热点②对立事件的判断；热点③互斥事件与对立事件的分辨；
考点2随机事件的频率与概率：热点①随机事件的频率；热点②随机事件的概率；热点③随机事件频率与概率的分辨；
考点3互斥事件与对立事件的概率：热点①互斥事件的概率；热点②对立事件的概率；热点③互斥事件与对立事件的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
2、某城市有甲，乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订阅一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它是不是对立事件。
①A与C， ②B与E， ③B与D， ④B与C， ⑤C与E。
3、从40张扑克牌（红桃，方块，黑桃，梅花点数从1—10各10张）中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为 ，对立事件为 。
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌点数是5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”。
『思考问题1』
（1）【典例1】是事件关系的判断问题，解答这类问题需要理解事件的定义，了解包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
〔练习1〕解答下列问题：
1、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A 至多有一次中靶 B 两次都中靶 C 只有一次中靶 D 两次都不中靶
2、有下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M“两次出现正面”，事件N“只有一次出现反面”，则事件M与事件N互为对立事件；②若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件；③若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件；④若事件A与事件B互为对立事件，则事件A B为必然事件。其中真命题是（ ）
A ①②④ B ②④ C ③④ D ①②
3、判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它是不是对立事件：
从一堆产品（其中正品与次品都多于两个）中任取2件。
①恰有一件次品和恰2件次品； ②至少有一件次品和全是次品；
③至少有一件正品和一件次品； ④至少有一件次品和全是正品。
【典例2】解答下列问题：
1、某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了 优等品数m 45 92 194 470 954 1902
抽样检测，检查结果如下表所示： 优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）。
2、利用简单随机抽样方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的学生123人，若在这个学校随机调查一名学生，求抽到戴眼镜的学生的概率是多少？
3、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
4、将骰子先后抛掷2次，计算：
（1）一共有多少种不同的结果；
（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的数之和是5的概率是多少？
5、某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表（1）所示：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表（2）的统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频数 60 50 30 30 20 10
表（1） 表（2）
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p（A）的估计值；
（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”， 求p（B）的估计值；
（3）求续保人本年度的平均保费的估计值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是随机事件的频率与概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件的频率和概率的定义，注意随机事件频率和概率之间的关系，掌握随机事件频率和概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件频率和概率的关系是：①联系：频率是概率的近似值，概率是频率的极限值；②区别：频率是一个不确定的值，随着试验次数的变化，它的值也会随着改变，概率是一个确定的值，不管试验次数如何改变，它的值始终保持不变；
（3）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出某个事件发生的概率。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在6月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5。已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,
160，220,140,160。 近20年六月份降雨量频率分布表
（1）完成如下的频率分布表： 降雨量 70 110 140 160 200 220
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年 频率
六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率。
2、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求：
（1）抽到红心（事件A）的概率是多少？
（2）抽到方片（事件B）的概率是多少？
3、某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面设的次数（如下表），如果再投掷一次，请估计石块的第4面落在桌面设的概率是多少？
石块的面 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
4、在一个袋子中放有9个白球，1个红球，摇匀后随机模球：
（1）每次摸出球后记下球的颜色，然后放回袋中；
（2）每次摸出球后不放回袋中。
在两种情况下分别作10次试验，求每种情况下第4次模到红球的频率，两个频率相差的远吗？两个事件的概率一样吗？第4次摸到红球的频率预第1次摸到红球的频率相差的远吗？请说明原因。
【典例3】解答下列问题：
1、10件产品中有8件合格品，2件次品，从中任取2件，计算：
（1）2件都是合格品的概率；
（2）2件都是次品的概率；
（3）1件合格品，1件次品的概率。
2、储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？
（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
3、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，求：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
4、在箱子中装有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任意取一张卡片记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取一张卡片记下它的读数y，试求：
（1）x+y是10的倍数的概率；
（2）xy是3的倍数的概率。
5、某人有5把钥匙，其中只有1把房门钥匙，但他忘了开房门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开房门锁的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开房门锁的概率是多少？
『思考问题3』
（1）【典例3】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本求法；
（2）求随机事件概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出某个事件发生的概率。
〔练习3〕解答下列问题：
1、设有n个人，每个人都等可能地分配到N（N≥n）个房间中的任意一个去住，求下列事件的概率：
（1）某指定的n个房间中各有一人；
（2）恰有n个房间，其中各有一人；
（3）某指定的房间中恰有m(m≤n)个人。
2、把四个不同的球任意投入四个不同的盒子内（每盒装球数不限）求：
（1）无空盒的概率；
（2）恰有一个空盒的概率。
3、用数字1,2,3,4,5组成五位数，求其中恰有四个相同数字的概率；
4、某班星期一要上数学、物理、历史、技术、体育各一节共五节课，求体育课不排第一节，且技术科与体育课不相邻的概率；
5、从男女生共36人中，选出2名代表，每人当选的机会相等，如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几人；
【典例4】解答下列问题：
1、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红心（事件A）的概率是，抽到方片（事件B）的概率是，求：
（1）抽到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）抽到黑色牌（事件D）的概率是多少？
2、如果某人在某种比赛（这种比赛不会出现“和”的情况）中获胜的概率是0.3，那么他输的概率是多少？
3、袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，黄球，绿球的概率各是多少？
4、某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得。1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖50个，若一张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）一张奖券中奖的概率；
（3）一张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率。
5、李老师在某大学连续3年主讲经济学院 成绩 人数
的高等数学，右表是李老师这门课3年来 90分以上 43
的考试成绩分布： 80——89分 182
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修 70——79分 260
李老师的高等数学课，用已有的信息估计 60——69分 90
她得以下分数的概率： 50——59分 62
（1）90分以上； 50分以下 8
（2）60—69分；
（3）60分以上。
6、某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。求：
（1）两人都抽到足球票的概率是多少？
（2）两人中至少有一人抽到足球票的概率是多少？
『思考问题4』
（1）【典例4】是与互斥事件，对立事件的概率相关的问题，解答这类问题需要理解互斥事件，对立事件的定义，弄清互斥事件与对立事件的关系，掌握互斥事件概率和的运算公式，对立事件概率和为1特性；
（2）求复杂事件概率的基本方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件，分别求出这些事件的概率，再运用互斥事件的求和公式求出复杂事件的概率；
（4）间接法是先求此事件的对立事件的概率，再运用对立事件概率为1的特性，求出所求事件的概率，这种方法也是常说的逆向思维法，尤其是题目中含有“至少”或“至多”时，这种方法的效果更突出。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若A、B为互斥事件，则（ ）
A P（A）+P(B)＜1 B P（A）+P(B)＞1 C P（A）+P(B)=1 D P（A）+P(B)≤1
2、在5张电话卡中，有3张移动卡和两张联通卡，从中任意取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）
3、甲，乙二人下棋，甲获胜的概率为30℅，两人下成和棋的概率为50℅，求甲不输棋的概率；
4、一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，-------9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？
A 至多有一张移动卡B 恰有一张移动卡 C 都不是移动卡 D 至少有一张移动卡
5、在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是多少？
6、袋中有4个白球，6个红球，在抽取这些球的时候无法看到球的颜色，现先由甲抽出3个球，并且取出的球不再放回原袋中，再由乙取出4个球，若规定取得白球多者为胜，试求甲获胜的概率；
7、9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，现用抽签的方式把他们分成甲、乙、丙三
（每组3队）进行预赛，试求：
（1）三个组各有一个亚洲队的概率；
(2)至少有两个亚洲队分在同一组的概率。
【典例5】解答下列问题：
1、如图在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个
开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内每个开关能够闭
合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率；
2、三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛的顺序是第一局甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率。
3、为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用 （万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施也可以联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大。
4、甲、乙二人各进行一次射击，如果二人击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）二人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率；
（3）至少有一人击中目标的概率。
5、在某段时间，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地
否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲，乙两地都下雨的概率；
(2)甲，乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少一个地方下雨的概率。
6、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是，，，现三人各投球一次，求：
（1）三人都投进的概率；
（2）三人都未投进的概率；
（3）三人中恰有一人投进的概率；
（4）三人中恰有二人投进的概率。
『思考问题5』
（1）【典例5】是相互独立事件概率的计算问题，解答这类问题首先需要正确判断问题中涉及的事件是否是相互独立事件，其次是掌握相互独立事件同时发生概率计算的基本方法；
（2）计算相互独立事件同时发生的概率的基本方法是：①直接法，运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式直接运算；②间接法，先计算问题的对立事件的概率，再运用两个对立事件的概率和为1的性质求出问题的答案。
〔练习5〕解答下列问题：
1、一个口袋内装有2个白球和2个黑球，把“次中人员摸出1个球，得到白球”记作事件A，把“次剩下的3个球中任意摸出1个球，得到黑球记作事件B，那么在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？
2、生产一种零件，甲车间的合格率是96℅，乙车间的合格率是97℅，次他们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是多少？
3、某射击手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次是否击中相互之间没有影响，那么他第二未击中，其他3次都击中的概率是多少？
4、某人有外形相似的5把钥匙串在一起，其中2把是房门钥匙，但他忘了开房门是哪两把钥匙，只好逐把试开（试后不放回），求此人在3次内能打开房门的概率是多少？
5、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，甲、乙、丙都作对的概率是，甲、乙、丙都作错的概率是。
（1）分别求乙、丙各自作对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人作对这道题的概率。
6、设一射手平均射击10次中把4次，求在5次射击中：
（1）恰好射中一次的概率；
（2）第二次射中一次的概率；
（3）恰好射中二次的概率；
（4）第二次第三次射中的概率；
（5）至少射中一次的概率。
【典例6】解答下列问题：
1、某气象站天气预报的准确率为80℅，求：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率。
2、设一射手平均射击10次中把4次，求在5次射击中：
（1）恰好射中一次的概率；
（2）恰好射中二次的概率；
（3）至少射中一次的概率。
3、掷三颗骰子（各面分别标有数字1到6的正方体玩具）试求：
（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；
（2）恰好一颗骰子出现1点或6点的概率；
（3）至少两颗骰子出现1点或6点的概率。
『思考问题6』
（1）【典例6】是n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率的计算问题，解答这类问题需要理解n次独立重复试验的定义，掌握n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率的计算公式与基本方法；
（2）n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率的计算公式：（k）=，但应注意这里概率p是指在一次独立试验中某事件发生的概率；
（3）求n次独立重复试验某事件恰好发生k次概率的基本方法有：①直接法，运用n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率公式直接运算；②间接法，先计算问题的对立事件的概率，再运用两个对立事件的概率和为1的性质求出问题的答案。
〔练习6〕解答下列问题：
1、某种大炮每门射击一次击中目标的概率是0.4，现在用n门同样的大炮同时对同一目标进行射击，若要使目标被击中的概率超过0.9，求n是多少？
2、某气象站天气预报的准确率未90℅，求：
（1）6次预报中恰有5次准确的概率；
（2）6次预报中至少有5次准确的概率。
3、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数 0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 25人以上
概 率 0.1 0.15 0.25 0.2 5 0.2 0.05
求：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天（含3天）以上出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
【典例7】解答下列问题：
1、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机抽取1粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 ；
2、如图所示的电路有a、b、c三个开关，每个开 b
关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯 a
泡甲亮的概率为 。 甲 c
『思考问题7』
（1）【典例7】是条件概率的计算问题，解答这类问题首先需要理解条件概率的定义，其次是掌握条件概率的性质，计算公式和计算的基本方法；
（2）求条件概率的基本方法是：①求出事件A的概率P(A)，事件A，B积的概率P(AB)；②运用公式P(B|A)= 求出P(B|A)的概率。
〔练习7〕解答下列问题：
1、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机求出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）
A B C D
2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能够成长为幼苗的概率为 。
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
2、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022
全国高考乙卷）
3、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
4、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
5、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
6、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
7、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
8、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
『思考问题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中关于随机事件概率的问题，归结起来主要包括：①事件与事件的关系；②随机事件的概率；③互斥事件有一个发生的概率；④对立事件的概率；⑤相互独立事件同时发生的概率；⑥n次重复试验某事件恰好发生k次的概率；⑦条件概率等几种类型；
解答随机事件概率问题的基本方法是：①归结问题结构特征，判断问题所属类型；②运用求解该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
2、齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣与齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马。现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ）（2019成都市高三一诊）
A B C D
3、在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，若票仓中有足够多的票，则下列说法正确的是（ ）（2018—2019成都市高二上期调研考试）
A 若只摸取一张票，则中奖的概率为1% B若只摸取一张票，则中奖的概率为2%
C若100个人按先后顺序每人摸取一张票，则一定有2人中奖
D若100个人按先后顺序每人摸取一张票，则第一个摸票的人中奖概率最大
4、某车间有5名工人，其中初级工2人，中级工2人，高级工1人，现从这5名工人中随机抽取2名。
（1）求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
（2）求被抽取的2名工人中没有中级工的概率（2018—2019成都市高二上期调研考试）
5、某学习小组有4名男生和3名女生，若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为 （2019成都市高三三诊）
6、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）（2019全国高考新课标III（文））
A B C D
7、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个 组成， 分为阳 “—”和阴 “--”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳 的概率是（ ）（2019全国高考新课标I）
A B C D
8、甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主，客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 （2019全国高考新课标I）
第四十四讲 随机事件的概率
【考纲解读】
1.理解必然事件，随机事件，不可能事件，确定事件，等可能事件和事件的定义，掌握事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件和对立事件分辨的基本方法；
2.理解频率，概率的定义，注意频率与概率之间的关系，掌握概率的性质和概率计算的基本方法。
【知识精讲】
一、随机事件概率的定义：
1、随机事件的定义：
（1）必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；
（2）不可能事件的定义：在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；
（3）随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；
（4）确定事件的定义：必然事件与不可能事件在一定条件下的发生与不发生是确定的，这样的事件叫做确定事件；
（5）等可能事件的定义：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且每一个结果出现的可能性是相等的，这样的事件，叫做等可能事件；
（6）事件：确定事件和随机事件，统称为事件，事件一般用大写字母A，B，C，------表示。
2、事件与事件的关系及其表示：
（1）包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），表示为BA（或AB）；
（2）并事件（或和事件）：事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称事件C是事件A与事件B的并事件（或和事件），表示为C=AB（或C=A+B）；
（3）相等关系：设事件M=A+B，若CM且MC，则称事件M与事件C相等，表示为M=C；
（4）交事件（也称积事件）：事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件C是事件A与事件B的交事件（或积事件），表示为C=A B（或C=A.B）；
（5）互斥事件：若C=A B为不可能事件（或A B=），则称事件A与事件B互斥，表示为A B=；
（6）对立事件：若AB为不可能事件，AB为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，表示为P（A）+P（B）=1；
（7）互斥事件与对立事件的关系：联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生，对立事件是互斥事件的特殊情况；区别：两个互斥事件不能同时发生，也可以都不发生；两个对立事件不能同时发生，但必须有一个发生。
3、随机试验：
（1）随机试验的定义：可以在同一条件下重复进行，每次试验出现的结果不一定相同，而且事先知道该试验各种可能的结果，在试验之前不知道究竟出现哪一种结果的试验，称为随机试验；
（2）随机实验的特征：①实验在同一条件想可以重复进行，每次试验出现的结果不一定相同；②实验之前知道该试验出现各种可能的结果；③在试验之前不知道究竟出现哪一种结果。
4、随机事件概率的定义：
（1）随机事件的频率的定义：在n次重复试验中，如果某事件A发生了m次，则称比值为事件A的频率，记作f（A）=；
（2）随机事件的概率的定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是无限地接近于某一个常数，这个常数叫做事件A件概率，记作p（A）；
（3）随机事件频率与概率的关系：①频率是概率的近似值，随着试验次数的变化而变化；②概率是一个确定的常数，它是频率的极限值，试验次数的变化，对概率没有影响 ；
（4）随机事件概率的实质：是在大量重复试验中，事件A发生的频率无限接近的一个常数值，且这个常数的取值在［0,1］范围内。
（5）随机事件概率的基本性质：
（1）随机事件A的概率P（A）的取值范围是［0,1］；
（2）当事件A是不可能事件时，P(A)=0；
（3）当事件A是必然事件时，P(A)=1。
二、随机事件概率的计算：
1、随机事件概率计算公式：
（1）设随机事件A在n次重复试验中发生了m次（0≤m≤n），则P（A）=；
（2）设一次试验中可能出现的结果有n个，事件A包含的结果有m个（0≤m≤n），则P（A）=。
2、随机事件概率计算的基本方法：
求随机事件概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现的结果总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=，求出某个事件发生的概率。
三、互斥事件有一个发生的概率：
（1）互斥事件有一个发生概率的和：设事件A，B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)；
推广：设事件，，--------，是互斥事件，则P（+,+-------+）=P（）+P
（）+-------+P（）；
对立事件的概率：设A、是两个对立事件，则P(A+)=P(A)+P()=1。.
四、相互独立事件同时发生的概率：
1、相互独立事件的定义：
（1）相互独立事件的定义：一个事件是否发生，对其余事件是否发生没有影响的事件，叫做相互独立事件；
（2）互斥事件与相互独立事件的关系：①联系：互斥事件与相互独立事件都是描述两个（或几个）事件之间的关系；互斥的事件可以是相互独立的事件，同时相互独立的事件也可以是互斥事件；②区别：互斥事件强调的是不能同时发生的两个（或几个）事件，相互独立事件强调的是一个事件的发生与否对其它事件是否发生没有影响。
2、相互独立事件同时发生的概率的乘法运算：
（1）两个相互独立事件同时发生的概率：设事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A).P(B)；
(2) 多个相互独立事件同时发生的概率： 设事件，，--------，是相互独立事件，则P（-------）=P（）.P（）.------.P（）。
五、n次重复试验恰好发生k次的概率：
（1）n次独立重复试验的定义：同一试验多次独立重复进行所发生的事件，叫做n次独立重复试验；
（2）n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率：
①公式：（k）=这里P是某事件在一次试验中发生的概率；
②n次重复试验恰好发生k次的概率计算的基本方法：
:n次重复试验某事件恰好发生k次的概率计算方法是：①确定某事件在一次试验中发生的概率P；②直接运用公式：（k）=计算结果。
六、条件概率：
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示；
（2）条件概率的计算公式:：P(B|A)=；
（3）条件概率的性质：①0（4）求条件概率的基本方法：①求出事件A的概率P(A)；②求出事件A，B积的概率P(AB)；③运用公式P(B|A)= 求出P(B|A)的概率。
【探导考点】
考点1事件关系的判断：热点①互斥事件的判断；热点②对立事件的判断；热点③互斥事件与对立事件的分辨；
考点2随机事件的频率与概率：热点①随机事件的频率；热点②随机事件的概率；热点③随机事件频率与概率的分辨；
考点3互斥事件与对立事件的概率：热点①互斥事件的概率；热点②对立事件的概率；热点③互斥事件与对立事件的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
【解析】
【知识点】①事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质；③判断对立事件的基本方法。
【解题思路】运用对立事件的性质对各问题中涉及的两个事件分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，任取的两个数中恰有一个是偶数，那么另一个就是奇数，同时任取的两个数中恰有一个是奇数，那么另一个就是偶数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对②，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对③，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，但不可能两个都是偶数，两个事件不可能同时发生，且有一个必定发生，是对立事件；对④，任取的两个数中至少有一个奇数，包含恰有一个奇数和一个偶数的事件，任取的两个数中至少有一个偶数，包含恰有一个偶数和一个奇数的事件，不是对立事件，
C正确，选C。
2、某城市有甲，乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订阅甲报纸”，事件B为“至少订阅一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它是不是对立事件。
①A与C， ②B与E， ③B与D， ④B与C， ⑤C与E。
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质。
【解题思路】运用互斥事件和对立事件的性质对各问题中的两个事件分别进行判断就可得出结果。
【详细解答】对①，事件C“至多订一种报纸”包含事件A“只订阅甲报纸”， 不是互斥事件；对②，事件B“至少订阅一种报纸”，与事件E“一种报纸也不订”，不可能同时发生，且两个事件必定有一个发生，既是互斥事件，又是对立事件；对③，事件B“至少订阅一种报纸”，包含事件D“不订甲报纸”， 不是互斥事件；对④，事件B“至少订阅一种报纸”，包含事件C“至多订一种报纸”， 不是互斥事件；对⑤，事件C“至多订一种报纸”，包含事件E“一种报纸也不订”， 不是互斥事件。
3、从40张扑克牌（红桃，方块，黑桃，梅花点数从1—10各10张）中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为 ，对立事件为 。
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌点数是5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”。
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质。
【解题思路】运用互斥事件和对立事件的性质对各问题中的两个事件分别进行判断就可得出结果。
【详细解答】对①，“抽出红桃”与“抽出黑桃”，两个事件不可能同时发生，也有可能两个事件都不发生，是互斥事件，但不是对立事件；对②， “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且两个事件必定有一个发生，既是互斥事件，又是对立事件；对③，“抽出的牌点数是5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”两个事件有可能同时发生，既不是互斥事件，又不是对立事件；互斥事件为①②，对立事件为②。
『思考问题1』
（1）【典例1】是事件关系的判断问题，解答这类问题需要理解事件的定义，了解包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
〔练习1〕解答下列问题：
1、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）（答案：D）
A 至多有一次中靶 B 两次都中靶 C 只有一次中靶 D 两次都不中靶
2、有下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M“两次出现正面”，事件N“只有一次出现反面”，则事件M与事件N互为对立事件；②若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件；③若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件；④若事件A与事件B互为对立事件，则事件A B为必然事件。其中真命题是（ ）
A ①②④ B ②④ C ③④ D ①② （答案：A）
3、判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它是不是对立事件：
从一堆产品（其中正品与次品都多于两个）中任取2件。
①恰有一件次品和恰2件次品； ②至少有一件次品和全是次品；
③至少有一件正品和一件次品； ④至少有一件次品和全是正品。
（答案：①是互斥事件，但不是对立事件； ②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件，也是对立事件。）
【典例2】解答下列问题：
1、某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了 优等品数m 45 92 194 470 954 1902
抽样检测，检查结果如下表所示： 优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）。
【解析】
【知识点】①随机事件频率的定义与性质；②随机事件概率的定义与性质；③求随机事件频率的基本方法；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用随机事件频率的性质和基本求法，根据表中数据就可求出优等品的频率；（2）利用随机事件的性质和基本求法就可求出从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率。
【详细解答】（1） 随机事件的频率f（A）=，表中乒乓球优等品的频率分别为：f（A）= = ，f（A）= = ，f（A）= = ，f（A）= = ，f（A）= = ，f（A）= = ；（2）随机事件的概率等于试验次数相当大时，随机事件的频率， p（A）0.951。
2、利用简单随机抽样方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的学生123人，若在这个学校随机调查一名学生，求抽到戴眼镜的学生的概率是多少？
【解析】
【知识点】①随机事件概率的定义与性质；②求随机事件概率的基本方法；③统计估计的基本方法。
【解题思路】运用随机事件概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出在这个学校随机调查一名学生，抽到戴眼镜的学生的概率。
【详细解答】从样本中随机抽取一名学生的基本事件n=200，从样本中随机抽取一名学生抽到戴眼镜的学生的基本事件m=123，从样本中随机抽取一名学生抽到戴眼镜的学生的概率为P（A）===0.615，即：在这个学校随机调查一名学生，抽到戴眼镜的学生的概率是0.615。
3、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数的基本方法，结合问题条件就可求出从中摸出2个球的不同结果数；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，由（1）就可求出摸出2个黑球的不同结果数；（3）利用随机事件概率的性质和基本求法，由（1），（2）就可求出摸出2个黑球的概率。
【详细解答】（1）设白球为A，有不同号码的3个黑球分别为，，，从中摸出2个球的基本事件有A，A，A，，，共6个，从中摸出2个球共有6种不同的结果；（2）由（1）知摸出2个黑球的基本事件有，，共3个，摸出2个黑球有3种不同的结果；（3）设从中随机摸出2个球，摸出2个黑球的事件为C， P（C）== = ，从中随机摸出2个球，摸出2个黑球的概率是。
4、将骰子先后抛掷2次，计算：
（1）一共有多少种不同的结果；
（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的数之和是5的概率是多少？
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数的基本方法，结合问题条件就可求出将骰子先后抛掷2次的不同的结果数；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，由（1）就可求出将骰子先后抛掷2次，向上的数之和是5的结果数；（3）利用随机事件概率的性质和基本求法，由（1），（2）就可求出向上的数之和是5的概率。
【详细解答】（1）将骰子先后抛掷2次的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），
（6，5），（6，6）共36个，将骰子先后抛掷2次不同的结果数为36；（2）由（1）知
将骰子先后抛掷2次向上的数之和是5的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4个，将骰子先后抛掷2次，向上的数之和是5的不同结果数为4；（3）设将骰子先后抛掷2次，向上的数之和是5的事件为A， P（A）== = ，将骰子先后抛掷2次，向上的数之和是5的概率为。
5、某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表（1）所示：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表（2）的统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频数 60 50 30 30 20 10
表（1） 表（2）
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p（A）的估计值；
（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”， 求p（B）的估计值；
（3）求续保人本年度的平均保费的估计值。
【解析】
【知识点】①随机事件频率的定义与基本求法；②随机事件概率的定义与基本求法；③平均数的定义与基本求法；④统计估计的基本方法。
【解题思路】（1）运用求随机事件频率的基本方法，结合表中数据求出样本“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的频率，从而得到样本p（A）的值，利用统计估计的基本方法就可得出p（A）的估计值；（2）运用求随机事件频率的基本方法，结合表中数据求出样本“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的频率，从而得到样本p（B）的值，利用统计估计的基本方法就可得出p（B）的估计值；（3）运用求平均数的基本方法求出样本的平均数，利用统计估计的基本方法就可得出续保人本年度的平均保费的估计值。
【详细解答】（1）事件A发生，当且仅当续保人一年内出险次数小于2，一年内出险次数小于2的频率f（A）= =0.55，p（A）的估计值为0.55；（2）事件B发生，当且仅当续保人一年内出险次数大于1且小于4，一年内出险次数大于1且小于4的频率f（B）= =0.3，p（B）的估计值为0.3；（3）样本中，续保人的平均保费为：
=1.1925a，续保人本年度的平均保费的估计值为1.1925a。
『思考问题2』
（1）【典例2】是随机事件的频率与概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件的频率和概率的定义，注意随机事件频率和概率之间的关系，掌握随机事件频率和概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件频率和概率的关系是：①联系：频率是概率的近似值，概率是频率的极限值；②区别：频率是一个不确定的值，随着试验次数的变化，它的值也会随着改变，概率是一个确定的值，不管试验次数如何改变，它的值始终保持不变；
（3）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出某个事件发生的概率。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在6月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当x=70时，y=460；x每增加10，y增加5。已知近20年x的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160。 近20年六月份降雨量频率分布表
（1）完成如下的频率分布表： 降雨量 70 110 140 160 200 220
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年 频率
六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率。（答案：今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）的概率为0.2；超过530（万千瓦时）的概率为0.1）
2、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求：
（1）抽到红心（事件A）的概率是多少？（答案：抽到红心（事件A）的概率是0.25；（2）（2）抽到方片（事件B）的概率是多少？抽到方片（事件B）的概率是0.25）
3、某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数（如下表），如果再投掷一次，请估计石块的第4面落在桌面上的概率是多少？（答案：再投掷一次，估计石块的第4面落在桌面上的概率是0.13）
石块的面 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
4、在一个袋子中放有9个白球，1个红球，摇匀后随机模球：
（1）每次摸出球后记下球的颜色，然后放回袋中；
（2）每次摸出球后不放回袋中。
在两种情况下分别作10次试验，求每种情况下第4次模到红球的频率，两个频率相差的远吗？两个事件的概率一样吗？第4次摸到红球的频率预第1次摸到红球的频率相差的远吗？请说明原因。（答案：（1）每次摸出球后记下球的颜色，然后放回袋中作10次试验，第4次模到红球的频率为；（2）每次摸出球后不放回袋中作10次试验，第4次模到红球的频率为0.1；）
【典例3】解答下列问题：
1、10件产品中有8件合格品，2件次品，从中任取2件，计算：
（1）2件都是合格品的概率；
（2）2件都是次品的概率；
（3）1件合格品，1件次品的概率。
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出从10件产品中任取2件的不同结果数，取出2件都是合格品的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出从10件产品中任取2件，2件都是合格品的概率；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出取出2件都是次品的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出从10件产品中任取2件，2件都是次品的概率；（3）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出取出2件1件是合格品，1件是次品的不同结果数，利用求随机事件概率的基本求法，就可求出从10件产品中任取2件，1件合格品，1件次品的概率。
【详细解答】（1）设8件合格品分别为，，，，，，，，2件次品分别为，，从10件产品中任取2件，2件都是合格品的事件为C， 从10件产品中任取2件的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，共45个，取出2件都是合格品的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28个，p（C）=；（2）设从10件产品中任取2件，2件都是次品的事件为D，从10件产品中任取2件，2件都是次品的基本事件有1个，p（D）=；（3）设从10件产品中任取2件，取出的2件1件为合格品，1件为次品的事件为E，从10件产品中任取2件，取出的2件1件为合格品，1件为次品的基本事件有：，，，，，，，，
，，，，，，，共16个，p（E）=。
2、储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？
（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出4位数字号码的不同结果数，储蓄卡上密码的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率。
【详细解答】（1）设随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的事件为A，4位数字号码共有10101010=10000个，一张储蓄卡密码的4位号码只有1个，p（A）=；（2）设前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的事件为B，前三位号码仍按本卡密码而随意按下密码的最后一位数字的不同结果数有10个，p（B）=。
3、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，求：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出甲、乙二人依次各抽一题的不同结果数，甲抽到选择题，乙抽到判断题的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率。
【详细解答】（1）设甲抽到选择题，乙抽到判断题的事件为A，甲、乙二人依次各抽一题的基本事件为10 9=90，甲抽到选择题，乙抽到判断题的基本事件为64=24，p（A）==；（2）设甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的事件为B，甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的基本事件为64+46+65=78，p（B）==。
4、在箱子中装有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任意取一张卡片记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取一张卡片记下它的读数y，试求：
（1）x+y是10的倍数的概率；
（2）xy是3的倍数的概率。
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出从箱子中任意取一张卡片记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取一张卡片记下它的读数y的不同结果数，x+y是10的倍数的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出x+y是10的倍数的概率；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出xy是3的倍数的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出xy是3的倍数的概率。
【详细解答】（1）设x+y是10的倍数的事件为A，从箱子中任意取一张卡片记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取一张卡片记下它的读数y的基本事件为1010=100，x+y是10的倍数的基本事件有（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）共10个，p（A）==；（2）设xy是3的倍数的事件为B，xy是3的倍数的基本事件有（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（3，6），（6，3），（3，7），（7，3），（3，8），（8，3），（3，9），（9，3），（3，10），（10，3），（6，6），（6，7），（7，6），（5，9），（9，5），
（6，8），（8，6），（6，9），（9，6），（7，9），（9，7），（8，9），（9，8），（9，9），（9，10），
（10，9）共35个，p（B）==。
5、某人有5把钥匙，其中只有1把房门钥匙，但他忘了开房门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开房门锁的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开房门锁的概率是多少？
【解析】
【知识点】①试验发生总数的定义与基本求法；②某种试验发生数的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出5把钥匙，其中只有1把房门钥匙，逐把不重复地试开的不同结果数，恰好第三次打开房门锁的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出恰好第三次打开房门锁的概率；（2）根据求某事件试验发生数的基本方法，求出三次内打开房门锁的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出三次内打开房门锁x的概率；（3）运用求试验发生总数和某种试验发生数的基本方法，结合问题条件分别求出5把钥匙，其中有2把房门钥匙，逐把不重复地试开的不同结果数，三次内打开房门锁的不同结果数，利用求随机事件概率的基本方法就可求出次内打开房门锁的概率；。
【详细解答】（1）设恰好第三次打开房门锁的事件为C， 5把钥匙的不同位置可能有54321=120个，恰好第三次打开房门锁的不同位置有4321=24个，p（C）==；（2）设三次内打开房门锁的事件为D，三次内打开房门锁的不同位置有34321=72个，p（D）==；（3）设5把内有2把房门钥匙，三次内打开房门锁的事件为E，5把内有2把房门钥匙，三次内打开房门锁的不同位置有32321
=36个，p（E）==。
『思考问题3』
（1）【典例3】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本求法；
（2）求随机事件概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出某个事件发生的概率。
〔练习3〕解答下列问题：
1、设有n个人，每个人都等可能地分配到N（N≥n）个房间中的任意一个去住，求下列事件的概率：
（1）某指定的n个房间中各有一人；（答案：（1）某指定的n个房间中各有一人的概率是；（2）恰有n个房间，其中各有一人；（2）恰有n个房间，其中各有一人的概率是；（3）某指定的房间中恰有m(m≤n)个人。某指定的房间中恰有m(m≤N)个人的概率是）
2、把四个不同的球任意投入四个不同的盒子内（每盒装球数不限）求：
（1）无空盒的概率；（答案：（1）无空盒的概率是；恰有一个空盒的概率是。）
（2）恰有一个空盒的概率。
3、用数字1,2,3,4,5组成五位数，求其中恰有四个相同数字的概率；（答案：其中恰有四个相同数字的概率是）
4、某班星期一要上数学、物理、历史、技术、体育各一节共五节课，求体育课不排第一节，且技术科与体育课不相邻的概率；（答案：体育课不排第一节，且技术科与体育课不相邻的概率是）
5、从男女生共36人中，选出2名代表，每人当选的机会相等，如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几人；（答案：该班中男女生相差6人）
【典例4】解答下列问题：
1、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红心（事件A）的概率是，抽到方片（事件B）的概率是，求：
（1）抽到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）抽到黑色牌（事件D）的概率是多少？
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②对立事件的定义余性质；随机事件概率的定义与基本求法；③随机事件概率的定义与基本求法；④互斥事件有一个发生的概率的基本求法；⑤对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求互斥事件有一个发生的概率的基本方法，结合问题条件就可求出抽到红色牌（事件C）的概率；（2）利用求对立事件概率的基本方法，由（1）就可求出抽到黑色牌（事件D）的概率。
【详细解答】（1）抽到红心（事件A）的概率是，抽到方片（事件B）的概率是， p（C）= p（A）+ p（B）=+=；（2） p（C）+ p（D）=1， p（D）=1- p（C）
=1-=。
2、如果某人在某种比赛（这种比赛不会出现“和”的情况）中获胜的概率是0.3，那么他输的概率是多少？
【解析】
【知识点】①对立事件的定义余性质；②立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】运用求对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出某人在某种比赛（这种比赛不会出现“和”的情况）输的概率。
【详细解答】设某人在某种比赛（这种比赛不会出现“和”的情况）输的事件为A，某人在某种比赛（这种比赛不会出现“和”的情况）中获胜的概率是0.3， p（A）=1-0.3=0.7。
3、袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，黄球，绿球的概率各是多少？
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②随机事件概率的定义与基本求法；③互斥事件有一个发生的概率的基本求法。
【解题思路】运用求互斥事件有一个发生的概率的基本方法，结合问题条件得到关于从中任取一球得到黑球，黄球，绿球概率的方程组，求解方程组就可求出从中任取一球，得到黑球，黄球，绿球的概率。
【详细解答】设从中任取一球，得到黑球，黄球，绿球的事件分别为A，B，C， p（A）+ p（B）+ p（C）=1- =①，p（A）+ p（B）=②，p（B）+ p（C）=③，联立①②③解得：p（A）= ， p（B）=， p（C）=，从中任取一球，得到黑球，黄球，绿球的概率分别为，，。
4、某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得。1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖50个，若一张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）一张奖券中奖的概率；
（3）一张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率。
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②随机事件概率的定义与基本求法；③互斥事件有一个发生的概率的基本求法。
【解题思路】（1）运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出P（A），P（B），P（C）的值；（2）运用求互斥事件有一个发生的概率的基本方法，由（1）就可求出一张奖券中奖的概率；（3）运用求对立事件概率的基本方法，由（1）就可求出张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率。
【详细解答】（1）P（A）= ，P（B）= = ，P（C）= = ；（2）设一张奖券中奖的事件为D， p（D）= P（A）+P（B）+P（C）=++
=，一张奖券中奖的概率为；（3）设一张奖券不中特等奖，且不中一等奖的事件为E， p（E）=1--=。
5、李老师在某大学连续3年主讲经济学院 成绩 人数
的高等数学，右表是李老师这门课3年来 90分以上 43
的考试成绩分布： 80——89分 182
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修 70——79分 260
李老师的高等数学课，用已有的信息估计 60——69分 90
她得以下分数的概率： 50——59分 62
（1）90分以上； 50分以下 8
（2）60—69分；
（3）60分以上。
【解析】
【知识点】①随机事件的定义与性质；②随机事件概率的定义与基本求法；③统计估计的基本方法。
【解题思路】（1）运用求随机事件概率和统计估计的基本方法，结合问题条件就可估计出王小慧得90分以上的概率：（2）运用求随机事件概率和统计估计的基本方法，结合问题条件就可估计出王小慧得60—69分的概率：（3）运用求随机事件概率和统计估计的基本方法，结合问题条件就可估计出王小慧得60分以上的概率。
【详细解答】（1）设王小慧得90分以上的事件为A，P（A）==，估计王小慧得90分以上的概率为；（2）设王小慧得60—69分的事件为B，P（B）==，估计王小慧得60—69分的概率为；（3）设王小慧得60分以上的事件为C，P（C）==，估计王小慧得90分以上的概率为。
6、某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。求：
（1）两人都抽到足球票的概率是多少？
（2）两人中至少有一人抽到足球票的概率是多少？
【解析】
【知识点】①随机事件的定义与性质；②随机事件概率的定义与基本求法；③对立事件的定义与性质；④对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出两人都抽到足球票的概率：（2）运用求对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出两人中至少有一人抽到足球票的概率。
【详细解答】（1）设两人都抽到足球票的事件为A， P（A）= = ，两人都抽到足球票的概率是；（2）设两人中至少有一人抽到足球票的事件为B,则两人都没有抽到足球票的事件为， P（）==， P（B）=1-=，即：两人中至少有一人抽到足球票的概率是。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与互斥事件，对立事件的概率相关的问题，解答这类问题需要理解互斥事件，对立事件的定义，弄清互斥事件与对立事件的关系，掌握互斥事件概率和的运算公式，对立事件概率和为1特性；
（2）求复杂事件概率的基本方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件，分别求出这些事件的概率，再运用互斥事件的求和公式求出复杂事件的概率；
（4）间接法是先求此事件的对立事件的概率，再运用对立事件概率为1的特性，求出所求事件的概率，这种方法也是常说的逆向思维法，尤其是题目中含有“至少”或“至多”时，这种方法的效果更突出。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若A，B为互斥事件，则（ ）（答案：D）
A P（A）+P(B)＜1 B P（A）+P(B)＞1 C P（A）+P(B)=1 D P（A）+P(B)≤1
2、在5张电话卡中，有3张移动卡和两张联通卡，从中任意取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）（答案：概率是的事件是从中任意取2张，至少有一张是联通卡）
3、甲，乙二人下棋，甲获胜的概率为30℅，两人下成和棋的概率为50℅，求甲不输棋的概率；（答案：甲不输棋的概率是0.8）
4、一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，-------9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？（答案：从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是）
A 至多有一张移动卡B 恰有一张移动卡 C 都不是移动卡 D 至少有一张移动卡
5、在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是多少？（答案：从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是）
6、袋中有4个白球，6个红球，在抽取这些球的时候无法看到球的颜色，现先由甲抽出3个球，并且取出的球不再放回原袋中，再由乙取出4个球，若规定取得白球多者为胜，试求甲获胜的概率；（答案：甲获胜的概率是）
7、9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，现用抽签的方式把他们分成甲、乙、丙三
（每组3队）进行预赛，试求：
（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（答案：（1）三个组各有一个亚洲队的概率是；（2）
(2)至少有两个亚洲队分在同一组的概率。至少有两个亚洲队分在同一组的概率）
【典例5】解答下列问题：
1、如图在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个
开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内每个开关能够闭
合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率；
【解析】
【知识点】①对立事件的定义与性质；②对立事件概率的定义与基本求法；③相互独立事件的定义与性质；④相互独立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】运用求相互对立事件和对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出在这段时间内线路正常工作的概率。
【详细解答】设在这段时间内线路正常工作的事件为A，则三个开关都没有闭合的事件为， P（）=0.30.30.3=0.009， P（A）=1-0.009=0.991。
2、三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛的顺序是第一局甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率。
【解析】
【知识点】①相互独立事件的定义与性质；②相互独立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】运用求相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出乙队连胜四局的概率。
【详细解答】设乙队连胜四局的事件为A，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5， P（A）=（1-0.4）0.5（1-0.4）0.5=0.0009。
3、为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用 （万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施也可以联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大。
【解析】
【知识点】①相互独立事件的定义与性质；②相互独立事件概率的定义与基本求法；③对立事件的定义与性质；④对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】运用求相互独立事件概率和对立事件概率的基本方法，结合问题条件对可能的方案分别求出使得此突发事件不发生的概率，通过比较就能得出结论。
【详细解答】方案1：采用甲，丙两种预防措施，设采用甲，丙两种预防措施联合，使得此突发事件不发生的事件为A，则采用甲，丙两种预防措施，此突发事件发生的事件为，单独采用甲，丙两种预防措施此突发事件不发生的概率分别为0.9，0.7，p（）=（1-0.9）（1-0.7）=0.10.3=0.03，P（A）=1-0.03=0.97；方案2采用乙，丙，丁三种预防措施，设采用乙，丙，丁三种预防措施，使得此突发事件不发生的事件为B,则采用乙，丙，丁三种预防措施，此突发事件发生的事件为， p（）=（1-0.8）（1-0.7）（1-0.6）=0.20.30.4
=0.024，P（B）=1-0.024=0.976, 0.97＜0.976, 采用乙，丙，丁三种预防措施, 使得此突发事件不发生的概率最大。
4、甲、乙二人各进行一次射击，如果二人击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）二人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率；
（3）至少有一人击中目标的概率。
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②互斥事件概率的定义与基本求法；③相互独立事件的定义与性质；④相互独立事件概率的定义与基本求法；⑤对立事件的定义与性质；⑥对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出二人都击中目标的概率：（2）运用求互斥事件和相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出其中恰有一人击中目标的概率；（3）运用求对立事件和相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出至少有一人击中目标的概率。
【详细解答】（1）设二人都击中目标的事件为A，二人击中目标的概率都是0.6， P（A）=0.60.6=0.36；（2）设其中恰有一人击中目标的事件为B，二人击中目标的概率都是0.6， P（B）=0.60.4+0.40.6=0.48；（3）设至少有一人击中目标的事件为C，则二人都没有击中目标的事件为， P（）=0.40.4=0.16， P（C）=1-0.16=0.84。
5、在某段时间，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地
否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲，乙两地都下雨的概率；
(2)甲，乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少一个地方下雨的概率。
【解析】
【知识点】①对立事件的定义与性质；②对立事件概率的定义与基本求法；③相互独立事件的定义与性质；④相互独立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲，乙两地都下雨的概率；（2）运用求相互对立事件和对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲，乙两地都不下雨的概率；（3）运用求对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出其中至少一个地方下雨的概率。
【详细解答】（1）设甲，乙两地都下雨的事件为A，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3， P（A）=0.20.3=0.06；（2）设甲，乙两地都不下雨的事件为B，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3， P（B）=（1-0.2）（1-0.3）=0.56；（3）设其中至少一个地方下雨的事件为C，则甲，乙两地都不下雨的事件为， P（）= P（B）
=0.56， P（C）=1- P（）=1-0.56=0.44。
6、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是，，，现三人各投球一次，求：
（1）三人都投进的概率；
（2）三人都未投进的概率；
（3）三人中恰有一人投进的概率；
（4）三人中恰有二人投进的概率。
【解析】
【知识点】①互斥事件的定义与性质；②互斥事件概率的定义与基本求法；③相互独立事件的定义与性质；④相互独立事件概率的定义与基本求法；⑤对立事件的定义与性质；⑥对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出三人都投进的概率：（2）运用求对立事件和相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出三人都没有投进的概率；（3）运用求互斥事件和相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出三人中恰有一人投进的概率；（4）运用求互斥事件和相互对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出三人中恰有二人投进的概率。
【详细解答】（1）设甲，乙，丙投进的事件分别为A，B，C，则甲，乙，丙没有投进的事件分别为，，，三人都投进的事件为D，甲、乙、丙三人投进的概率分别是，，， P（D）===；（2）设三人都没有投进的事件为E，甲、乙、丙三人投进的概率分别是，，， P（E）===；（3）设三人中恰有一人投进的事件为F，甲、乙、丙三人投进的概率分别是，，， P（F）=++=++=；（4）设三人中恰有二人投进的事件为G，甲、乙、丙三人投进的概率分别是，，， P（G）=++=++=。
『思考问题5』
（1）【典例5】是相互独立事件概率的计算问题，解答这类问题首先需要正确判断问题中涉及的事件是否是相互独立事件，其次是掌握相互独立事件同时发生概率计算的基本方法；
（2）计算相互独立事件同时发生的概率的基本方法是：①直接法，运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式直接运算；②间接法，先计算问题的对立事件的概率，再运用两个对立事件的概率和为1的性质求出问题的答案。
〔练习5〕解答下列问题：
1、一个口袋内装有2个白球和2个黑球，把“从中摸出1个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球中任意摸出1个球，得到黑球记作事件B，那么在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？（答案：在先摸出白球后，再摸出白球的概率是；在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是）
2、生产一种零件，甲车间的合格率是96℅，乙车间的合格率是97℅，在他们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是多少？（答案：都抽到合格品的概率是0.9342）
3、某射击手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次是否击中相互之间没有影响，那么他第二未击中，其他3次都击中的概率是多少？（答案：第二未击中，其他3次都击中的概率是0.0729）
4、某人有外形相似的5把钥匙串在一起，其中2把是房门钥匙，但他忘了开房门是哪两把钥匙，只好逐把试开（试后不放回），求此人在3次内能打开房门的概率是多少？（答案：此人在3次内能打开房门的概率是）
5、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，甲、乙、丙都作对的概率是，甲、乙、丙都作错的概率是。
（1）分别求乙、丙各自作对这道题的概率；（答案：（1）乙，丙各自作对这道题的概率分别
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人作对这道题的概率。是，或，；（2）甲、乙、丙三人中恰有一人作对这道题的概率为）
6、设一射手平均射击10次中把4次，求在5次射击中：
（1）恰好射中一次的概率；（答案：（1）恰好射中一次的概率为0.2552；（2）第二次射中一
（2）第二次射中一次的概率；次的概率为0.4；（3）恰好射中二次的概率为0.3456；（4）第
（3）恰好射中二次的概率； 二第三次射中的概率为0.03456；（5）至少射中一次的概率为（4）第二次第三次射中的概率；0.92324。）
（5）至少射中一次的概率。
【典例6】解答下列问题：
1、某气象站天气预报的准确率为80℅，求：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率。
【解析】
【知识点】①n次独立重复试验的定义与性质；②n次重复试验某事件恰好发生k次概率的定义与基本求法；③互斥事件的定义与性质；④互斥事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求n次重复试验某事件恰好发生k次概率的基本方法，结合问题条件就可求出5次预报中恰有4次准确的概率；（2）运用求n次重复试验某事件恰好发生k次概率和对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出5次预报中至少有4次准确的概率。
【详细解答】（1）设5次预报中恰有4次准确的事件为A，气象站天气预报的准确率为80℅， P（A）=（1-0.8）=50.40960.2=0.4096；（2）设5次预报中至少有4次准确的事件为B，气象站天气预报的准确率为80℅， P（B）=（1-0.8）+
=50.40960.2+0.32764=0.73724。
2、设一射手平均射击10次中把4次，求在5次射击中：
（1）恰好射中一次的概率；
（2）恰好射中二次的概率；
（3）至少射中一次的概率。
【解析】
【知识点】①n次独立重复试验的定义与性质；②n次重复试验某事件恰好发生k次概率的定义与基本求法；③对立事件的定义与性质；④对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用求n次重复试验某事件恰好发生k次概率的基本方法，结合问题条件就可求出恰好射中一次的概率；（2）运用求n次重复试验某事件恰好发生k次概率的基本方法，结合问题条件就可求出恰好射中二次的概率；（3）运用求对立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出至少射中一次的概率。
【详细解答】（1）设恰好射中一次的事件为A，射手平均射击10次中把4次， P（A）==；（2）设恰好射中二次的事件为B，射手平均射击10次中把4次， P（B）==； （3）设至少射中一次的事件为C，则在5次射击中，一次都没有击中的事件为，p（）==， P（C）=1-
=。
3、掷三颗骰子（各面分别标有数字1到6的正方体玩具）试求：
（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；
（2）恰好一颗骰子出现1点或6点的概率；
（3）至少两颗骰子出现1点或6点的概率。
【解析】
【知识点】①n次独立重复试验的定义

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